ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ-Π2

Λυμένο παράδειγμα 11 από «ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ-Π2». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: Το τριώνυμο x 2 − 5x + 6 έχει διακρίνουσα Δ = (−5)2 − 4 ⋅1 ⋅ 6 = 25 − 24 = 1 , οπότε έχει δύο ρίζες, τις - 23 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr Ά λγε β ρ α Α ΄Λ υκε ί ου Κεφάλαιο 4 • Ανισώσεις 5± 1 5±1 x1, 2 = = ⇔ x1 = 3 , x 2 = 2 2 ⋅1 2 και το πρόσημό του βρίσκεται σύμφωνα με τον πίνακα x −∞ 2 3 +∞ x 2 − 5x + 6 + - + δηλαδή είναι: • x 2 − 5x + 6 > 0 , για κάθε x ∈ (−∞ , 2) ∪ (3 , + ∞) . • x 2 − 5x + 6 < 0 , για κάθε x ∈ (2 , 3) . Έτσι, αν ζητούνταν (ή έπρεπε, για κάποιον λόγο που υπαγορεύεται από την άσκηση) να βρεις το πρόσημο του παραπάνω τριωνύμου, τότε κάνε όλη την παραπάνω εργασία και στο τέλος δώσε όλες τις παραπάνω απαντήσεις!

Λυμένο παράδειγμα 12 από «ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ-Π2». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: Το τριώνυμο −x 2 + 3x − 2 έχει διακρίνουσα Δ = 32 − 4 ⋅ (−1) ⋅ (−2) = 9 − 8 = 1 , οπότε έχει δύο ρίζες, τις −3 ± 1 −3 ± 1 x1, 2 = = ⇔ x1 = 1 , x 2 = 2 2 ⋅ (−1) −2 και το πρόσημό του βρίσκεται σύμφωνα με τον πίνακα x −∞ 1 2 +∞ −x 2 + 3x − 2 - + - δηλαδή είναι: • −x 2 + 3x − 2 < 0 , για κάθε x ∈ (−∞ ,1) ∪ (2 , + ∞) . • −x 2 + 3x − 2 > 0 , για κάθε x ∈ (1, 2) . - 24 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr Ά λγε β ρ α Α ΄Λ υκε ί ου Κεφάλαιο 4 • Ανισώσεις Έτσι, αν ζητούνταν (ή έπρεπε, για κάποιον λόγο που υπαγορεύεται από την άσκηση) να βρεις το πρόσημο του παραπάνω τριωνύμου, τότε κάνε όλη την παραπάνω εργασία και στο τέλος δώσε όλες τις παραπάνω απαντήσεις!

Λυμένο παράδειγμα 13 από «ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ-Π2». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: Για να βρούμε το πρόσημο του τριωνύμου x 2 + 3x , πρώτα πρέπει να δούμε αν έχει ρί- ζες. Γι’ αυτό, πρώτα πρέπει να λύσουμε την εξίσωση x 2 + 3x = 0 . Έχουμε x 2 + 3x = 0 ⇔ x (x + 3) = 0 ⇔ x = 0 ή x + 3 = 0 ⇔ x = 0 ή x = −3 . Αφού το τριώνυμο έχει δύο άνισες ρίζες, το πρόσημό του βρίσκεται σύμφωνα με τον πίνακα x −∞ −3 0 +∞ x 2 + 3x + - + δηλαδή είναι: • x 2 + 3x > 0 , για κάθε x ∈ (−∞ ,− 3) ∪ (0 , + ∞) . • x 2 + 3x < 0 , για κάθε x ∈ (−3 , 0) . Έτσι, αν ζητούνταν (ή έπρεπε, για κάποιον λόγο που υπαγορεύεται από την άσκηση) να βρεις το πρόσημο του παραπάνω τριωνύμου, τότε κάνε όλη την παραπάνω εργασία και στο τέλος δώσε όλες τις παραπάνω απαντήσεις!

