Άσκηση 318

Βοηθητική μεταγραφή

Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f : ⎡⎢1, + ∞) → ! τέτοια, ώστε f(1) = 2 . ⎣ α. Να βρείτε την συνάρτηση f, αν ισχύει x ⋅ f ′(x) − 2f(x) = 0 , για κάθε x ≥ 1 . β. Αν ισχύει x ⋅ f ′(x) − 2f(x) > 0 , για κάθε x ≥ 1 , να δείξετε ότι: Ι. f(x) ≥ 2x 2 , για κάθε x ≥ 1 . ΙΙ. για κάθε α, β, με 1 ≤ α < β , ισχύει β ∫ f(x) dx < β ⋅ ⎡⎣⎢f(β) − β ⎤⎦⎥ − α ⋅ ⎡⎣⎢f(α) − α ⎤⎦⎥ . α 2 2

Η αυτόματη μεταγραφή είναι βοηθητική και μπορεί να μην αποδίδει με ακρίβεια όλους τους μαθηματικούς τύπους και τα σύμβολα. Η σάρωση παραμένει η πηγή αναφοράς.

Εκφώνηση

Αναλυτική λύση