Άσκηση 582

Βοηθητική μεταγραφή

Έστω οι συνεχείς συναρτήσεις f , g : ⎡⎢0 , + ∞) → ! , με ⎣ g(0) = 1 και x ⋅ ⎡⎢ f(x) − g(x)⎤⎥ = x ⋅ ⎡⎢3f(x) + g(x)⎤⎥ . ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ α. Να βρείτε το f(0). β. Αν f(x) ≠ 0 , για κάθε x ∈ ⎡⎢0 , 4⎤⎥ , να δείξετε ότι: ⎣ ⎦ Ι. η εξίσωση (x − 2) ⋅ f(x) + x ⋅ f(x + 2) = x(x − 2) έχει μία, τουλάχιστον, ρίζα στο διάστημα (0 , 2) . ΙΙ. είναι g(x) > 0 , για κάθε x ∈ ⎡⎢0 , 4⎤⎥ . ⎣ ⎦

Η αυτόματη μεταγραφή είναι βοηθητική και μπορεί να μην αποδίδει με ακρίβεια όλους τους μαθηματικούς τύπους και τα σύμβολα. Η σάρωση παραμένει η πηγή αναφοράς.

Εκφώνηση

Αναλυτική λύση