Λυμένο παράδειγμα 14 από «ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ-Π2». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: Για να βρούμε το πρόσημο του τριωνύμου x 2 − 9 , πρώτα πρέπει να δούμε αν έχει ρί- ζες. Γι’ αυτό, πρώτα πρέπει να λύσουμε πρώτα την εξίσωση x 2 − 9 = 0 . Έχουμε x 2 − 9 = 0 ⇔ x 2 = 9 ⇔ x = ± 9 ⇔ x = 3 ή x = −3 . Αφού το τριώνυμο έχει δύο άνισες ρίζες, το πρόσημό του βρίσκεται σύμφωνα με τον πίνακα - 25 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr Ά λγε β ρ α Α ΄Λ υκε ί ου Κεφάλαιο 4 • Ανισώσεις x −∞ −3 3 +∞ x2 − 9 + - + δηλαδή είναι: • x 2 − 9 > 0 , για κάθε x ∈ (−∞ ,− 3) ∪ (3 , + ∞) . • x 2 − 9 < 0 , για κάθε x ∈ (−3 , 3) . Έτσι, αν ζητούνταν (ή έπρεπε, για κάποιον λόγο που υπαγορεύεται από την άσκηση) να βρεις το πρόσημο του παραπάνω τριωνύμου, τότε κάνε όλη την παραπάνω εργασία και στο τέλος δώσε όλες τις παραπάνω απαντήσεις!

Λυμένο παράδειγμα 15 από «ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ-Π2». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: Το τριώνυμο x 2 + 6x + 9 έχει διακρίνουσα Δ = 62 − 4 ⋅1 ⋅ 9 = 36 − 36 = 0 , οπότε έχει μία διπλή ρίζα, την −6 x0 = = −3 , 2 ⋅1 συνεπώς είναι x 2 + 6x + 9 > 0 , για κάθε x ∈ ! − {−3} . Βέβαια, αν εξαρχής αναγνώριζες την ταυτότητα x 2 + 6x + 9 = (x + 3) , θα είχες γλιτώ- 2 σει τον υπολογισμό της διακρίνουσας και την εύρεση της ρίζας και θα απαντούσες άμεσα ότι είναι x 2 + 6x + 9 = (x + 3) > 0 , για κάθε x ∈ ! − {−3} 2 (ισοδύναμα, για κάθε x ≠ −3 ). - 26 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr Ά λγε β ρ α Α ΄Λ υκε ί ου Κεφάλαιο 4 • Ανισώσεις

Λυμένο παράδειγμα 16 από «ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ-Π2». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: Το τριώνυμο −x 2 + 10x − 25 έχει διακρίνουσα Δ = 102 − 4 ⋅ (−1) ⋅ (−25) = 100 − 100 = 0 , οπότε έχει μία διπλή ρίζα, την −10 x0 = = 5, 2 ⋅ (−1) συνεπώς είναι −x 2 + 10x − 25 < 0 , για κάθε x ∈ ! − {5} (ισοδύναμα, για κάθε x ≠ 5 ). Πάλι η δουλειά θα γινόταν πιο γρήγορα με παραγοντοποίηση, αφού ( −x 2 + 10x − 25 = − x 2 − 10x + 25 = −(x − 5) , ) 2 οπότε είναι −x 2 + 10x − 25 = −(x − 5) < 0 , για κάθε x ∈ ! − {5} . 2

Λυμένο παράδειγμα 17 από «ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ-Π2». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: Το τριώνυμο x 2 + 2x + 5 έχει διακρίνουσα Δ = 22 − 4 ⋅1 ⋅ 5 = 4 − 20 = −16 , οπότε είναι x 2 + 2x + 5 > 0 , για κάθε x ∈ ! .

Λυμένο παράδειγμα 18 από «ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ-Π2». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: Το τριώνυμο −x 2 + x − 1 έχει διακρίνουσα Δ = 12 − 4 ⋅ (−1) ⋅ (−1) = 1 − 4 = −3 , οπότε είναι −x 2 + x − 1 < 0 , για κάθε x ∈ ! . - 27 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Λυμένο παράδειγμα 19 από «ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ-Π2». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: Για την ανίσωση x 2 − 3x + 2 > 0 έχουμε τα εξής (υποθέτουμε ότι οι απαραίτητες πρά- ξεις έχουν γίνει στην αρχική μορφή της ανίσωσης και τελικά καταλήξαμε στην παρα- πάνω): Το τριώνυμο έχει διακρίνουσα Δ = (−3)2 − 4 ⋅1 ⋅ 2 = 9 − 8 = 1 , άρα έχει δύο άνισες πραγματικές ρίζες, τις 3± 1 3±1 x1, 2 = = ⇔ x1 = 2 , x 2 = 1 . 2 2 Αφού έχει δύο άνισες ρίζες, δημιουργώ τον ακόλουθο πίνακα x −∞ 1 2 +∞ x 2 − 3x + 2 + - + από όπου προκύπτει x ∈ (−∞ ,1) ∪ (2 , + ∞) . Σχόλια Με εντελώς όμοια εργασία, αν η ανίσωση στην οποία καταλήγαμε ήταν: α) x 2 − 3x + 2 ≥ 0 , τότε προκύπτει x ∈ (−∞ ,1⎤⎥ ∪ ⎡⎢2 , + ∞) . ⎦ ⎣ β) x 2 − 3x + 2 < 0 , τότε προκύπτει x ∈ (1, 2) . γ) x 2 − 3x + 2 ≤ 0 , τότε προκύπτει x ∈ ⎡⎢1, 2⎤⎥ . ⎣ ⎦ - 29 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr Ά λγε β ρ α Α ΄Λ υκε ί ου Κεφάλαιο 4 • Ανισώσεις

