Ε5-Γενικές ασκήσεις-Μέρος 2(Α)-εξώφυλλο

Δίνεται η συνάρτηση f : (0 , + ∞) → ! , με f(x) = ℓnx − x . α. Να μελετήσετε την f ως προς την μονοτονία, τα ακρότατα και τα σημεία καμπής. f(x) β. Να βρείτε το όριο ℓim . x→ +∞ x e f(x) γ. Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα ∫1 x dx . δ. Να βρείτε τις τιμές του m ∈ ! , για τις οποίες η εξίσωση x = e m+x έχει ακριβώς δύο λύσεις στο (0 , + ∞) .

Θεωρούμε τις συναρτήσεις f , g : ! → ! , με ⎛ 1 ⎞ e2x − 1 f(x) = ℓn ⎜⎜⎜e x + x ⎟⎟⎟ , g(x) = 2x . ⎝ e ⎟⎠ e +1 α. Να δείξετε ότι ισχύει f ′(x) = g(x) , για κάθε x ∈ ! . β. Να μελετήσετε την συνάρτηση f ως προς την μονοτονία και τα ακρότατα. 1 γ. Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα Ι = ∫ g(x) dx . 0 δ. Να λύσετε στο ! την εξίσωση f(x) + f(2x) = ℓn4 .

1 Δίνεται η συνάρτηση f : (0 , + ∞) → ! , με f(x) = (α + β ℓnx) . x α. Να βρείτε τις τιμές των α , β ∈ ! , αν ισχύουν f(1) = 3 , f ′′(1) = 0 . β. Αν f(x) ≤ f ( e ) , για κάθε x > 0 , να δείξετε ότι β = 2α . γ. Για α = 3 , β = 2 : e Ι. να βρείτε την τιμή του ολοκληρώματος Ι = ∫ f(x) dx . 1 ΙΙ. να υπολογίσετε το όριο ℓim ⎡⎢ηµx ⋅ f(x)⎤⎥ . x→ 0 ⎣ ⎦

2x Δίνεται η συνάρτηση f : ! → ! , με f(x) = x + 2 . x +1 α. Να δείξετε ότι δεν υπάρχει διάστημα ⎡⎢α , β⎤⎥ στο οποίο να εφαρμόζεται το θεώρημα ⎣ ⎦ Rolle και να βρείτε το σύνολο τιμών της f. β. Αφού εξηγήσετε γιατί αντιστρέφεται η f, να βρείτε το α ∈ ! , ώστε να ισχύει ( f −1 + 2f −1 (α − 2) = 2 . ) γ. Να δείξετε ότι η πλάγια ασύμπτωτη της C f είναι ο άξονας συμμετρίας των γραφι- κών παραστάσεων C f , C −1 . f x ∫ f(t) dt δ. Να υπολογίσετε το όριο L = ℓ im 0 . x→ +∞ x2

Θεωρούμε τις συναρτήσεις f , g : ! → ! , με f(x) = x 2 − 4x , g(x) = −2x − 2 . α. Να δείξετε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης f βρίσκεται πάνω από την γραφική παράσταση της συνάρτησης g, σε όλο το ! . β. Να βρείτε για ποια τιμή του λ ∈ ! η ευθεία ε : y = g(x) + λ εφάπτεται στην C f . γ. Να υπολογίσετε την ελάχιστη απόσταση των σημείων Μ, Ν, όταν Μ (κ , f(κ)) , Ν (κ , g(κ)) , όπου κ ∈ ! . δ. Να υπολογίσετε το εμβαδόν που περικλείεται από τις γραφικές παραστάσεις των f, g και τις ευθείες x = 0 , x = 1 .

Θεωρούμε την συνάρτηση f : ! → ! , με f(x) = x 3 + x 2 + x − 1 . f(x) α. Να βρείτε τα όρια L1 = ℓim , L2 = ℓim f(e−x ) . x→ +∞ x 3 x→ +∞ β. Να μελετήσετε την συνάρτηση f ως προς την μονοτονία και να δείξετε ότι υπάρχει ένα μόνο α ∈ ! , με f(α) = 0 . α γ. Να δείξετε ότι ∫ (3x + 2x + 1) dx = 1 . 0 2 2 f(x) + f(−x) δ. Να βρείτε το ολοκλήρωμα Ι = ∫ 1 x2 dx .

Δίνεται η συνάρτηση ⎧⎪ x ⎪ α + e , αν x ≤ 0 f(x) = ⎨ ,α∈". ⎪⎪ x ℓnx , αν x > 0 ⎪⎩ α. Να υπολογίσετε το α, ώστε η f να είναι συνεχής στο x 0 = 0 . β. Αν α = −1 : Ι. να εξετάσετε αν η f είναι παραγωγίσιμη στο x 0 = 0 . ΙΙ. να μελετήσετε την f ως προς την μονοτονία και τα ακρότατα και να βρείτε το σύνολο τιμών της. ΙΙΙ. να βρείτε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης f(x) = 0 . IV. να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την C f , τον άξονα x΄x και τις ευθείες x = 1 , x = e .

