Τ9-Γραμμικά συστήματα 2Χ2

Λυμένο παράδειγμα 1 από «Τ9-Γραμμικά συστήματα 2Χ2». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: ⎧⎪ x + y = 20 ⎫⎪ ⎪ ⎪ Ας λύσουμε το σύστημα ⎨ ⎬. ⎪⎪ x + 3y = 44 ⎪⎪ ⎩⎪ ⎭⎪ Από την πρώτη εξίσωση έχω x + y = 20 ⇔ x = 20 − y (1) Αντικαθιστώ την (1) στην κάτω εξίσωση του συστήματος και έχω 20 − y + 3y = 44 ⇔ 2y = 24 ⇔ y = 12 . Για y = 12 , από την (1) έχω x = 20 − 12 ⇔ x = 8 . Άρα, λύση του συστήματος είναι η (x , y) = (8 ,12) . Μαθηµατικό στέκι - www.mathsteki.gr -1 -

Λυμένο παράδειγμα 2 από «Τ9-Γραμμικά συστήματα 2Χ2». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: ⎧⎪ 2x − 5y = −11 ⎫⎪ ⎪ ⎪ Ας λύσουμε το σύστημα ⎨ ⎬. ⎪⎪ 4x + 3y = 17 ⎪⎪ ⎩⎪ ⎭⎪ Έχω ⎧⎪ 2x − 5y = −11 ⎫⎪ ⋅3 ⎧⎪ 6x − 15y = −33 ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎬⇔⎨ ⎬. ⎪⎪ 4x + 3y = 17 ⎪⎪ ⋅5 ⎪⎪ 20x + 15y = 85 ⎪⎪ ⎩⎪ ⎭⎪ ⎩⎪ ⎭⎪ Προσθέτω κατά μέλη τις δύο εξισώσεις και έχω 26x = 52 ⇔ x = 2 . Από την εξίσωση 4x + 3y = 17 έχω τότε 4 ⋅ 2 + 3y = 17 ⇔ 3y = 9 ⇔ y = 3 . Άρα, λύση του συστήματος είναι η (x , y) = (2 , 3) . Μαθηµατικό στέκι - www.mathsteki.gr -2 -

Άσκηση επανάληψης – Σ1 από «Τ9-Γραμμικά συστήματα 2Χ2». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎪⎪ 8 ⎪⎪ ⎪⎪⎪ 3y − 3x = 8 ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪ −3x + 3y = 8 ⎪⎪⎪ ⎪⎪ y − x = ⎪⎪ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎪⎩ 3 ⎪⎭ Προσθέτω κατά μέλη και προκύπτει 2y = 6 ⇔ y = 3 . y −2 Από την εξίσωση x = έχω τότε 3 3−2 1 x= ⇔x= . 3 3 ⎛1 ⎞ Άρα, η λύση του συστήματος είναι (x , y) = ⎜⎜⎜ , 3⎟⎟⎟ . ⎝3 ⎟⎠ ⎧⎪ 3x y ⎫⎪ ⎪⎪ + =6 ⎪⎪ ⎪⎪ 2 5 ⎪⎪ ⎧⎪⎪ 15x + 2y = 60 ⎫⎪ ⎪