Λυμένο παράδειγμα 20 από «ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ-Π2». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: Για την ανίσωση x 2 + 2x > 0 έχουμε τα εξής (υποθέτουμε ότι οι απαραίτητες πράξεις έχουν γίνει στην αρχική μορφή της ανίσωσης και τελικά καταλήξαμε στην παραπάνω): Εξετάζω αν το τριώνυμο έχει ρίζες, λύνοντας την εξίσωση x 2 + 2x = 0 : x 2 + 2x = 0 ⇔ x (x + 2) = 0 ⇔ x = 0 ή x + 2 = 0 ⇔ x = 0 ή x = −2 . Αφού έχει δύο άνισες ρίζες, δημιουργώ τον ακόλουθο πίνακα x −∞ −2 0 +∞ x 2 + 2x + - + από όπου προκύπτει x ∈ (−∞ ,− 2) ∪ (0 , + ∞) . Σχόλια Με εντελώς όμοια εργασία, αν η ανίσωση στην οποία καταλήγαμε ήταν: α) x 2 + 2x ≥ 0 , τότε προκύπτει x ∈ (−∞ ,− 2⎤⎥ ∪ ⎡⎢0 , + ∞) . ⎦ ⎣ β) x 2 + 2x < 0 , τότε προκύπτει x ∈ (−2 , 0) . γ) x 2 + 2x ≤ 0 , τότε προκύπτει x ∈ ⎡⎢−2 , 0⎤⎥ . ⎣ ⎦

Λυμένο παράδειγμα 21 από «ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ-Π2». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: Για την ανίσωση 4 − x 2 > 0 έχουμε τα εξής (και πάλι ας υποθέσουμε ότι έγιναν όλες οι απαραίτητες πράξεις στην αρχική μορφή της ανίσωσης και τελικά καταλήξαμε στην παραπάνω): πρώτον, επειδή το x 2 έχει αρνητικό συντελεστή (παράβαση του 2ου απαράβατου κα- νόνα), αλλάζω όλα τα πρόσημα και την φορά της ανίσωσης και θα λύσω την ανίσωση x2 − 4 < 0 . Λύνω την εξίσωση x 2 − 4 = 0 , για να δω αν το τριώνυμο έχει ρίζες: x 2 − 4 = 0 ⇔ x 2 = 4 ⇔ x = ± 4 ⇔ x = 2 ή x = −2 . - 30 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr Ά λγε β ρ α Α ΄Λ υκε ί ου Κεφάλαιο 4 • Ανισώσεις Επειδή έχει δύο άνισες ρίζες, δημιουργώ τον ακόλουθο πίνακα x −∞ −2 2 +∞ x2 − 4 + - + από όπου προκύπτει x ∈ (−2 , 2) . Σχόλια α) Για την ανίσωση x 2 − 4 ≤ 0 προκύπτει x ∈ ⎡⎢−2 , 2⎤⎥ . ⎣ ⎦ β) Για την ανίσωση x 2 − 4 > 0 προκύπτει x ∈ (−∞ ,− 2) ∪ (2 , + ∞) . γ) Για την ανίσωση x 2 − 4 ≥ 0 προκύπτει x ∈ (−∞ ,− 2⎤⎥ ∪ ⎡⎢2 , + ∞) . ⎦ ⎣