Θέµα Πανελλαδικών Εξετάσεων x2 Δίνεται η συνάρτηση f, με f(x) = (2ℓnx − 1) − 2x(ℓnx − 1) , x > 0 . 4 α. Να βρεθεί η παράγωγος της f, για κάθε x > 0 . β. Να μελετηθεί η f ως προς την μονοτονία και τα ακρότατα. t γ. Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα Ε(t) = ∫ (x − 2)ℓnx dx , για κάθε t > 1 . 1 Ε′(t) δ. Να βρεθεί το όριο ℓim . t→ +∞ t ℓnt

Θέµα Πανελλαδικών Εξετάσεων Δίνεται η συνάρτηση h(x) = 212 (e−4x − e−αx ) , x ≥ 0 , όπου α πραγματικός αριθμός μεγα- λύτερος του 4. α. Να δείξετε ότι ℓim h(x) = h(0) = 0 . x→ +∞ β. Να μελετήσετε ως προς τα ακρότατα την συνάρτηση h(x). γ. Αν x1 είναι η ρίζα της πρώτης παραγώγου και x 2 είναι η ρίζα της δεύτερης παρα- γώγου της h(x), να βρείτε την σχέση που συνδέει τα x1 , x 2 . ℓn2 334 δ. Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα Μ = 75 ⋅ ∫ h(x) dx , όταν α = 8 . 0

ex Δίνεται η συνάρτηση f(x) = , x∈!. x2 + 1 α. Να μελετήσετε την f ως προς την μονοτονία και να αποδείξετε ότι το σύνολο τιμών της είναι το διάστημα (0 , + ∞) . e2 β. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f e3−x (x 2 + 1) = ( ) 5 έχει ακριβώς μία ρίζα στο σύνο- λο των πραγματικών αριθμών. 4 2e4 γ. Να αποδείξετε ότι ∫ 2 f(t) dt < 17 . e ℓnx δ. Να υπολογίσετε το ∫ f(ℓnx) ⋅ x dx . 1 2

Έστω συνάρτηση f : (1, + ∞) → ! , για την οποία ισχύει f ( e ) = 2 και x ⋅ f ′(x) ⋅ ℓnx + f(x) = 0 , για κάθε x > 1 . α. Να βρείτε τον τύπο της f. β. Να αποδείξετε ότι η f είναι 1­1. γ. Να ορίσετε την f −1 . δ. Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα e2 1/2 1 1 Ι= ∫e ℓnx dx + ∫ e dx . 1 x

Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x α , x ≥ 0 , α ∈ (0 ,1) σταθερός. α. Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα και κοίλη στο ⎡⎢0 , + ∞) . ⎣ β. Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου Ω που περικλείεται από την C f , τον x΄x και τις ευθείες x = 0 , x = 2 . γ. Να βρείτε t ∈ (0 , 2) , ώστε η ευθεία x = t να χωρίζει το Ω σε δύο ισεμβαδικά χωρία.

Δίνεται συνάρτηση f, παραγωγίσιμη στο ! , με f(x) > 0 και ισχύει ℓnf(x) + e f(x) = 2x , για κάθε x ∈ ! . α. Να μελετήσετε την f ως προς την μονοτονία. β. Να δείξετε ότι η f αντιστρέφεται και να λύσετε τις εξισώσεις f(x) = 1 και f(x) = e . γ. Να υπολογίσετε το e e +1 e 2 Ι= ∫ f (x) dx + ∫ f(x) dx . 1 −1 e/2

Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f : ! → ! η οποία, για κάθε x ∈ ! , ικανοποιεί τις σχέσεις: • f(x) ≠ x , f(x) • f ′(x) = , f(x) − x f(0) • ∫ ⎡⎢⎣f(t) − t⎤⎥⎦ dt = 0 . 3 α. Να δείξετε ότι f(0) = 3 . β. Να δείξετε ότι η συνάρτηση g(x) = f 2 (x) − 2x f(x) , x ∈ ! , είναι σταθερή. γ. Να δείξετε ότι f(x) = x + x 2 + 9 , x ∈ ! . δ. Ι. Να δείξετε ότι x 2 + 9 ⋅ f ′(x) − f(x) = 0 , για κάθε x ∈ ! . ΙΙ. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την γραφική 1 παράσταση της συνάρτησης α(x) = , τον άξονα x΄x και τις ευθείες 2 x +9 x =0 , x =1.

