Άσκηση 338

Βοηθητική μεταγραφή

Θεωρούμε την παραγωγίσιμη συνάρτηση f : ⎡⎢α , β⎤⎥ → ! , με συνεχή πρώτη παράγωγο, ⎣ ⎦ α ≠ β ≠ 0 , f(α) = β και f ′(x) < 0 , για κάθε x ∈ ⎡⎢α , β⎤⎥ . ⎣ ⎦ α. Να αποδείξετε ότι η f είναι αντιστρέψιμη και να βρείτε το πεδίο ορισμού της f −1 . f(β) β β. Αν η f −1 είναι συνεχής και ισχύει ∫ f (t) dt + ∫ f(t) dt = 0 : f(α) −1 α Ι. να βρείτε το f(β) . ΙΙ. να αποδείξετε ότι υπάρχει x 0 ∈ (α , β) τέτοιο, ώστε η εφαπτομένη της C f στο σημείο Α (x 0 , f(x 0 )) να είναι κάθετη στην ευθεία ε : x − y + 2016 = 0 . γ. Να αποδείξετε ότι: Ι. υπάρχει μοναδικό ξ ∈ (α , β) τέτοιο, ώστε f(ξ) = ξ . ΙΙ. υπάρχουν ξ1 , ξ 2 ∈ (α , β) τέτοια, ώστε f ′(ξ1 ) ⋅ f ′(ξ 2 ) = 1 .

Η αυτόματη μεταγραφή είναι βοηθητική και μπορεί να μην αποδίδει με ακρίβεια όλους τους μαθηματικούς τύπους και τα σύμβολα. Η σάρωση παραμένει η πηγή αναφοράς.

Εκφώνηση

Αναλυτική λύση