Λυμένο παράδειγμα 22 από «ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ-Π2». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: Για την ανίσωση x 2 − 4x + 4 > 0 έχουμε τα εξής (όπως και πριν, ας υποθέσουμε ότι έχουμε κάνει όλες τις απαραίτητες πράξεις στην αρχική ανίσωση που είχαμε στην άσκηση και καταλήξαμε στην παραπάνω): το τριώνυμο έχει διακρίνουσα Δ = (−4)2 − 4 ⋅1 ⋅ 4 = 16 − 16 = 0 , οπότε έχει μια διπλή ρίζα, την −(−4) x0 = =2. 2 ⋅1 Άρα είναι x 2 − 4x + 4 = 1 ⋅ (x − 2) = (x − 2) 2 2 και έτσι έχω την ανίσωση (x − 2) > 0 , από όπου προκύπτει x ∈ ! − {2} ⇔ x ≠ 2 . 2 Σχόλια α) Για την ανίσωση x 2 − 4x + 4 ≥ 0 έχω (x − 2) ≥ 0 , οπότε προκύπτει x ∈ ! 2 (αφού είναι γνωστό ότι (x − 2) ≥ 0 , για κάθε x ∈ ! ). 2 β) Για την ανίσωση x 2 − 4x + 4 < 0 έχω (x − 2) < 0 , η οποία είναι αδύνατη στο ! 2 (διότι είναι (x − 2) ≥ 0 , για κάθε x ∈ ! ). 2 γ) Για την ανίσωση x 2 − 4x + 4 ≤ 0 έχω (x − 2) ≤ 0 , από όπου προκύπτει 2 (x − 2) = 0 ⇔ x − 2 = 0 ⇔ x = 2 (διπλή ρίζα), 2 αφού δεν μπορεί να είναι (x − 2) < 0 . 2 - 32 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr Ά λγε β ρ α Α ΄Λ υκε ί ου Κεφάλαιο 4 • Ανισώσεις δ) Εξαρχής η ανίσωση θα μπορούσε να λυθεί γρηγορότερα, αποφεύγοντας ακόμη και τον υπολογισμό της διακρίνουσας, αν αναγνωρίσω ότι έχω ταυτότητα! Συγκεκριμένα, εξαρχής παρατηρώ ότι x 2 − 4x + 4 = (x − 2) , οπότε γρηγορότερα μπο- 2 ρώ να λύσω την ανίσωση. Φυσικά, και οι δύο τρόποι είναι σωστοί, αλλά ο δεύτερος γρηγορότερος και αυτό θα φανεί καλύτερα στο επόμενο παράδειγμα.

Λυμένο παράδειγμα 23 από «ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ-Π2». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: Για την ανίσωση 16x 2 + 72x + 81 ≥ 0 έχουμε τα ακόλουθα (κάνουμε πάλι την ίδια υπό- θεση με τα προηγούμενα παραδείγματα): Αν υπολογίσουμε την διακρίνουσα του τριωνύμου, έχουμε ότι Δ = 722 − 4 ⋅16 ⋅ 81 ! Βέβαια, στο Δημοτικό πήγαμε όλοι, πολλαπλασιασμό ξέρουμε να κάνουμε, άρα ας βγάλουμε τα μάτια μας με τις παραπάνω πράξεις ή... ...ας ανοίξουμε τα μάτια μας και ας δούμε ότι το τριώνυμο είναι ταυτότητα! Είναι 16x 2 + 72x + 81 = (4x + 9) , 2 οπότε έχουμε την ανίσωση (4x + 9) ≥ 0 , από όπου προκύπτει x ∈ ! , αφού είναι 2 (4x + 9) ≥ 0 , για κάθε x ∈ ! . 2

Λυμένο παράδειγμα 24 από «ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ-Π2». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: Για την ανίσωση x 2 + x + 1 > 0 έχουμε: Το τριώνυμο έχει διακρίνουσα Δ = 12 − 4 ⋅1 ⋅1 = 1 − 4 = −3 , άρα δεν έχει ρίζες, οπότε είναι x 2 + x + 1 > 0 , για κάθε x ∈ ! . Σχόλια α) Για την ανίσωση x 2 + x + 1 ≥ 0 , πάλι προκύπτει x ∈ ! . β) Για την ανίσωση x 2 + x + 1 < 0 προκύπτει ότι είναι αδύνατη στο ! (διότι είναι x 2 + x + 1 > 0 , για κάθε x ∈ ! , αφού το τριώνυμο δεν έχει ρίζες). γ) Για την ανίσωση x 2 + x + 1 ≤ 0 προκύπτει ότι είναι αδύνατη στο ! (διότι είναι x 2 + x + 1 > 0 , για κάθε x ∈ ! , αφού το τριώνυμο δεν έχει ρίζες).

