Ε10-εξώφυλλο

Έστω συνάρτηση f : ! → ! , για την οποία ισχύει f 3 (x) + 3f(x) = x + 3 , για κάθε x ∈ ! . α. Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα. β. Να αποδείξετε ότι f(1) = 1 , f(−3) = 0 . γ. Να λύσετε τις παρακάτω ανισώσεις: ( ) Ι. f f(x 2 − 2) > f (f(x)) . II. f(x) > 0 . III. f(x) < 1 . ( ) ΙV. f f(x 2 ) − 4 < 0 .

Δίνεται η συνάρτηση f(x) = 2x − 2 + ℓnx . α. Να εξετάσετε την f ως προς την μονοτονία. β. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f(x) = 0 έχει μοναδική ρίζα. γ. Να λύσετε την ανίσωση f(x) > 0 .

Δίνεται η συνάρτηση f : ! → ! , για την οποία ισχύει (f ! f)(x) = 3 − 2e x−1 , για κάθε x ∈ ! . Να αποδείξετε ότι: α. η f αντιστρέφεται. β. η C f διέρχεται από το σημείο A(1,1) . γ. η f δεν είναι γνησίως μονότονη.

Δίνεται η συνάρτηση f : ! → ! , για την οποία ισχύει e f(x) + f(x) = x + 2 , για κάθε x ∈ ! . α. Να αποδείξετε ότι η f αντιστρέφεται. ⎛e⎞ β. Να λύσετε την εξίσωση f(ℓnx) = f ⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟ . ⎝ x ⎟⎠ γ. Να βρείτε την f −1 . δ. Να λύσετε την ανίσωση (x 3 − 8)(e x − 3) < f(−1) .

Δίνεται η συνάρτηση f(x) = ℓn(1 − e x ) − ℓn(1 + e x ) . α. Να βρείτε το πρόσημο της f. β. Να αποδείξετε ότι αντιστρέφεται και να βρείτε την αντίστροφή της. γ. Να υπολογίσετε τα όρια: f(−4) ⋅ x 4 − 3x 3 + 7x 2 − 6x + 2 ⎡ −1 ⎤ Ι. ℓ im . II. ℓ im ⎢ e f (x) − e f(x) ⎥ . x→ +∞ x 3 − 5x 2 + 9 x→−∞ ⎣ ⎦

Έστω συνεχής συνάρτηση f : ⎡⎢0 , + ∞) → ! , για την οποία ισχύει ότι ⎣ f 2 (x) + x ⋅ f(x) = 4 , για κάθε x ≥ 0 , και f(3) = −4 . x α. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g(x) = f(x) + διατηρεί σταθερό πρόσημο, 2 το οποίο και να βρείτε. β. Να βρείτε τον τύπο της f. γ. Να βρείτε το πλήθος των λύσεων της εξίσωσης f(x) = k , k ∈ ! .

x −1 Έστω η συνάρτηση f(x) = ℓnx + , x>0. x α. Να μελετήσετε την f ως προς την μονοτονία. β. Να βρείτε το σύνολο τιμών της. γ. Να λύσετε την εξίσωση x ℓnx = 1 − x . δ. Να αποδείξετε ότι υπάρχει θ ∈ (α , β) , α > 1 , τέτοιο, ώστε f 2 (θ) = f(α) ⋅ f(β) .

Δίνεται η συνάρτηση f, που είναι συνεχής στο διάστημα ⎡⎢0 , 2⎤⎥ . Αν είναι ⎣ ⎦ f(x) − 1 ℓ im = 16 και η γραφική παράσταση της f διέρχεται από την αρχή των x→ 2 ηµ(x − 2) αξόνων, τότε: α. να δείξετε ότι η C f τέμνει τουλάχιστον σε ένα σημείο την C g , όπου g(x) = x 3 − x − 2 . f(x) − 1 β. να βρείτε το ℓ im 2 . x→ 2 x − 5x + 6

Δίνεται η συνάρτηση f(x) = ℓnx + e x + x − 1 . α. Να βρείτε το σύνολο τιμών της. β. Να δείξετε ότι, για κάθε α ∈ ! , η εξίσωση f(x) = α έχει μοναδική ρίζα. γ. Να λύσετε την εξίσωση f(x) = e . δ. Να βρείτε το κ ∈ ! , για το οποίο ισχύει 2 eκ +4 − e4κ = ℓn(4κ) − ℓn(κ2 + 4) + 4κ − κ2 − 4 .

