Ε5-Γενικές ασκήσεις-Μέρος 1(Α)-εξώφυλλο

2 − ℓnx Δίνεται η συνάρτηση f(x) = , x>0. x2 α. Να μελετήσετε την f ως προς την μονοτονία και τα ακρότατα. β. Να βρείτε τις ασύμπτωτες της C f . γ. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την C f , τον άξονα x΄x και τις ευθείες x = 1 , x = e3 .

ℓnx Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x − , x>0. x α. Να μελετήσετε την f ως προς την μονοτονία και τα ακρότατα. β. Να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της f. γ. Να μελετήσετε την f ως προς την κυρτότητα και τα σημεία καμπής. δ. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την γραφική παρά- σταση της f και τις ευθείες y = 0 , x = 1 , x = e .

αx − 1 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = , x ∈ ! , η οποία παρουσιάζει καμπή στο 3. ex α. Να βρείτε την τιμή του α ∈ ! . β. Να μελετήσετε την f ως προς την μονοτονία, τα ακρότατα και να βρείτε το σύνολο τιμών της. γ. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την γραφική παρά- σταση της f και τους άξονες x΄x και y΄y.

ℓnx Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x − , x>0. 2 x α. Να μελετήσετε την f ως προς την μονοτονία και τα ακρότατα. β. Να υπολογίσετε το εμβαδόν Ε(λ) του χωρίου που περικλείεται από την γραφική παράσταση της f, τον άξονα x΄x και τις ευθείες x = 1 , x = λ , λ > 0 . γ. Να υπολογίσετε τα όρια ℓim Ε(λ) και ℓim Ε(λ) . λ→ 0+ λ→ +∞

x Έστω η συνάρτηση f(x) = − 2ℓn(x + 1) , x > −1 . x +1 α. Να βρείτε το σύνολο τιμών της. x β. Να βρείτε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης ℓn(x + 1)x+1 = . 2 γ. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την γραφική παρά- σταση της f, τους άξονες x΄x και y΄y και την ευθεία x = 1 .

Θεωρούμε την συνάρτηση f : (0 , + ∞) → ! , με f ′(1) = 1 , για την οποία ισχύει η σχέση f(xy) = x ⋅ f(y) + y ⋅ f(x) , για κάθε x , y > 0 . f(x) α. Να αποδείξετε ότι f ′(x) = 1 + , για κάθε x > 0 . x β. Να βρείτε τον τύπο της f. γ. Να λύσετε την εξίσωση 2f(x) = x 2 − 1 . δ. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την γραφική παρά- σταση της f, τον άξονα x΄x και την ευθεία x = e−1 .

Δίνεται η συνάρτηση f : ⎡⎢0 , + ∞) → ! , για την οποία είναι f(0) = 1 και 2x < f ′(x) < e x , ⎣ για κάθε x > 0 . α. Να αποδείξετε ότι x 2 + 1 < f(x) < e x , για κάθε x > 0 . β. Να βρείτε το σύνολο τιμών της f. γ. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f(x) = 2x 2 έχει τουλάχιστον μία λύση στο διάστημα (1, 2) . δ. Αν Ε(Ω) είναι το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την γραφική παρά- σταση της f, τον άξονα x΄x και τις ευθείες x = 0 , x = 1 , να αποδείξετε ότι 4 < Ε(Ω) < e − 1 . 3

Δίνεται η συνάρτηση β2 f(x) = x + α + , α∈! , β>0. x Αν η f παρουσιάζει τοπικό μέγιστο ίσο με ­1 και τοπικό ελάχιστο ίσο με 3, τότε: α. να δείξετε ότι α = 1 , β = 1 . β. να υπολογίσετε το εμβαδόν E(t) του χωρίου που περικλείεται από την γραφική παράσταση της f, την πλάγια ασύμπτωτη στο +∞ και τις ευθείες x = 1 , x = t , t >1. γ. Να υπολογίσετε το ℓim Ε(t) . t→ +∞

