Άσκηση 317

Βοηθητική μεταγραφή

Θεωρούμε την συνάρτηση f : ! → ! , με f(x) = x 4 + x 3 + x . α. Να βρείτε τις τιμές του λ ∈ ! , ώστε η εξίσωση f(x) = λ να έχει ακριβώς δύο λύ- σεις. x f(x) + 2011 β. Δίνεται η συνάρτηση g : g(x) = , x > 0 . Να δείξετε ότι η ευθεία f(x) y = x είναι πλάγια ασύμπτωτη της C g στο +∞ και ότι δεν έχει κοινά σημεία με την C g . γ. Να δείξετε ότι η f αντιστρέφεται στο διάστημα ⎡⎢0 , + ∞) και να υπολογίσετε το ⎣ 3 ολοκλήρωμα Ι = ∫ f (t) dt . 0 −1 δ. Αν για την συνάρτηση h(x) ισχύει ⎛ 1 ⎞⎟ ⎛ 1 ⎞ f ⎜⎜⎜ 2 ⎟⎟ ≤ f (h(x)) ≤ f ⎜⎜ 2 ⎟⎟⎟ , για κάθε x ≥ 0 , ⎝ x + 1 ⎟⎠ ⎜⎝ x ⎟⎠ να βρείτε το ℓim h(x) . x→ +∞

Η αυτόματη μεταγραφή είναι βοηθητική και μπορεί να μην αποδίδει με ακρίβεια όλους τους μαθηματικούς τύπους και τα σύμβολα. Η σάρωση παραμένει η πηγή αναφοράς.

Εκφώνηση

Αναλυτική λύση