Άσκηση επανάληψης – Σ2 από «Τ9-Γραμμικά συστήματα 2Χ2». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: ⎪⎪ x + 2 y −3 ⎪ ⎪ 3(x + 2) − 2(y − 3) = 24 ⎪⎪ ⎪⎪ − = 2 ⎪⎪ ⎩⎪⎪ ⎭⎪ ⎪⎩ 4 6 ⎪ ⎪⎭ ⎧⎪ 15x + 2y = 60 ⎫⎪ ⎧⎪ 15x + 2y = 60 ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⇔⎨ ⎬⇔⎨ ⎬. ⎪⎪ 3x + 6 − 2y + 6 = 24 ⎪⎪ ⎪⎪ 3x − 2y = 12 ⎪⎪ ⎩⎪ ⎭⎪ ⎩⎪ ⎭⎪ Προσθέτω κατά μέλη και προκύπτει 18x = 72 ⇔ x = 4 . Από την εξίσωση 3x − 2y = 12 έχω τότε 3 ⋅ 4 − 2y = 12 ⇔ −2y = 0 ⇔ y = 0 . Άρα, η λύση του συστήματος είναι (x , y) = (4 , 0) . Μαθηµατικό στέκι - www.mathsteki.gr -4 - Δηµήτρης Αντ. Μοσχόπουλος , καθηγητής Μαθηµατικών Η επανάληψη του Γυµνασίου • Γραµµικά συστήµατα ⎧⎪ 2x ⎫⎪ ⎪⎪ + y = x − y ⎪⎪ ⎪⎪ 3 ⎪⎪ ⎧⎪⎪ 2x + 3y = 3x − 3y ⎫⎪⎪ ⎧⎪⎪ −x + 6y = 0 ⎫⎪⎪ ⋅4

Άσκηση επανάληψης – Σ3 από «Τ9-Γραμμικά συστήματα 2Χ2». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: ⎪⎪ y 3 ⎪⎪ ⎪⎪⎪ 4x + y = 8y + 6 ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪ 4x − 7y = 6 ⎪⎪⎪ ⎪⎪ x + = 2y + ⎪ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎪⎩ 4 2 ⎪⎭⎪ ⎧⎪ −4x + 24y = 0 ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⇔⎨ ⎬. ⎪⎪ 4x − 7y = 6 ⎪⎪ ⎩⎪ ⎭⎪ Προσθέτω κατά μέλη και προκύπτει 6 17y = 6 ⇔ y = . 17 Από την εξίσωση −x + 6y = 0 έχω τότε 6 36 x = 6y = 6 ⋅ ⇔x= . 17 17 ⎛ 36 6 ⎞⎟ Άρα, η λύση του συστήματος είναι (x , y) = ⎜⎜⎜ , ⎟⎟ . ⎝ 17 17 ⎟⎠ ⎧⎪ 3x + 7y = 2 ⎫⎪ ⎧⎪ 3x + 7y = 2 ⎫⎪ ⋅(−2) ⎧⎪ −6x − 14y = −4 ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪

Άσκηση επανάληψης – Σ4 από «Τ9-Γραμμικά συστήματα 2Χ2». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: ⎪⎪ 6x + 14y = 3 ⎪⎪ ⎪⎪ 6x + 14y = 3 ⎪⎪ ⎪⎪ 6x + 14y = 3 ⎪⎪ ⎩⎪ ⎭⎪ ⎩⎪ ⎭⎪ ⎩⎪ ⎭⎪ ⎧⎪ 6x + 14y = 4 ⎫⎪ ⎪ ⇔ ⎪⎨ ⎬, ⎪⎪ 6x + 14y = 3 ⎪⎪ ⎩⎪ ⎭⎪ οπότε το σύστημα είναι αδύνατο (αφού τα αριστερά μέλη είναι ίσα, αλλά όχι και τα δεξιά). ⎧⎪ 2x − 7y = 8 ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎧⎪ 2x − 7y = 8 ⎫⎪