Δίνονται οι παραγωγίσιμες συναρτήσεις f , g : ! → ! οι οποίες, για κάθε x ∈ ! , ικανο- ποιούν τις σχέσεις: • f(x) > 0 και g(x) > 0 , e2x e2x • f ′(x) = και g ′(x) = , g(x) f(x) g(0) • ∫ ⎡⎣⎢f (t) + g (t) + e ⎤⎦⎥ dt = 0 . f(0) 2 2 2t α. Να αποδείξετε ότι f(x) = g(x) , για κάθε x ∈ ! . f(x) − 1 β. Αν ℓim = g(0) , να αποδείξετε ότι f(x) = e x , x ∈ ! . x→ 0 x ℓnf(x) γ. Να υπολογίσετε το όριο ℓim . − ⎛ 1 ⎞⎟ x→ 0 ⎜ f ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ x ⎟⎠ δ. Αν 2 2 f(x) ⋅ h(x) = (3x + 2x) ⋅ ∫ f(t) ⋅ h(t) dt − 44 , 0 να βρείτε τον τύπο της συνεχούς συνάρτησης h.

Έστω συνεχής συνάρτηση f και F αρχική της f, με F(0) = 0 , f(x) = 3 + 2F(x) , x ∈ ! . f(x) α. Να δείξετε ότι η συνάρτηση Φ(x) = είναι σταθερή. e2x β. Να δείξετε ότι f(x) = 3e2x . γ. Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου Ε(λ) που περικλείεται από την γραφική παρά- σταση της f, τον άξονα x΄x και τις ευθείες x = 0 , x = λ , λ > 0 . Ε(λ) δ. Να βρείτε το όριο ℓim . λ→ 0+ λ ε. Έστω (ε) η εφαπτομένη της C f στο σημείο τομής με τον άξονα y΄y. Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την C f , την (ε) και την ευθεία x = −1 .

Δίνονται οι συναρτήσεις f : ! → ! , με f(x) = e x−1 − x , και g : (0 , + ∞) → ! , με g(x) = 1 + ℓnx . α. Να μελετήσετε την συνάρτηση f ως προς την μονοτονία και τα ακρότατα. β. Να αποδείξετε ότι η g αντιστρέφεται και να προσδιορίσετε την αντίστροφη. γ. Να ορίσετε την σύνθεση της g με την f και να δείξετε ότι (f ! g)(x) ≥ 0 , για κάθε x>0. δ. Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την γραφική παράσταση της f o g, τον άξονα x΄x και την ευθεία x = g−1 (2) .

Θεωρούμε την παραγωγίσιμη συνάρτηση f : ⎡⎢α , β⎤⎥ → ! , με συνεχή πρώτη παράγωγο, ⎣ ⎦ α ≠ β ≠ 0 , f(α) = β και f ′(x) < 0 , για κάθε x ∈ ⎡⎢α , β⎤⎥ . ⎣ ⎦ α. Να αποδείξετε ότι η f είναι αντιστρέψιμη και να βρείτε το πεδίο ορισμού της f −1 . f(β) β β. Αν η f −1 είναι συνεχής και ισχύει ∫ f (t) dt + ∫ f(t) dt = 0 : f(α) −1 α Ι. να βρείτε το f(β) . ΙΙ. να αποδείξετε ότι υπάρχει x 0 ∈ (α , β) τέτοιο, ώστε η εφαπτομένη της C f στο σημείο Α (x 0 , f(x 0 )) να είναι κάθετη στην ευθεία ε : x − y + 2016 = 0 . γ. Να αποδείξετε ότι: Ι. υπάρχει μοναδικό ξ ∈ (α , β) τέτοιο, ώστε f(ξ) = ξ . ΙΙ. υπάρχουν ξ1 , ξ 2 ∈ (α , β) τέτοια, ώστε f ′(ξ1 ) ⋅ f ′(ξ 2 ) = 1 .

Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f, με σύνολο τιμών το ! , ώστε f 3 (x) + f(x) = 2x , για κάθε x ∈ ! . x3 + x α. Να δείξετε ότι η f αντιστρέφεται και f −1 (x) = , για κάθε x ∈ ! . 2 β. Να βρείτε τα κοινά σημεία της γραφικής παράστασης της f με την ευθεία y = x . γ. Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου Ω που περικλείεται από την γραφική παράσταση της f και την ευθεία y = x . 1 2 δ. Να δείξετε ότι ∫ 1 + 3f (t) dt = 1 . 0 2

Δίνεται η συνάρτηση f : (0 , + ∞) → ! , με f(x) = x 2 − x + ℓnx . α. Να δείξετε ότι η f είναι 1­1. β. Να δείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των f , f −1 έχουν ένα ακριβώς κοινό σημείο, του οποίου η τετμημένη ανήκει στο διάστημα (1, e) . e2 −e+1 γ. Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα ∫ f (x) dx . 0 −1