Δίνεται συνεχής συνάρτηση f : ! → ! , για την οποία ισχύει f 2 (x) − 4 x = e x , για κάθε x ∈ ! . e +1 α. Να αποδείξετε ότι η f διατηρεί σταθερό πρόσημο. β. Αν f(0) = −3 , τότε: f(x) + 4x+2 Ι. να βρείτε τον τύπο της f. ΙΙ. να υπολογίσετε το όριο ℓ im . x→ +∞ 3x + 4x

Έστω συνεχής συνάρτηση f, ορισμένη στο διάστημα ⎡⎢1, 4⎤⎥ , για την οποία ισχύουν ⎣ ⎦ f(x) ≠ 0 , για κάθε x ∈ ⎡⎢1, 4⎤⎥ , f(1) > 0 , f(1) ⋅ f(2) = f(3) ⋅ f(4) . Να αποδείξετε ότι: ⎣ ⎦ α. f(x) > 0 , για κάθε x ∈ ⎡⎢1, 4⎤⎥ . ⎣ ⎦ β. η συνάρτηση g(x) = f 2 (x) − f(1) ⋅ f(2) έχει μία, τουλάχιστον, ρίζα στο διάστημα ⎡⎢1, 2⎤⎥ . ⎣ ⎦ γ. η συνάρτηση f δεν είναι αντιστρέψιμη.

Έστω οι συνεχείς συναρτήσεις f , g : ⎡⎢0 , + ∞) → ! , με ⎣ g(0) = 1 και x ⋅ ⎡⎢ f(x) − g(x)⎤⎥ = x ⋅ ⎡⎢3f(x) + g(x)⎤⎥ . ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ α. Να βρείτε το f(0). β. Αν f(x) ≠ 0 , για κάθε x ∈ ⎡⎢0 , 4⎤⎥ , να δείξετε ότι: ⎣ ⎦ Ι. η εξίσωση (x − 2) ⋅ f(x) + x ⋅ f(x + 2) = x(x − 2) έχει μία, τουλάχιστον, ρίζα στο διάστημα (0 , 2) . ΙΙ. είναι g(x) > 0 , για κάθε x ∈ ⎡⎢0 , 4⎤⎥ . ⎣ ⎦

Έστω η συνεχής και γνησίως φθίνουσα συνάρτηση f : (0 ,1) → ! , για την οποία ισχύουν f(x) − 3 ℓ im = 3 και 2ηµ(x − 1) ≤ (x − 1) ⋅ f(x) ≤ x 2 − 1 , για κάθε x ∈ (0 ,1) . x→ 0 x α. Να βρείτε το σύνολο τιμών της συνάρτησης h(x) = f(x) − ℓnx − 3 . β. Να δείξετε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης g(x) = e f(x)−3 τέμνει την ευ- θεία y = x σε ένα μόνο σημείο, με τετμημένη x 0 ∈ (0 ,1) .

Έστω συνάρτηση f, ορισμένη στο ! και με σύνολο τιμών το ! , για την οποία ισχύει ότι f 3 (x) + 3f(x) = x , για κάθε x ∈ ! . Να αποδείξετε ότι: α. η f είναι 1­1 και να βρείτε τον τύπο της αντίστροφής της. β. η f είναι γνησίως αύξουσα. x γ. f(x) = , για κάθε x ∈ ! . f 2 (x) + 3 δ. η f είναι συνεχής στο 0. f(x) 1 ε. ℓ im = . x→ 0 x 3

Έστω οι συναρτήσεις f , g : ! → ! , με g(x) = −7x 2 + 5x + 2 . Αν ισχύει 3 2 ⋅ ⎡⎢ f(x)⎤⎥ + 3f(x) = x + 5 , για κάθε x ∈ ! , ⎣ ⎦ και η f έχει σύνολο τιμών το ! , τότε: α. να αποδείξετε ότι η g δεν είναι αντιστρέψιμη, ότι η f είναι αντιστρέψιμη και να βρείτε τον τύπο της f −1 . β. να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τους άξονες x΄x και y΄y. γ. να λύσετε τις ανισώσεις f(3x) < x και f −1 (x) > g(x) .