Άσκηση επανάληψης – Σ5 από «Τ9-Γραμμικά συστήματα 2Χ2». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: ⎬, 7 ⎪⎪ x − y = 4 ⎪⎪ ⎪⎪ 2x − 7y = 8 ⎪⎪ ⎪⎩⎪ 2 ⎪⎭⎪ ⎩⎪ ⎭⎪ οπότε το σύστημα έχει άπειρες λύσεις (αφού έχω δύο ίδιες εξισώσεις). Από την εξίσωση 2x − 7y = 8 , έχω 7y + 8 2x = 7y + 8 ⇔ x = . 2 ⎛ 7y + 8 ⎞ Άρα, οι άπειρες λύσεις είναι της μορφής (x , y) = ⎜⎜⎜ , y⎟⎟⎟ . ⎝ 2 ⎠⎟ Μαθηµατικό στέκι - www.mathsteki.gr -5 - Δηµήτρης Αντ. Μοσχόπουλος , καθηγητής Μαθηµατικών Η επανάληψη του Γυµνασίου • Γραµµικά συστήµατα Σχόλιο Από την εξίσωση 2x − 7y = 8 μπορώ να λύσω και ως προς y. Τότε θα είναι 2x − 8 7y = 2x − 8 ⇔ y = 7 και θα γράψω στο τέλος ⎛ 2x − 8 ⎞⎟ «Άρα, το σύστημα έχει άπειρες λύσεις της μορφής (x , y) = ⎜⎜⎜x , ⎟⎟ ». ⎝ 7 ⎟⎠ ⎧⎪ x y ⎫⎪ ⎪⎪ + = 6 ⎪⎪ ⎪⎪ 2 3 ⎪⎪ ⎧⎪⎪ 3x + 2y = 36 ⎫⎪⎪ ⎧⎪ 3x + 2y = 36 ⎫⎪ ⎪ ⎪

Άσκηση επανάληψης – Σ6 από «Τ9-Γραμμικά συστήματα 2Χ2». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: ⎪⎪ x y ⎪⎪ ⎪⎪ x + 2y = 20 ⎪⎪ ⋅(−1) ⎪⎪ −x − 2y = −20 ⎪⎪ ⎪⎪ + = 5 ⎪⎪ ⎩⎪ ⎭⎪ ⎩⎪ ⎭⎪ ⎪⎩ 4 2 ⎪⎭ Προσθέτω κατά μέλη και προκύπτει 2x = 16 ⇔ x = 8 . Από την εξίσωση x + 2y = 20 έχω τότε 8 + 2y = 20 ⇔ 2y = 12 ⇔ y = 6 . Άρα, η λύση του συστήματος είναι (x , y) = (8 , 6) . ⎧⎪ 6α − 2β = 11 ⎫⎪ ⋅3 ⎧⎪ 18α − 6β = 33 ⎫⎪

Άσκηση επανάληψης – Σ7 από «Τ9-Γραμμικά συστήματα 2Χ2». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: ⎬ ⎨ ⎪, ⎬ ⎪⎪ 9α − 3β = 15 ⎪⎪ ⋅2 ⎪⎪ 18α − 6β = 30 ⎪⎪ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭ οπότε το σύστημα είναι αδύνατο (αφού τα αριστερά μέλη είναι ίσα, αλλά όχι και τα δεξιά). ⎧⎪ 3(x + 4) − 2y = 7(x − y) ⎫⎪ ⎧ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ 3x + 12 − 2y = 7x − 7y ⎫⎪⎪ ⎪

Άσκηση επανάληψης – Σ8 από «Τ9-Γραμμικά συστήματα 2Χ2». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: 1 ⎪⎪ (x − 1) + 2y = 3(x + y) − ⎪⎪ ⎪⎪ x − 1 + 4y = 6(x + y) − 1 ⎪⎪ ⎪⎩⎪ 2 2 ⎪⎭⎪ ⎩⎪ ⎭⎪ ⎧⎪ −4x + 5y = −12 ⎫⎪ ⎧⎪ −4x + 5y = −12 ⎫⎪ ⋅2 ⎧⎪ −8x + 10y = −24 ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⇔⎨ ⎬⇔⎨ ⎬⇔⎨ ⎬. ⎪⎪ x + 4y = 6x + 6y ⎪⎪ ⎪⎪ −5x − 2y = 0 ⎪⎪ ⋅5 ⎪⎪ −25x − 10y = 0 ⎪⎪ ⎩⎪ ⎭⎪ ⎩⎪ ⎭⎪ ⎩⎪ ⎭⎪ Προσθέτω κατά μέλη και προκύπτει 24 3 ⋅8 8 −33x = −24 ⇔ x = = ⇔x= . 33 3 ⋅11 11 Μαθηµατικό στέκι - www.mathsteki.gr -6 - Δηµήτρης Αντ. Μοσχόπουλος , καθηγητής Μαθηµατικών Η επανάληψη του Γυµνασίου • Γραµµικά συστήµατα Από την εξίσωση −5x − 2y = 0 έχω τότε 8 40 20 2y = −5x ⇔ 2y = −5 ⋅ ⇔ 2y = − ⇔ y=− . 11 11 11 ⎛8 20 ⎞⎟ Άρα, η λύση του συστήματος είναι (x , y) = ⎜⎜⎜ , − ⎟⎟ . ⎝ 11 11 ⎠⎟ ⎧⎪ x y ⎫⎪ ⎪⎪ = ⎪⎪ ⎧⎪ 8x = 7y ⎫⎪ ⎧⎪ 8x − 7y = 0 ⎫⎪ ⎧⎪ 8x − 7y = 0 ⎫⎪

