Ε3-Κ7-Μέρος 2(Α)-εξώφυλλο

Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο ⎡⎢0 ,1⎤⎥ , να αποδείξετε ότι ⎣ ⎦ e 1 f(ℓnx) ∫1 x dx = ∫ f(x) dx . 0

Έστω η συνεχής συνάρτηση f : ! → ! . Να αποδείξετε ότι 1 2 ∫0 ⎡ f(x) + f(x + 1)⎤ dx = ⎢⎣ ⎥⎦ ∫ f(x) dx . 0

Έστω η συνεχής συνάρτηση f : (0 , + ∞) → ! . Αν α > 0 , να αποδείξετε ότι ⎛1⎞ α 1/α f ⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟ − 2x f(x) + 2x ⎝ x ⎠⎟ ∫1 x2 + 1 dx + ∫ x + 1 dx = 2ℓnα . 1 2

Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο (0 , + ∞) . Αν είναι α > 0 , να αποδείξετε ότι α α 1 ⎛⎜ α ⎞⎟ α⋅ ∫1 ⋅ f ⎜ ⎟⎟ dx = x 2 ⎜⎝ x ⎟⎠ ∫ f(x) dx . 1

Έστω η συνεχής συνάρτηση f : ! → ! . Αν α > 0 , να αποδείξετε ότι α ⎛ 1 ⎞ ℓnx f ⎜⎜⎜x + ⎟⎟⎟ ⋅ ∫ 1/α ⎝ x ⎟⎠ x dx = 0 .

Πρόσεξέ την πάρα πολύ! Η συνάρτηση f : (0 , + ∞) → ! είναι συνεχής και, για κάθε x > 0 , ικανοποιεί την σχέση ⎛1⎞ x 2f(x) + f ⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟ = c x , όπου c ∈ ! σταθερά. Για κάθε α > 0 , να αποδείξετε ότι ⎝ x ⎟⎠ α ∫ f(x) dx = 2 ⋅ f(1) ⋅ ℓnα . 1/α

Οι συναρτήσεις f , g : ⎡⎢0 , α ⎤⎥ → ! , με α > 0 , είναι συνεχείς. Να αποδείξετε ότι ⎣ ⎦ α α ∫ f(x) ⋅ g(α − x) dx = ∫ f(α − x) ⋅ g(x) dx . 0 0

Πρόσεξέ την πάρα πολύ! α. Αν η συνάρτηση f : ⎡⎢0 ,1⎤⎥ → ! είναι συνεχής, να αποδείξετε ότι ⎣ ⎦ π/2 π/2 ∫ f(ηµx) dx = ∫ f(συνx) dx . 0 0 π/2 π/2 β. Να αποδείξετε ότι ∫ ℓn(2 + ηµx) dx = ∫ ℓn(2 + συνx) dx . 0 0

Πρόσεξέ την πάρα πολύ! Η συνάρτηση f : ! → ! είναι συνεχής και περιττή. Να αποδείξετε ότι π ∫ f(συνx) dx = 0 . 0

Πρόσεξέ την πάρα πολύ! 4 x +1 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = , x∈!. 4x + 1 α. Να αποδείξετε ότι f(x) + f(−x) = x 4 + 1 , για κάθε x ∈ ! . 1 β. Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα ∫ f(x) dx . −1

Πρόσεξέ την πάρα πολύ! Έστω α > 0 και η συνεχής συνάρτηση f : ⎡⎢0 , 2α ⎤⎥ → ! . Να αποδείξετε ότι ⎣ ⎦ ⎧⎪ α ⎪⎪ ∫ 2α ⎪ 2 ⋅ f(x) dx , αν f(2α − x) = f(x) ∫ f(x) dx = ⎪⎨ ⎪⎪ 0 . 0 ⎪⎪ 0 , αν f(2α − x) = −f(x) ⎪⎩

Πρόσεξέ την πάρα πολύ! Η συνάρτηση f : ⎡⎢0 , α ⎤⎥ → ! , με α > 0 , είναι συνεχής και ικανοποιεί την σχέση ⎣ ⎦ f(α − x) = f(α) − f(x) , για κάθε x ∈ ⎡⎢0 , α ⎤⎥ . ⎣ ⎦ α α f(α) α. Να αποδείξετε ότι ∫0 f(x) dx = 2 . π/4 β. Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα Ι = ∫ ℓn(1 + εϕx) dx . 0

Η συνάρτηση f : ! → ! είναι συνεχής και, για κάθε x , y ∈ ! , ικανοποιεί την σχέση ηµ(x + y) = f(x) + f(y) + x ⋅ ηµy + y ⋅ ηµx . α. Να αποδείξετε ότι f(x) + f(−x) = 2x ηµx , για κάθε x ∈ ! . π/2 β. Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα ∫ f(x) dx . −π/2

Η συνάρτηση f : ! → ! είναι συνεχής και ικανοποιεί την σχέση f(1 + x) + f(1 − x) = x 2 , για κάθε x ∈ ! . 2 1 Να αποδείξετε ότι ∫0 f(x) dx = 3 .