Δίνεται η συνάρτηση f(x) = e−x − ℓnx − x − 1 . α. Να μελετήσετε την f ως προς την μονοτονία. β. Να βρείτε το σύνολο τιμών της f. γ. Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f τέμνει τον x΄x ακριβώς σε ένα ση- μείο.

Δίνεται συνάρτηση f : ! → ! , συνεχής και γνησίως αύξουσα, με f(1) = 2 . Θεωρούμε και την συνάρτηση g(x) = f(e−x ) − e x , x ∈ ! . α. Να αποδείξετε ότι η g είναι γνησίως φθίνουσα. β. Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της g τέμνει τον άξονα x΄x σε ένα ακρι- βώς σημείο, με τετμημένη x 0 ∈ (0 ,1) .

1 Αν f συνάρτηση για την οποία ισχύει x ⋅ f(x) − x 4 + ηµαx = x 2ηµ , για κάθε x ∈ ! * , x και f(0) = −α ≠ 0 , τότε: α. να αποδείξετε ότι η f είναι συνεχής στο 0. β. να υπολογίσετε τα ℓ im f(x) , ℓ im f(x) . x→−∞ x→ +∞ γ. να αποδείξετε ότι η εξίσωση f(x) = 0 έχει μία, τουλάχιστον, ρίζα στο ! .

Δίνεται συνεχής συνάρτηση f : ! → ! , με f(x) ≠ x , για κάθε x ∈ ! . Επίσης, η γραφική παράσταση της f διέρχεται από το σημείο A(3 , 2) . Να αποδείξετε ότι: α. f(x) < x , για κάθε x ∈ ! . β. υπάρχει ξ ∈ (−1,1) τέτοιο, ώστε ξ ⋅ f(ξ) = 1 .

Δίνεται συνεχής συνάρτηση f : ! → ! , για την οποία ισχύει f 2 (x) − 2x ⋅ f(x) = 5 , για κάθε x ∈ ! . Επιπλέον, η γραφική της παράσταση διέρχεται από το σημείο M(2 ,− 1) . α. Να αποδείξετε ότι f(x) < 0 , για κάθε x ∈ ! . β. Να βρείτε τον τύπο της f. γ. Να βρείτε το ℓ im f(x) . x→ +∞

⎡ π⎤ Δίνεται η συνάρτηση f(x) = 2x 2 − 1 − συνx , x ∈ ⎢0 , ⎥ . ⎢ 2⎥ ⎣ ⎦ α. Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα. β. Να βρείτε το σύνολο τιμών της f. ⎛ π⎞ γ. Να δείξετε ότι η εξίσωση f(x) = 0 έχει μοναδική ρίζα στο διάστημα ⎜⎜⎜0 , ⎟⎟⎟ . ⎝ 2 ⎠⎟

Δίνεται συνάρτηση f : ! → ! , η οποία είναι γνησίως αύξουσα στο (−∞ , 3⎤⎥ και γνησίως ⎦ φθίνουσα στο ⎢3 , + ∞) . Αν ℓ im f(x) = −4 , f(3) = 3 και ℓ im f(x) = −∞ , τότε: ⎡ ⎣ x→−∞ x→ +∞ α. να βρείτε το σύνολο τιμών της f. β. να βρείτε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης f(x) = 0 . γ. να εξετασθεί αν η εξίσωση f(x) = 4 έχει ρίζα. δ. για τις διάφορες τιμές του α ∈ ! , να βρείτε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης f(x) = α + 1 .

Δίνεται η συνάρτηση f(x) = ℓn(x + 2) + ℓn(x − 2) − 3 . α. Να μελετηθεί ως προς την μονοτονία και να βρεθεί το σύνολο τιμών της. β. Να αποδείξετε ότι η f αντιστρέφεται και να βρείτε την f −1 .

Έστω f : ⎡⎢−1, 4⎤⎥ → ! μια συνεχής συνάρτηση, για την οποία ισχύει ⎣ ⎦ x 2 + f 2 (x) = 3x + 4 , για κάθε x ∈ ⎡⎢−1, 4⎤⎥ . ⎣ ⎦ α. Να βρείτε τις ρίζες της εξίσωσης f(x) = 0 . β. Αν, επιπλέον, η γραφική παράσταση της f τέμνει τον άξονα y΄y στο σημείο με τεταγμένη ­2, να βρείτε τον τύπο της f.