Ε9-Π2+Κ32-εξώφυλλο

Έστω η συνεχής συνάρτηση f : ! → ! , με x ⋅ f(x) ≥ x 2 + ηµ2x , για κάθε x ∈ ! . α. Να βρεθεί το f(0). β. Να δειχθεί ότι υπάρχει ένα, τουλάχιστον, x 0 ∈ ! τέτοιο, ώστε f(x 0 ) = 2004 .

Δίνονται οι συναρτήσεις f, g, οι οποίες είναι συνεχείς στο διάστημα ⎡⎢α , β⎤⎥ , με g(x) ≠ 0 , ⎣ ⎦ για κάθε x ∈ ⎢α , β⎥ . Να δειχθεί ότι υπάρχει x 0 ∈ (α , β) , ώστε ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ f(x 0 ) 1 1 = + . g(x 0 ) x0 − α x0 − β

Έστω συνάρτηση f, περιττή και συνεχής στο ! , με ℓ im ⎡⎢ f(συνx)⎤⎥ = 2 . Να δείξετε ότι x→ 0 ⎣ ⎦ υπάρχει ένα, τουλάχιστον, x 0 ∈ (0 ,1) , ώστε f(x 0 ) = 1 .

Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστημα ⎡⎢1, 2⎤⎥ , με f(2) ≠ 6 και f(1) + f(2) = 8 , ⎣ ⎦ να αποδείξετε ότι υπάρχει, τουλάχιστον ένα, x 0 ∈ (1, 2) , ώστε f(x 0 ) = x 0 + x 20 .

Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f : ! → ! , με f(x) ≠ x , για κάθε x ∈ ! . Αν η C f διέρχε- ται από το σημείο A(3 , 2) , να δείξετε ότι: α. f(x) < x , για κάθε x ∈ ! . β. υπάρχει ξ ∈ (−1,1) τέτοιο, ώστε ξ ⋅ f(ξ) = 1 .

Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστημα ⎡⎢−1, 2⎤⎥ , με f(−1) ≠ f(2) . Να αποδείξετε ότι ⎣ ⎦ υπάρχει x 0 ∈ (−1, 2) , ώστε 3f(−1) + 4f(2) = 7f(x 0 ) .

Έστω f : ⎡⎢α , β⎤⎥ → ! , συνεχής και γνησίως φθίνουσα συνάρτηση, με f(α) − f(β) ≠ 0 , ⎣ ⎦ κ , λ , µ ∈ ! * και γ ∈ (α , β) . Να αποδείξετε ότι υπάρχει x 0 ∈ (α , β) , ώστε (κ + λ + µ) ⋅ f(x 0 ) = κ ⋅ f(α) + λ ⋅ f(γ) + µ ⋅ f(β) .

Δίνονται οι συναρτήσεις με τύπους f(x) = 20αxe x και g(x) = 21β(ηµx + συνx) . Αν το (α , β) είναι σημείο της ευθείας 21y = 20x , με (α , β) ≠ (0 , 0) , να δείξετε ότι οι C , C f g έχουν ένα, τουλάχιστον, κοινό σημείο, με τετμημένη x ∈ (0 ,1) . 0

ξ2 + 1 ξ6 + 1 Να αποδειχθεί ότι υπάρχει ξ ∈ (α , β) τέτοιο, ώστε + =0. ξ −α ξ−β

Δίνονται οι συναρτήσεις f, g, που είναι συνεχείς στο διάστημα ⎡⎢α , β⎤⎥ . Αν είναι ⎣ ⎦ f(α) > g(α) και f(β) < g(β) , να αποδείξετε ότι υπάρχει ξ ∈ (α , β) τέτοιο, ώστε f(ξ) = g(ξ) .

Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστημα ⎡⎢α , β⎤⎥ , με f(α) = α , f(β) = β , να αποδεί- ⎣ ⎦ ξετε ότι υπάρχει x 0 στο (α , β) , με x 0 + f(x 0 ) = α + β .

Αν οι συναρτήσεις f, g είναι συνεχείς στο διάστημα ⎡⎢0 ,1⎤⎥ , με f(0) = g(1) , f(1) = g(0) ⎣ ⎦ και g(0) ≠ g(1) , να αποδείξετε ότι υπάρχει ξ ∈ (0 ,1) , ώστε f(ξ) = g(ξ) .