2x − 1 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = ℓn +x . x −1 α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της. β. Να μελετήσετε την συνάρτηση f ως προς την μονοτονία και τα ακρότατα. γ. Να βρείτε την πλάγια ασύμπτωτη της C f στο +∞ . δ. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την C f , την πλάγια 3 ασύμπτωτη στο +∞ και τις ευθείες x = , x=2. 2

Έστω ν ∈ ! * − {1} και η συνάρτηση f(x) = ν x , x ≥ 0 . α. Να αποδείξετε ότι η f είναι κοίλη. β. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης (ε) της C f στο σημείο της M (x 0 , f(x 0 )) , x 0 > 0 . γ. Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν Ε του χωρίου που περικλείεται από την C f , την εφαπτομένη (ε) και τον άξονα y΄y, δίνεται από την σχέση ν −1 Ε= ⋅ x ⋅ f(x 0 ) . 2ν(ν + 1) 0

1 − x ℓnx Δίνεται η συνάρτηση f(x) = , x>0. x ex α. Να βρείτε τις ασύμπτωτες της C f . λ ℓnx β. Να βρείτε την τιμή του λ για την οποία η συνάρτηση g(x) = είναι αρχική ex της f. γ. Να υπολογίσετε το εμβαδόν E(t) του χωρίου που περικλείεται από την C f , την οριζόντια ασύμπτωτη της C f και τις ευθείες x = 2 , x = t , t > 2 . δ. Να υπολογίσετε το όριο ℓim Ε(t) . t→ +∞

Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο ! και ικανοποιεί την σχέση 2 f(x) + f ′(x) = ∫ f(x) dx , για κάθε x ∈ ! . 0 α. Να βρείτε τον τύπο της f. β. Να βρείτε την οριζόντια ασύμπτωτη της γραφικής της παράστασης. γ. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την C f , την παρα- πάνω ασύμπτωτη και τις ευθείες x = 0 , x = 2 .

Δίνεται η συνάρτηση h : h(x) = x ℓnx − 2x + 2 , x ∈ (0 , e⎤⎥ . ⎦ α. Να μελετήσετε την μονοτονία και το πρόσημο της συνάρτησης h. β. Για τις παραγωγίσιμες συναρτήσεις f, g ισχύει f(x) − g(x) = h(x) , για κάθε x ∈ (0 , e⎤⎥ . ⎦ Ι. Να δείξετε ότι οι C f , C g έχουν ένα μόνο κοινό σημείο. ΙΙ. Να βρείτε το εμβαδόν που περικλείεται από τις C f , C g και τις ευθείες x=1, x=e.

1 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = 2 − e x και η ευθεία ε : y = − x , λ>0. λ α. Να αποδείξετε ότι η (ε) τέμνει την C f σε δύο ακριβώς σημεία A (x1 , f(x1 )) και B (x 2 , f(x 2 )) , με x1 < x 2 . β. Για τα x1 , x 2 του προηγούμενου ερωτήματος, να αποδείξετε ότι υπάρχει μόνο ένα x x e 1 −e 2 1 ξ ∈ (x1 , x 2 ) τέτοιο, ώστε = eξ = . x1 − x 2 λ x2 ∫ f(t) dt = λ (e − e ) . 2 x1 x2 γ. Να βρείτε το λ, αν ισχύει x1

Έστω η συνάρτηση f : f(x) = x − ℓnx + e x , x ≥ 1 . α. Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα. β. Να βρείτε το σύνολο τιμών της. γ. Να δείξετε ότι η εξίσωση f(x + e x ) = f(ℓnx + 2010) έχει μοναδική ρίζα στο ⎡⎢1, + ∞) . ⎣ δ. Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα e β Ι= ∫ f(x) dx + ∫ f (x) dx , 1 α −1 όπου α = 1 + e και β = e − 1 + e e .