Άσκηση επανάληψης – Σ9 από «Τ9-Γραμμικά συστήματα 2Χ2». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: ⇔ ⎬ ⎨ ⎪ ⎬ ⇔ ⎪ ⎨ ⎪ ⎬. 7 8 ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ x + y = 45 ⎪⎪ ⎪⎪ x + y = 45 ⎪⎪ ⋅7 ⎪⎪ 7x + 7y = 7 ⋅ 45 ⎪⎪ ⎪⎩⎪ x + y = 45 ⎪⎭⎪ ⎩⎪ ⎭⎪ ⎩⎪ ⎭⎪ ⎩⎪ ⎭⎪ Προσθέτω κατά μέλη και προκύπτει 7 ⋅ 45 7 ⋅ 3 ⋅ 15 15x = 7 ⋅ 45 ⇔ x = = ⇔ x = 21 . 15 15 Από την εξίσωση x + y = 45 έχω τότε y = 45 − x = 45 − 21 ⇔ y = 24 . Άρα, η λύση του συστήματος είναι (x , y) = (21, 24) . ⎧⎪ x − 1 y − 2 ⎫⎪⎪ ⎧⎪ ⎪⎪ ⎪ = ⎪⎪ ⎪ 4(x − 1) = 3(y − 2) ⎫⎪⎪ ⎧⎪⎪ 4x − 4 = 3y − 6 ⎫⎪⎪

Άσκηση επανάληψης – Σ10 από «Τ9-Γραμμικά συστήματα 2Χ2». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ 4x + 3y = 8 ⎪⎪ ⎪⎪ 4x + 3y = 8 ⎪⎪ ⎪⎩⎪ 4x + 3y = 8 ⎪⎭⎪ ⎩⎪ ⎭⎪ ⎩⎪ ⎭⎪ ⎧⎪ 4x − 3y = −2 ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⇔⎨ ⎬. ⎪⎪ 4x + 3y = 8 ⎪⎪ ⎩⎪ ⎭⎪ Προσθέτω κατά μέλη και προκύπτει 6 3 8x = 6 ⇔ x = ⇔x= . 8 4 Από την εξίσωση 4x + 3y = 8 έχω τότε 3 5 4⋅ + 3y = 8 ⇔ 3y = 5 ⇔ y = . 4 3 ⎛3 5⎞ Άρα, η λύση του συστήματος είναι (x , y) = ⎜⎜⎜ , ⎟⎟⎟ . ⎝ 4 3 ⎟⎠ Μαθηµατικό στέκι - www.mathsteki.gr -7 - Δηµήτρης Αντ. Μοσχόπουλος , καθηγητής Μαθηµατικών Η επανάληψη του Γυµνασίου • Γραµµικά συστήµατα ⎧⎪ 2(2x + 3y) = 3(2x − 3y) + 10 ⎫⎪ ⎧⎪ 4x + 6y = 6x − 9y + 10 ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪

Άσκηση επανάληψης – Σ11 από «Τ9-Γραμμικά συστήματα 2Χ2». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: ⎪⎪ 4x − 3y = 4(6y − 2x) + 3 ⎪⎪ ⎪⎪ 4x − 3y = 24y − 8x + 3 ⎪⎪ ⎩⎪ ⎭⎪ ⎩⎪ ⎭⎪ ⎧⎪ −2x + 15y = 10 ⎫⎪ ⎧⎪ −2x + 15y = 10 ⎫⎪ ⋅2 ⎧⎪ −4x + 30y = 20 ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⇔⎨ ⎬⇔⎨ ⎬⇔⎨ ⎬. ⎪⎪ 12x − 27y = 3 ⎪⎪ :3 ⎪⎪ 4x − 9y = 1 ⎪⎪ ⎪⎪ 4x − 9y = 1 ⎪⎪ ⎩⎪ ⎭⎪ ⎩⎪ ⎭⎪ ⎩⎪ ⎭⎪ Προσθέτω κατά μέλη και προκύπτει 21y = 21 ⇔ y = 1 . Από την εξίσωση 4x − 9y = 1 έχω τότε 10 5 4x − 9 ⋅1 = 1 ⇔ 4x = 10 ⇔ x = ⇔x= . 4 2 ⎛5 ⎞ Άρα, η λύση του συστήματος είναι (x , y) = ⎜⎜⎜ , 1⎟⎟⎟ . ⎝ 2 ⎟⎠ ⎧⎪ (x + 1)(y + 2) = (x − 1)(y + 3) + 5 ⎫⎪ ⎪ ⎪

Άσκηση επανάληψης – Σ12 από «Τ9-Γραμμικά συστήματα 2Χ2». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: ⎪⎪ (2x + 1)(y − 1) = (x + 3)(2y − 3) + 2 ⎪⎪ ⎩⎪ ⎭⎪ ⎧⎪ ⎫ ⎪⎪ xy + 2x + y + 2 = xy + 3x − y − 3 + 5 ⎪⎪⎪ ⎧⎪⎪ −x + 2y = 0 ⎫⎪⎪ ⇔⎨ ⎬⇔⎨ ⎬. ⎪⎪ 2xy − 2x + y − 1 = 2xy − 3x + 6y − 9 + 2 ⎪⎪ ⎪⎪ x − 5y = −6 ⎪⎪ ⎪⎩ ⎪⎭ ⎩⎪ ⎭⎪ Προσθέτω κατά μέλη και προκύπτει −3y = −6 ⇔ y = 2 . Από την εξίσωση −x + 2y = 0 έχω τότε x = 2y = 2 ⋅ 2 ⇔ x = 4 . Άρα, η λύση του συστήματος είναι (x , y) = (4 , 2) . ⎧⎪ x + 3y = 13 ⎫⎪ ⋅5 ⎧⎪ 5x + 15y = 65 ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪

Άσκηση επανάληψης – Σ13 από «Τ9-Γραμμικά συστήματα 2Χ2». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: ⎪⎪ 3x − 5y = 11 ⎪⎪ ⋅3 ⎪⎪ 9x − 15y = 33 ⎪⎪ ⎩⎪ ⎭⎪ ⎩⎪ ⎭⎪ Προσθέτω κατά μέλη και προκύπτει 14x = 98 ⇔ x = 7 . Από την εξίσωση x + 3y = 13 έχω τότε 7 + 3y = 13 ⇔ 3y = 6 ⇔ y = 2 . Άρα, η λύση του συστήματος είναι (x , y) = (7 , 2) . Μαθηµατικό στέκι - www.mathsteki.gr -8 - Δηµήτρης Αντ. Μοσχόπουλος , καθηγητής Μαθηµατικών Η επανάληψη του Γυµνασίου • Γραµµικά συστήµατα ⎧⎪ 2x − 5y = 25 ⎫⎪ ⎧⎪ 2x − 5y = 25 ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪

Άσκηση επανάληψης – Σ14 από «Τ9-Γραμμικά συστήματα 2Χ2». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: ⎪⎪ 3x + y = 12 ⎪⎪ ⋅5 ⎪⎪ 15x + 5y = 60 ⎪⎪ ⎩⎪ ⎭⎪ ⎩⎪ ⎭⎪ Προσθέτω κατά μέλη και προκύπτει 17x = 85 ⇔ x = 5 . Από την εξίσωση 3x + y = 12 έχω τότε 3 ⋅ 5 + y = 12 ⇔ y = −3 . Άρα, η λύση του συστήματος είναι (x , y) = (5,− 3) . ⎧⎪ 4x + 3y = 44 ⎫⎪ ⎧⎪ 4x + 3y = 44 ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪

Άσκηση επανάληψης – Σ15 από «Τ9-Γραμμικά συστήματα 2Χ2». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: ⎪⎪ 2x − y = 12 ⎪⎪ ⋅3 ⎪⎪ 6x − 3y = 36 ⎪⎪ ⎩⎪ ⎭⎪ ⎩⎪ ⎭⎪ Προσθέτω κατά μέλη και προκύπτει 10x = 80 ⇔ x = 8 . Από την εξίσωση 2x − y = 12 έχω τότε 2 ⋅ 8 − y = 12 ⇔ y = 4 . Άρα, η λύση του συστήματος είναι (x , y) = (8 , 4) . ⎧⎪ 5x + y = 7 ⎫⎪ ⋅(−2) ⎧⎪ −10x − 2y = −14 ⎫⎪ ⎧⎪ 10x + 2y = 14 ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪

Άσκηση επανάληψης – Σ16 από «Τ9-Γραμμικά συστήματα 2Χ2». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: ⎪⎪ 10x + 2y = 13 ⎪⎪ ⎪⎪ 10x + 2y = 13 ⎪⎪ ⎪⎪ 10x + 2y = 13 ⎪⎪ ⎩⎪ ⎭⎪ ⎩⎪ ⎭⎪ ⎩⎪ ⎭⎪ οπότε το σύστημα είναι αδύνατο. ⎧⎪ 2x − 3y = 15 ⎫⎪ ⎧⎪ 2x − 3y = 15 ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪

Άσκηση επανάληψης – Σ17 από «Τ9-Γραμμικά συστήματα 2Χ2». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: ⎪⎪ −6x + 9y = −45 ⎪⎪ :(−3) ⎪⎪ 2x − 3y = 15 ⎪⎪ ⎩⎪ ⎭⎪ ⎩⎪ ⎭⎪ οπότε το σύστημα έχει άπειρες λύσεις. Από την εξίσωση 2x − 3y = 15 προκύπτει 3y + 15 2x − 3y = 15 ⇔ 2x = 3y + 15 ⇔ x = . 2 ⎛ 3y + 15 ⎞ Άρα, οι άπειρες λύσεις έχουν την μορφή (x , y) = ⎜⎜⎜ , y⎟⎟⎟ . ⎝ 2 ⎟⎠ Μαθηµατικό στέκι - www.mathsteki.gr -9 - Δηµήτρης Αντ. Μοσχόπουλος , καθηγητής Μαθηµατικών Η επανάληψη του Γυµνασίου • Γραµµικά συστήµατα Σχόλιο Από την εξίσωση 2x − 3y = 15 θα μπορούσα να λύσω και ως προς y. Τότε θα είχα 2x − 15 3y = 2x − 15 ⇔ y = 3 και θα έγραφα στο τέλος ⎛ 2x − 15 ⎞⎟ «Άρα, το σύστημα έχει άπειρες λύσεις της μορφής (x , y) = ⎜⎜⎜x , ⎟⎟ ». ⎝ 3 ⎟⎠ ⎧⎪ 7x + 2y = −11 ⎫⎪ ⎧⎪ 7x + 2y = −11 ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪

Άσκηση επανάληψης – Σ18 από «Τ9-Γραμμικά συστήματα 2Χ2». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: ⎪⎪ 35x + 10y = −20 ⎪⎪ :5 ⎪⎪ 7x + 2y = −4 ⎪⎪ ⎩⎪ ⎭⎪ ⎩⎪ ⎭⎪ οπότε το σύστημα είναι αδύνατο. ⎧⎪ x+y x−y ⎫⎪ ⎪⎪ = ⎪⎪ ⎪⎪ 5 3 ⎪⎪ ⎧⎪⎪ 3(x + y) = 5(x − y) ⎫⎪ ⎪

Άσκηση επανάληψης – Σ19 από «Τ9-Γραμμικά συστήματα 2Χ2». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: ⎪⎪ x + y x−y y + 2 ⎪⎪ ⎪⎪⎪ 3(x + y) − 2(x − y) = 3(y + 2) ⎪⎪⎪ ⎪⎪ − = ⎪ ⎩ ⎭ ⎪⎩ 2 3 2 ⎪⎭⎪ ⎧⎪ ⎫⎪ ⎧⎪ ⎪⎪ 3x + 3y = 5x − 5y ⎪⎪ ⎪ −2x + 8y = 0 ⎫⎪⎪ :2 ⎧⎪⎪ −x + 4y = 0 ⎫⎪⎪ ⇔⎨ ⎬⇔⎨ ⎬⇔⎨ ⎬. ⎪⎪ 3x + 3y − 2x + 2y = 3y + 6 ⎪⎪ ⎪⎪ x + 2y = 6 ⎪⎪ ⎪⎪ x + 2y = 6 ⎪⎪ ⎩⎪ ⎭⎪ ⎩⎪ ⎭⎪ ⎩⎪ ⎭⎪ Προσθέτω κατά μέλη και προκύπτει 6y = 6 ⇔ y = 1 . Από την εξίσωση −x + 4y = 0 έχω τότε x = 4y = 4 ⋅1 ⇔ x = 4 . Άρα, η λύση του συστήματος είναι (x , y) = (4 ,1) . Μαθηµατικό στέκι - www.mathsteki.gr - 10 - Δηµήτρης Αντ. Μοσχόπουλος , καθηγητής Μαθηµατικών Η επανάληψη του Γυµνασίου • Γραµµικά συστήµατα ⎧⎪ x + y x−y 5 ⎫⎪⎪ ⎪⎪ − = ⎪⎪ ⎧⎪ ⎫ ⎪⎪ 2 3 3 ⎪ ⎪ 3(x + y) − 2(x − y) = 10 ⎪⎪

Άσκηση επανάληψης – Σ20 από «Τ9-Γραμμικά συστήματα 2Χ2». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: ⎪⎪ x + y x−y ⎪⎪ ⎪⎪ 4(x + y) + 3(x − y) = 36 ⎪⎪ ⎪⎪ + = 3 ⎪ ⎩⎪ ⎭⎪ ⎪⎩ 3 4 ⎪⎪ ⎭ ⎧ ⎪ ⎫ ⎧ ⎫ ⋅(−7) ⎧ ⎫ ⎪ 3x + 3y − 2x + 2y = 10 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ x + 5y = 10 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ −7x − 35y = −70 ⎪ ⎪. ⇔⎨ ⎬⇔⎨ ⎬ ⇔ ⎨ ⎬ ⎪ ⎪ 4x + 4y + 3x − 3y = 36 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 7x + y = 36 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 7x + y = 36 ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎭ ⎪ ⎩ ⎪ ⎭ ⎪ ⎩ ⎪ ⎭ Προσθέτω κατά μέλη και προκύπτει −34y = −34 ⇔ y = 1 . Από την εξίσωση x + 5y = 10 έχω τότε x + 5 ⋅1 = 10 ⇔ x = 5 . Άρα, η λύση του συστήματος είναι (x , y) = (5,1) . ⎧⎪ x + 2 y −4 5x − y ⎫⎪⎪ ⎪⎪ + = ⎪⎪ ⎧⎪ ⎪⎪ 3 ⎫⎪