Λυμένο παράδειγμα 25 από «ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ-Π2». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: Για την ανίσωση 4x − x 2 − 5 > 0 έχουμε πρώτα λίγο «σουλούπωμα», δηλαδή το x 2 να αποκτήσει θετικό συντελεστή. Έτσι, αλλάζοντας όλα τα πρόσημα και την φορά της ανίσωσης, θα λύσω την ανίσωση x 2 − 4x + 5 < 0 . Το τριώνυμο έχει διακρίνουσα Δ = (−4)2 − 4 ⋅1 ⋅ 5 = 16 − 20 = −4 . Άρα το τριώνυμο δεν έχει ρίζες, οπότε είναι x 2 − 4x + 5 > 0 , για κάθε x ∈ ! , συνεπώς η ανίσωση είναι αδύνατη στο ! . - 34 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Λύση σχολικού βιβλίου – Α1/112 από «ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ-Π2». Η εκφώνηση βρίσκεται στο αντίστοιχο σχολικό βιβλίο· εδώ διατίθεται η λύση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: Πρόκειται για άσκηση επανάληψης Γ΄ Γυμνασίου. i. Το τριώνυμο έχει διακρίνουσα Δ = (−3)2 − 4 ⋅1 ⋅ 2 = 9 − 8 = 1 , οπότε έχει δύο άνισες ρίζες, τις 3± 1 3±1 x1, 2 = = ⇔ x1 = 2 , x 2 = 1 , 2 ⋅1 2 συνεπώς είναι x 2 − 3x + 2 = 1 ⋅ (x − 2) ⋅ (x − 1) = (x − 1)(x − 2) . ii. Το τριώνυμο έχει διακρίνουσα Δ = (−3)2 − 4 ⋅ 2 ⋅ (−2) = 9 + 16 = 25 , οπότε έχει δύο άνισες ρίζες, τις 3 ± 25 3±5 1 x1, 2 = = ⇔ x1 = 2 , x 2 = − , 2⋅2 4 2 συνεπώς είναι ⎛ 1⎞ 2x 2 − 3x − 2 = 2 ⋅ (x − 2) ⋅ ⎜⎜⎜x + ⎟⎟⎟ = (x − 2)(2x + 1) . ⎝ 2 ⎟⎠ - 35 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr Ά λγε β ρ α Α ΄Λ υκε ί ου Κεφάλαιο 4 • Ανισώσεις

Λύση σχολικού βιβλίου – Α2/112 από «ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ-Π2». Η εκφώνηση βρίσκεται στο αντίστοιχο σχολικό βιβλίο· εδώ διατίθεται η λύση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: Πρόκειται για άσκηση επανάληψης Γ΄ Γυμνασίου. i. Αριθμητής Το τριώνυμο έχει διακρίνουσα Δ = (−3)2 − 4 ⋅1 ⋅ 2 = 9 − 8 = 1 , οπότε έχει δύο άνισες ρίζες, τις 3± 1 3±1 x1, 2 = = ⇔ x1 = 2 , x 2 = 1 , 2 ⋅1 2 συνεπώς είναι x 2 − 3x + 2 = (x − 2)(x − 1) . Παρονομαστής Το τριώνυμο έχει διακρίνουσα Δ = (−3)2 − 4 ⋅ 2 ⋅ (−2) = 9 + 16 = 25 , οπότε έχει δύο άνισες ρίζες, τις 3 ± 25 3±5 1 x1, 2 = = ⇔ x1 = 2 , x 2 = − , 2⋅2 4 2 συνεπώς είναι ⎛ 1⎞ 2x 2 − 3x − 2 = 2 (x − 2)⎜⎜⎜x + ⎟⎟⎟ = (x − 2)(2x + 1) . ⎝ 2 ⎟⎠ Τελικά, για το κλάσμα προκύπτει x 2 − 3x + 2 (x − 2) (x − 1) x −1 = = . 2x 2 − 3x − 2 (x − 2) (2x + 1) 2x + 1 ii. Αριθμητής Είναι ( 2x 2 + 8x − 42 = 2 x 2 + 4x − 21 . ) Το τριώνυμο της παρένθεσης έχει διακρίνουσα Δ = 42 − 4 ⋅1 ⋅ (−21) = 16 + 84 = 100 , οπότε έχει δύο άνισες ρίζες, τις - 36 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr Ά λγε β ρ α Α ΄Λ υκε ί ου Κεφάλαιο 4 • Ανισώσεις −4 ± 100 −4 ± 10 x1, 2 = = ⇔ x1 = 3 , x 2 = −7 , 2 ⋅1 2 συνεπώς είναι x 2 + 4x − 21 = (x − 3)(x + 7) , άρα 2x 2 + 8x − 42 = 2 (x − 3)(x + 7) . Παρονομαστής Είναι x 2 − 49 = x 2 − 72 = (x − 7)(x + 7) . Τελικά, για το κλάσμα προκύπτει 2x 2 + 8x − 42 2 (x − 3) (x + 7) 2 (x − 3) = = . x 2 − 49 ( )( ) x − 7 x + 7 x − 7 iii. Αριθμητής Είναι 4x 2 − 12x + 9 = (2x − 3) . 2 Παρονομαστής Το τριώνυμο έχει διακρίνουσα Δ = (−5)2 − 4 ⋅ 2 ⋅ 3 = 25 − 24 = 1 , οπότε έχει δύο άνισες ρίζες, τις 5± 1 5±1 3 x1, 2 = = ⇔ x1 = , x2 = 1 , 2⋅2 4 2 συνεπώς είναι ⎛ 3⎞ 2x 2 − 5x + 3 = 2 ⎜⎜⎜x − ⎟⎟⎟(x − 1) = (2x − 3)(x − 1) . ⎝ 2 ⎟⎠ Τελικά, για το κλάσμα προκύπτει (2x − 3) 2 4x 2 − 12x + 9 2x − 3 = = . 2x 2 − 5x + 3 (2x − 3) (x − 1) x −1 - 37 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr Ά λγε β ρ α Α ΄Λ υκε ί ου Κεφάλαιο 4 • Ανισώσεις