Πρόσεξέ την πάρα πολύ! Έστω α > 2 και η συνεχής συνάρτηση f : ⎡⎢2 , α ⎤⎥ → (0 , + ∞) . Να βρείτε την τιμή του α ⎣ ⎦ α για την οποία ισχύει f(x) + f(2 + α − x) = ∫ f(x) dx , για κάθε x ∈ ⎡⎢⎣2 , α⎤⎥⎦ . 2

Πρόσεξέ την πάρα πολύ! Έστω οι συνεχείς συναρτήσεις f , g : ⎡⎢0 , α ⎤⎥ → ! οι οποίες, για κάθε x ∈ ⎡⎢0 , α ⎤⎥ , ικανοποι- ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ούν τις σχέσεις f(x) = f(α − x) , g(x) = β − g(α − x) . Να αποδείξετε ότι α α β ∫0 f(x) ⋅ g(x) dx = ⋅ 2 ∫ f(x) dx . 0

Πρόσεξέ την πάρα πολύ! α. Η συνάρτηση f : ⎡⎢0 ,1⎤⎥ → ! είναι συνεχής. Να αποδείξετε ότι ⎣ ⎦ π π π ∫ 0 x ⋅ f(ηµx) dx = ⋅ 2 ∫ f(ηµx) dx . 0 π x ηµx π ⋅ ℓn3 β. Να αποδείξετε ότι ∫0 2 3 + ηµ x dx = 4 .

Πρόσεξέ την πάρα πολύ! Έστω η συνεχής συνάρτηση f : ! → ! . Να αποδείξετε ότι α f(x) α ∫0 f(x) + f(α − x) dx = . 2

Πρόσεξέ την πάρα πολύ! Έστω η συνεχής συνάρτηση f : ⎡⎢−1,1⎤⎥ → ! , για την οποία ισχύει ⎣ ⎦ f(ηµx) + f(συνx) = 1 , για κάθε x ∈ ⎡⎢−1,1⎤⎥ . ⎣ ⎦ π/2 π Να δείξετε ότι ∫ 0 f(συνx) dx = 4 .

Πρόσεξέ την πάρα πολύ! ⎡ π⎤ Η συνάρτηση f : ⎢0 , ⎥ → ! είναι συνεχής και ικανοποιεί την σχέση ⎢ 2⎥ ⎣ ⎦ ⎛π ⎞ ⎡ π⎤ f ⎜⎜⎜ − x⎟⎟⎟ = f(x) , για κάθε x ∈ ⎢0 , ⎥ . ⎝2 ⎟⎠ ⎢ 2⎥ ⎣ ⎦ π/2 π/2 1 Να αποδείξετε ότι ∫ 0 f(x) ⋅ ηµ2x dx = ⋅ 2 ∫ f(x) dx . 0

Πρόσεξέ την πάρα πολύ! α. Έστω η συνεχής συνάρτηση f : ⎡⎢α , β⎤⎥ → ! . Να αποδείξετε ότι ⎣ ⎦ β β ∫ f(x) dx = ∫ f(α + β − x) dx . α α β. Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα: π/3 π/2 ∫ ( ηµx − συνx ) dx . ii) ∫ ηµx + συνx dx . συνx i) π/6 0

Πρόσεξέ την πάρα πολύ! α. Έστω η συνεχής συνάρτηση f : ⎡⎢α , β⎤⎥ → ! , για την οποία ισχύει ⎣ ⎦ f(x) = f(α + β − x) , για κάθε x ∈ ⎡⎢α , β⎤⎥ . ⎣ ⎦ Να αποδείξετε ότι α+β β β 2 α+β ∫α x f(x) dx = 2 ⋅ ∫ f(x) dx = (α + β) ⋅ ∫ f(x) dx . α α π x ηµx β. Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα ∫0 4 − συν2x dx .

Πρόσεξέ την πάρα πολύ! Η συνάρτηση f : ⎡⎢−1,1⎤⎥ → ! είναι συνεχής και άρτια. Να αποδείξετε ότι: ⎣ ⎦ 2π π π π/2 α) ∫ x ⋅ f(ηµx) dx = 2π ⋅ ∫ f(ηµx) dx . β) ∫ x ⋅ f(συνx) dx = π ⋅ ∫ f(συνx) dx . 0 0 0 0

Πρόσεξέ την πάρα πολύ! α. Η συνάρτηση f : (0 , + ∞) → ! είναι συνεχής και ικανοποιεί την σχέση ⎛1⎞ f ⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟ = −f(x) , για κάθε x > 0 . ⎝ x ⎟⎠ β π Αν α , β > 0 , με α + β = 2 , να αποδείξετε ότι ∫ f(εϕx) dx = 0 . α π/3 εϕx β. Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα ∫ π/6 ℓn x dx .