Έστω f, g συναρτήσεις, συνεχείς στο διάστημα ⎡⎢0 , 2⎤⎥ και τέτοιες, ώστε f(0) < g(0) και ⎣ ⎦ f(2) > g(2) . Να δείξετε ότι οι καμπύλες y = f(x) και y = g(x) τέμνονται τουλάχιστον σε ένα σημείο, με τετμημένη x 0 ∈ (0 , 2) .

Δίνεται συνάρτηση f, συνεχής στο διάστημα ⎡⎢0 , 2⎤⎥ , με 0 < f(x) < 1 , για κάθε x ∈ ⎡⎢0 , 2⎤⎥ . ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ Να αποδείξετε ότι υπάρχει ξ ∈ (0 , 2) τέτοιο, ώστε f 2 (ξ) = f(ξ) − ξ .

Δίνονται οι συνεχείς συναρτήσεις f, g, με πεδίο ορισμού και σύνολο τιμών το διάστημα ⎡0 ,1⎤ . Αν η f είναι γνησίως αύξουσα και η g γνησίως φθίνουσα στο ⎡0 ,1⎤ , να αποδείξε- ⎢⎣ ⎥⎦ ⎢⎣ ⎥⎦ τε ότι υπάρχει x 0 ∈ (0 ,1) τέτοιο, ώστε (f ! g)(x 0 ) = (g ! f)(x 0 ) + 2x 20 − 1 .

Έστω συνάρτηση f : ! → ! , συνεχής και περιττή, με ℓ im f(x) = 3 . Δείξτε ότι υπάρχει x→1 x 0 ∈ (0 ,1) , ώστε f(x 0 ) = e . x0

Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο διάστημα ⎡⎢0 ,1⎤⎥ , με f(1) = 1 , ⎣ ⎦ δείξτε ότι υπάρχει ένα, τουλάχιστον, ξ ∈ (0 ,1) , ώστε f(ξ) = (1 − ξ) ⋅ συνξ .

f(1) ⋅ f(x) + x Αν μία συνάρτηση f είναι συνεχής στο ! , με ℓ im = ℓ , ℓ ∈ " , να δείξετε x→ 2 4 − x2 ότι υπάρχει x 0 ∈ ! , ώστε f(x 0 ) = 0 .

Δίνονται οι συναρτήσεις f, g, ορισμένες και συνεχείς στο διάστημα ⎡⎢−1, 5⎤⎥ , με ⎣ ⎦ f(−1) < g(−1) , g(5) < f(5) . Να δείξετε ότι οι C f , C g τέμνονται σε ένα, τουλάχιστον, σημείο, με τετμημένη x 0 ∈ (−1, 5) .

Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστημα ⎡⎢α , β⎤⎥ και f(α) ≠ 0 , να αποδείξετε ότι ⎣ ⎦ f(x 0 ) f(α) + f(β) υπάρχει ένα, τουλάχιστον, x 0 ∈ (α , β) , ώστε να ισχύει = . x0 − α β−α

Έστω α, β πραγματικοί αριθμοί, με α < β . Να δείξετε ότι, για κάθε γ ∈ (α , β) , υπάρχει ξ ∈ (0 ,1) τέτοιο, ώστε γ = ξβ + (1 − ξ)α .

Έστω συνάρτηση f, συνεχής στο διάστημα ⎡⎢0 ,1⎤⎥ . Αν 0 < f(0) < f(1) , να δείξετε ότι ⎣ ⎦ υπάρχει ένα, τουλάχιστον, x 0 ∈ (0 ,1) , ώστε f(x 0 ) ⋅ ⎡⎢ f(0) + f(1)⎤⎥ = 2f(0) ⋅ f(1) . ⎣ ⎦

Αν οι συναρτήσεις f, g είναι συνεχείς στο διάστημα ⎡⎢2 , 3⎤⎥ , με f(2) < g(2) < g(3) < f(3) , ⎣ ⎦ να δείξετε ότι υπάρχει ένα, τουλάχιστον, ξ στο διάστημα (2 , 3) τέτοιο, ώστε οι γραφι- κές παραστάσεις των f και g να έχουν τουλάχιστον ένα κοινό σημείο, με τετμημένη που ανήκει στο διάστημα (2 , 3) .

πx 5πx Να αποδειχθεί ότι η συνάρτηση f(x) = x 3 + συν2 + ηµ παίρνει την τιμή −4 , 2 2 για κάποιο x 0 ∈ (−2 ,− 1) .