Λύση σχολικού βιβλίου – Α3/112 από «ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ-Π2». Η εκφώνηση βρίσκεται στο αντίστοιχο σχολικό βιβλίο· εδώ διατίθεται η λύση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: i. Το τριώνυμο έχει διακρίνουσα Δ = (−2)2 − 4 ⋅1 ⋅ (−15) = 4 + 60 = 64 , οπότε έχει δύο άνισες ρίζες, τις 2 ± 64 2±8 x1, 2 = = ⇔ x1 = 5 , x 2 = −3 2 ⋅1 2 και το πρόσημό του φαίνεται στον ακόλουθο πίνακα: x −∞ −3 5 +∞ x 2 − 2x − 15 + - + Επομένως, είναι: • x 2 − 2x − 15 > 0 , για κάθε x ∈ (−∞ ,− 3) ∪ (5, + ∞) . • x 2 − 2x − 15 < 0 , για κάθε x ∈ (−3 , 5) . ii. Είναι 1 4x 2 − 4x + 1 = (2x − 1) > 0 , για κάθε x ≠ 2 . 2 iii. Το τριώνυμο έχει διακρίνουσα Δ = (−4)2 − 4 ⋅1 ⋅13 = 16 − 52 = −36 , οπότε είναι x 2 − 4x + 13 > 0 , για κάθε x ∈ ! . - 38 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr Ά λγε β ρ α Α ΄Λ υκε ί ου Κεφάλαιο 4 • Ανισώσεις

Λύση σχολικού βιβλίου – Α4/112 από «ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ-Π2». Η εκφώνηση βρίσκεται στο αντίστοιχο σχολικό βιβλίο· εδώ διατίθεται η λύση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: i. Το τριώνυμο έχει διακρίνουσα Δ = 42 − 4 ⋅ (−1) ⋅ (−3) = 16 − 12 = 4 , οπότε έχει δύο άνισες ρίζες, τις −4 ± 4 −4 ± 2 x1, 2 = = ⇔ x1 = 1 , x 2 = 3 2 ⋅ (−1) −2 και το πρόσημό του φαίνεται στον ακόλουθο πίνακα: x −∞ 1 3 +∞ −x 2 + 4x − 3 - + - Επομένως, είναι: • −x 2 + 4x − 3 < 0 , για κάθε x ∈ (−∞ ,1) ∪ (3 , + ∞) . • −x 2 + 4x − 3 > 0 , για κάθε x ∈ (1, 3) . ii. Είναι 1 ( ) −9x 2 + 6x − 1 = − 9x 2 − 6x + 1 = −(3x − 1) < 0 , για κάθε x ≠ 2 . 3 iii. Το τριώνυμο έχει διακρίνουσα Δ = 22 − 4 ⋅ (−1) ⋅ (−2) = 4 − 8 = −4 , οπότε είναι −x 2 + 2x − 2 < 0 , για κάθε x ∈ ! . - 39 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr Ά λγε β ρ α Α ΄Λ υκε ί ου Κεφάλαιο 4 • Ανισώσεις