Άσκηση επανάληψης – Σ21 από «Τ9-Γραμμικά συστήματα 2Χ2». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: ⎪⎪ 2y − x x+y ⎪ ⎪ 3(2y − x) + 2(x + y) = 12(x + 1) ⎪⎪ ⎪⎪ + = x + 1 ⎪⎪ ⎪⎩⎪ ⎭⎪ ⎪⎩ 4 6 ⎪⎪ ⎭ ⎧⎪ 4x + 8 + 3y − 12 = 15x − 3y ⎫⎪ ⎧⎪ −11x + 6y = 4 ⎫⎪ ⋅(−4) ⎧⎪ 44x − 24y = −16 ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⇔⎨ ⎬⇔⎨ ⎬ ⇔ ⎨ ⎬. ⎪⎪ 6y − 3x + 2x + 2y = 12x + 12 ⎪⎪ ⎪⎪ −13x + 8y = 12 ⎪⎪ ⋅3 ⎪⎪ −39x + 24y = 36 ⎪⎪ ⎩⎪ ⎭⎪ ⎩⎪ ⎭⎪ ⎩⎪ ⎭⎪ Προσθέτω κατά μέλη και προκύπτει 5x = 20 ⇔ x = 4 . Από την εξίσωση −11x + 6y = 4 έχω τότε −11 ⋅ 4 + 6y = 4 ⇔ 6y = 48 ⇔ y = 8 . Άρα, η λύση του συστήματος είναι (x , y) = (4 , 8) . Μαθηµατικό στέκι - www.mathsteki.gr - 11 - Δηµήτρης Αντ. Μοσχόπουλος , καθηγητής Μαθηµατικών Η επανάληψη του Γυµνασίου • Γραµµικά συστήµατα ⎧⎪ x + y x−y 5(x − 4) ⎫⎪⎪ ⎪⎪ + = ⎪⎪ ⎧⎪ ⎫ ⎪⎪ 3 4 8 ⎪ ⎪ 8(x + y) + 6(x − y) = 15(x − 4) ⎪⎪

Άσκηση επανάληψης – Σ22 από «Τ9-Γραμμικά συστήματα 2Χ2». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: ⎪⎪ x + y x−y 6y + 3 ⎪⎪ ⎪⎪⎪ 3(x + y) − 4(x − y) = 6y + 3 ⎪⎪⎪ ⎪⎪ − = ⎪⎪ ⎩ ⎭ ⎪⎩ 4 3 12 ⎪⎭ ⎧⎪ 8x + 8y + 6x − 6y = 15x − 60 ⎫⎪ ⎧⎪ −x + 2y = −60 ⎫⎪ ⎧⎪ −x + 2y = −60 ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⇔⎨ ⎬⇔⎨ ⎬ ⇔ ⎨ ⎬. ⎪⎪ 3x + 3y − 4x + 4y = 6y + 3 ⎪⎪ ⎪⎪ −x + y = 3 ⎪⎪ ⋅(−1) ⎪⎪ x − y = −3 ⎪⎪ ⎩⎪ ⎭⎪ ⎩⎪ ⎭⎪ ⎩⎪ ⎭⎪ Προσθέτω κατά μέλη και προκύπτει y = −63 . Από την εξίσωση x − y = −3 έχω τότε x = y − 3 = −63 − 3 ⇔ x = −66 . Άρα, η λύση του συστήματος είναι (x , y) = (−66 ,− 63) . ⎧⎪ 3x + 2y x + 4y ⎫⎪ ⎪⎪ = + y + 2 ⎪⎪ ⎪⎪ 2 6 ⎪⎪ ⎧⎪⎪ 3(3x + 2y) = x + 4y + 6y + 12 ⎫⎪⎪