α. Να δείξετε ότι ℓnx ≤ x − 1 , για κάθε x > 0 . β. Αν g(x) = x 2 + 8 − 8ℓnx , x > 0 , να μελετήσετε την μονοτονία της g και να προσδιο- ρίσετε το πρόσημό της. 8ℓnx γ. Έστω f : f(x) = x − 1 + , x > 0 . Να μελετήσετε την μονοτονία της f. x δ. Να δείξετε ότι η ευθεία με εξίσωση y = x − 1 είναι πλάγια ασύμπτωτη της C f . ε. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της C f που είναι παράλληλη στην πλάγια ασύμπτωτη. στ. Να υπολογίσετε το εμβαδόν που περικλείεται από την γραφική παράσταση της f και τις ευθείες y = 0 , x = 1 , x = e .

Θεωρούμε την συνάρτηση f : ! → ! , με f(x) = x 4 + x 3 + x . α. Να βρείτε τις τιμές του λ ∈ ! , ώστε η εξίσωση f(x) = λ να έχει ακριβώς δύο λύ- σεις. x f(x) + 2011 β. Δίνεται η συνάρτηση g : g(x) = , x > 0 . Να δείξετε ότι η ευθεία f(x) y = x είναι πλάγια ασύμπτωτη της C g στο +∞ και ότι δεν έχει κοινά σημεία με την C g . γ. Να δείξετε ότι η f αντιστρέφεται στο διάστημα ⎡⎢0 , + ∞) και να υπολογίσετε το ⎣ 3 ολοκλήρωμα Ι = ∫ f (t) dt . 0 −1 δ. Αν για την συνάρτηση h(x) ισχύει ⎛ 1 ⎞⎟ ⎛ 1 ⎞ f ⎜⎜⎜ 2 ⎟⎟ ≤ f (h(x)) ≤ f ⎜⎜ 2 ⎟⎟⎟ , για κάθε x ≥ 0 , ⎝ x + 1 ⎟⎠ ⎜⎝ x ⎟⎠ να βρείτε το ℓim h(x) . x→ +∞

Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f : ⎡⎢1, + ∞) → ! τέτοια, ώστε f(1) = 2 . ⎣ α. Να βρείτε την συνάρτηση f, αν ισχύει x ⋅ f ′(x) − 2f(x) = 0 , για κάθε x ≥ 1 . β. Αν ισχύει x ⋅ f ′(x) − 2f(x) > 0 , για κάθε x ≥ 1 , να δείξετε ότι: Ι. f(x) ≥ 2x 2 , για κάθε x ≥ 1 . ΙΙ. για κάθε α, β, με 1 ≤ α < β , ισχύει β ∫ f(x) dx < β ⋅ ⎡⎣⎢f(β) − β ⎤⎦⎥ − α ⋅ ⎡⎣⎢f(α) − α ⎤⎦⎥ . α 2 2

Θεωρούμε τις συναρτήσεις f , g : ! → ! , με ( 2 − 1) − x και g(x) = ( 2 + 1) − ( 2 − 1) . x x x f(x) = α. Να δείξετε ότι η f αντιστρέφεται και να λύσετε την εξίσωση f −1 (x − 2) = 1 . β. Να δείξετε ότι g(−x) = −g(x) , για κάθε x ∈ ! , και να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα 2010 Ι= ∫ g(t) dt . −2010 f(x) − 1 γ. Να υπολογίσετε το όριο L = ℓim . x→ 0 g(x)

1 x Έστω η συνάρτηση f : f(x) = ℓnx + − − ℓn2 , x > 0 . x 4 α. Να βρεθεί η μονοτονία της f. β. Να λύσετε την εξίσωση f(x) = 0 . x γ. Έστω g(x) = f(x) + + ℓn2 . 4 Ι. Να δείξετε ότι g(x) ≥ 1 , για κάθε x > 0 . ΙΙ. Να βρείτε το εμβαδόν που περικλείεται από τις γραφικές παραστάσεις C f , C g και τις ευθείες x = 1 , x = 2 .