Λύση σχολικού βιβλίου – Α5/113 από «ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ-Π2». Η εκφώνηση βρίσκεται στο αντίστοιχο σχολικό βιβλίο· εδώ διατίθεται η λύση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: i. Η ανίσωση δεν είναι «έτοιμη», αφού δεν έχει όλους τους όρους της σε ένα μέλος και στο άλλο το μηδέν (παράβαση 1ου κανόνα). Ταυτόχρονα με απλοποίηση των συντελεστών (πάντα να το κοιτάζεις αυτό σε μια εξί- σωση ή ανίσωση!), μεταφέρω τους όρους στο αριστερό μέλος και φροντίζω το x 2 να έχει θετικό συντελεστή. Έχουμε: :5 5x ≤ 20x ⇔ x 2 ≤ 4x ⇔ x 2 − 4x ≤ 0 . 2 Από την εξίσωση x 2 − 4x = 0 προκύπτει x (x − 4) = 0 ⇔ x = 0 ή x − 4 = 0 ⇔ x = 0 ή x = 4 , δηλαδή το τριώνυμο x 2 − 4x έχει δύο άνισες ρίζες, οπότε το πρόσημό του φαίνεται στον ακόλουθο πίνακα: x −∞ 0 4 +∞ x 2 − 4x + - + Για την ανίσωση έχω τότε x 2 − 4x ≤ 0 ⇔ x ∈ ⎡⎢0 , 4⎤⎥ . ⎣ ⎦ ii. Η ανίσωση δεν είναι «έτοιμη», αφού δεν έχει όλους τους όρους της σε ένα μέλος και στο άλλο το μηδέν (παράβαση 1ου κανόνα). Μεταφέρω τους όρους στο αριστερό μέλος και φροντίζω το x 2 να έχει θετικό συντελε- στή. Έχουμε x 2 + 3x ≤ 4 ⇔ x 2 + 3x − 4 ≤ 0 . Το τριώνυμο έχει διακρίνουσα Δ = 32 − 4 ⋅1 ⋅ (−4) = 9 + 16 = 25 , οπότε έχει δύο άνισες ρίζες, τις −3 ± 25 −3 ± 5 x1, 2 = = ⇔ x1 = 1 , x 2 = −4 2 ⋅1 2 - 40 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr Ά λγε β ρ α Α ΄Λ υκε ί ου Κεφάλαιο 4 • Ανισώσεις και το πρόσημό του φαίνεται στον ακόλουθο πίνακα: x −∞ −4 1 +∞ x 2 + 3x − 4 + - + Για την ανίσωση έχω τότε x 2 + 3x − 4 ≤ 0 ⇔ x ∈ ⎡⎢−4 ,1⎤⎥ . ⎣ ⎦

Λύση σχολικού βιβλίου – Α6/113 από «ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ-Π2». Η εκφώνηση βρίσκεται στο αντίστοιχο σχολικό βιβλίο· εδώ διατίθεται η λύση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: i. Η ανίσωση είναι «έτοιμη». Το τριώνυμο έχει διακρίνουσα Δ = (−1)2 − 4 ⋅1 ⋅ (−2) = 1 + 8 = 9 , οπότε έχει δύο άνισες ρίζες, τις 1± 9 1±3 x1, 2 = = ⇔ x1 = 2 , x 2 = −1 2 ⋅1 2 και το πρόσημό του φαίνεται στον ακόλουθο πίνακα: x −∞ −1 2 +∞ x2 − x − 2 + - + Για την ανίσωση έχω τότε x 2 − x − 2 > 0 ⇔ x ∈ (−∞ ,− 1) ∪ (2 , + ∞) . ii. Η ανίσωση είναι «έτοιμη». Το τριώνυμο έχει διακρίνουσα Δ = (−3)2 − 4 ⋅ 2 ⋅ (−5) = 9 + 40 = 49 , οπότε έχει δύο άνισες ρίζες, τις 3 ± 49 3±7 5 x1, 2 = = ⇔ x1 = , x 2 = −1 2⋅2 4 2 και το πρόσημό του φαίνεται στον ακόλουθο πίνακα: - 41 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr Ά λγε β ρ α Α ΄Λ υκε ί ου Κεφάλαιο 4 • Ανισώσεις 5 x −∞ −1 +∞ 2 2x 2 − 3x − 5 + - + Για την ανίσωση έχω τότε ⎛ 5⎞ 2x 2 − 3x − 5 < 0 ⇔ x ∈ ⎜⎜⎜−1, ⎟⎟⎟ . ⎝ 2 ⎟⎠

Λύση σχολικού βιβλίου – Α7/113 από «ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ-Π2». Η εκφώνηση βρίσκεται στο αντίστοιχο σχολικό βιβλίο· εδώ διατίθεται η λύση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: i. Η ανίσωση δεν είναι «έτοιμη», αφού δεν έχει όλους τους όρους της σε ένα μέλος και στο άλλο το μηδέν (παράβαση 1ου κανόνα). Μεταφέρω τους όρους στο αριστερό μέλος και φροντίζω το x 2 να έχει θετικό συντελε- στή. Έχουμε x 2 + 4 > 4x ⇔ x 2 − 4x + 4 > 0 ⇔ (x − 2) > 0 ⇔ x − 2 ≠ 0 ⇔ x ≠ 2 . 2 ii. Η ανίσωση δεν είναι «έτοιμη», αφού δεν έχει όλους τους όρους της σε ένα μέλος και στο άλλο το μηδέν (παράβαση 1ου κανόνα). Μεταφέρω τους όρους στο αριστερό μέλος και φροντίζω το x 2 να έχει θετικό συντελε- στή. Έχουμε x 2 + 9 ≤ 6x ⇔ x 2 − 6x + 9 ≤ 0 ⇔ (x − 3) ≤ 0 , 2 από όπου προκύπτει (x − 3) = 0 ⇔ x − 3 = 0 ⇔ x = 3 (διπλή ρίζα). 2 - 42 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr Ά λγε β ρ α Α ΄Λ υκε ί ου Κεφάλαιο 4 • Ανισώσεις

Λύση σχολικού βιβλίου – Α8/113 από «ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ-Π2». Η εκφώνηση βρίσκεται στο αντίστοιχο σχολικό βιβλίο· εδώ διατίθεται η λύση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: i. Η ανίσωση είναι «έτοιμη». Το τριώνυμο έχει διακρίνουσα Δ = 32 − 4 ⋅1 ⋅ 5 = 9 − 20 = −11 , οπότε είναι x 2 + 3x + 5 > 0 , για κάθε x ∈ ! , συνεπώς η ανίσωση είναι αδύνατη. ii. Η ανίσωση είναι «έτοιμη». Το τριώνυμο έχει διακρίνουσα Δ = (−3)2 − 4 ⋅ 2 ⋅ 20 = 9 − 160 = −151 , οπότε είναι 2x 2 − 3x + 20 > 0 , για κάθε x ∈ ! , συνεπώς η ανίσωση αληθεύει για κάθε x∈!.

Λύση σχολικού βιβλίου – Α9/113 από «ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ-Π2». Η εκφώνηση βρίσκεται στο αντίστοιχο σχολικό βιβλίο· εδώ διατίθεται η λύση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: Η ανίσωση είναι «σχεδόν έτοιμη»· αρκεί να ξεφορτωθώ τον αριθμό που πολλαπλασιά- ζει την παρένθεση. Πολλαπλασιάζω τα μέλη με ­4 και αλλάζω την φορά της ανίσωσης. Έχουμε ⋅(−4) 1 2 − 4 ( ) x − 4x + 3 > 0 ⇔ x 2 − 4x + 3 < 0 . Το τριώνυμο έχει διακρίνουσα Δ = (−4)2 − 4 ⋅1 ⋅ 3 = 16 − 12 = 4 , οπότε έχει δύο άνισες ρίζες, τις 4± 4 4±2 x1, 2 = = ⇔ x1 = 3 , x 2 = 1 2 ⋅1 2 και το πρόσημό του φαίνεται στον ακόλουθο πίνακα: x −∞ 1 3 +∞ x 2 − 4x + 3 + - + - 43 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr Ά λγε β ρ α Α ΄Λ υκε ί ου Κεφάλαιο 4 • Ανισώσεις Για την ανίσωση έχω τότε x 2 − 4x + 3 < 0 ⇔ x ∈ (1, 3) .