Α ΑΛΓΕΒΡΑ-ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ-4ο θέμα (Δεκ.2020)

Δίνεται η εξίσωση x 2 − 2 (λ − 1) x + λ + 5 = 0 (1) , με παράμετρο λ ∈ ! . α) Να δείξετε ότι η διακρίνουσα της εξίσωσης (1) είναι Δ = 4λ2 − 12λ − 16 . (Μονάδες 7) β) Να βρείτε τις τιμές του λ ∈ ! , ώστε η εξίσωση να έχει δύο ρίζες πραγματικές και άνισες. (Μονάδες 10) γ) Αν η εξίσωση (1) έχει ρίζες τους αριθμούς x1 , x 2 και d (x1 , x 2 ) είναι η απόσταση των x1 , x 2 στον άξονα των πραγματικών αριθμών, να βρείτε για ποιες τιμές του λ ισχύει d (x1 , x 2 ) = 24 . (Μονάδες 8)

x+2 Δίνεται η συνάρτηση f, με f(x) = . 9 − x2 α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f. (Μονάδες 10) β) Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f με τους άξονες. (Μονάδες 7) γ) Αν Α και Β είναι τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f με τους άξονες x΄x και y΄y αντίστοιχα, να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που ορίζεται από τα Α και Β. (Μονάδες 8) -2 - Μαθηµατικό στέκι • www.mathsteki.gr • Έκδοση 1η - Δεκέµβριος 2020 Τράπεζα Θεµάτων Α΄ Λυκείου • ΑΛΓΕΒΡΑ • 4ο θέµα

Δίνεται η εξίσωση (λ + 2) x 2 + (2λ + 3) x + λ − 2 = 0 (1) , με παράμετρο λ ≠ −2 . α) Να δείξετε ότι η διακρίνουσα της εξίσωσης (1) είναι Δ = 12λ + 25 . (Μονάδες 6) β) Να βρείτε τις τιμές του λ ≠ −2 , ώστε η εξίσωση (1) να έχει δύο ρίζες πραγματικές και άνισες. (Μονάδες 7) γ) Να εκφράσετε, ως συνάρτηση του λ, το άθροισμα των ριζών S = x1 + x 2 και το γι- νόμενο των ριζών P = x1 ⋅ x 2 . (Μονάδες 4) δ) Να εξετάσετε αν υπάρχει τιμή του λ, ώστε για τις ρίζες x1 , x 2 της εξίσωσης (1) να ισχύει η σχέση (x1 + x2 − 1) + (x1 ⋅ x2 + 3) = 0 . 2 2 (Μονάδες 8)

Τέσσερις αθλητές, ο Αργύρης, ο Βασίλης, ο Γιώργος και ο Δημήτρης, τερμάτισαν σε έναν αγώνα δρόμου με αντίστοιχους χρόνους (σε λεπτά) t A , t B , t Γ και t Δ , για τους οποίους ισχύουν οι σχέσεις t + 2t B tA < tB , tΓ = A και t A − t Δ = t B − t Δ . 3 tA + tB α) Ι. Να δείξετε ότι t Δ = . 2 (Μονάδες 5) ΙΙ. Να βρείτε την σειρά με την οποία τερμάτισαν οι αθλητές. Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. (Μονάδες 10) β) Δίνεται επιπλέον ότι ισχύει t A + t B = 6 και t A ⋅ t B = 8 . Ι. Να γράψετε μια εξίσωση 2ου βαθμού που έχει ρίζες τους αριθμούς t Α και t Β . (Μονάδες 5) ΙΙ. Να βρείτε τους χρόνους τερματισμού των τεσσάρων αθλητών. (Μονάδες 5) -3 - Μαθηµατικό στέκι • www.mathsteki.gr • Έκδοση 1η - Δεκέµβριος 2020 Τράπεζα Θεµάτων Α΄ Λυκείου • ΑΛΓΕΒΡΑ • 4ο θέµα

Δίνονται οι συναρτήσεις f(x) = x 2 και g(x) = λx + (1 − λ) , x ∈ ! , και λ παράμετρος, με λ ≠ 0 . α) Να δείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις C f και C g έχουν, για κάθε τιμή της παρα- μέτρου λ, ένα τουλάχιστον κοινό σημείο. (Μονάδες 8) β) Για ποια τιμή της παραμέτρου λ οι C f και C g έχουν ένα μόνο κοινό σημείο; Ποιο είναι το σημείο αυτό; (Μονάδες 8) γ) Αν λ ≠ 2 και x1 , x 2 είναι οι τετμημένες των κοινών σημείων των C f και C g , να βρεθεί η παράμετρος λ, ώστε να ισχύει (x1 + x 2 ) = x1 + x 2 + 2 . 2 (Μονάδες 9) -4 - Μαθηµατικό στέκι • www.mathsteki.gr • Έκδοση 1η - Δεκέµβριος 2020 Τράπεζα Θεµάτων Α΄ Λυκείου • ΑΛΓΕΒΡΑ • 4ο θέµα

Ένας αθλητής κολυμπάει ύπτιο και καίει 9 θερμίδες το λεπτό ενώ, όταν κολυμπάει πεταλούδα, καίει 12 θερμίδες το λεπτό. Ο αθλητής θέλει, κολυμπώντας, να κάψει 360 θερμίδες. α) Αν ο αθλητής θέλει να κολυμπήσει ύπτιο 32 λεπτά, πόσα λεπτά πρέπει να κολυ- μπήσει πεταλούδα για να κάψει συνολικά 360 θερμίδες; (Μονάδες 5) β) Ο αθλητής αποφασίζει πόσο χρόνο θα κολυμπήσει ύπτιο και στην συνέχεια υπολο- γίζει πόσο χρόνο πρέπει να κολυμπήσει πεταλούδα, για να κάψει 360 θερμίδες. Ι. Αν x είναι ο χρόνος (σε λεπτά) που ο αθλητής κολυμπάει ύπτιο, να αποδείξετε ότι ο τύπος της συνάρτησης που εκφράζει τον χρόνο που πρέπει να κολυμπήσει πεταλούδα, για να κάψει 360 θερμίδες, είναι 3 f(x) = 30 − x. 4 (Μονάδες 7) ΙΙ. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης του ερωτήματος (β­Ι), στο πλαίσιο του συγκεκριμένου προβλήματος. (Μονάδες 4) γ) Να χαράξετε την γραφική παράσταση της συνάρτησης του ερωτήματος (β), να βρεί- τε τα σημεία τομής της με τους άξονες και να ερμηνεύσετε την σημασία τους στο πλαίσιο του προβλήματος. (Μονάδες 9) -5 - Μαθηµατικό στέκι • www.mathsteki.gr • Έκδοση 1η - Δεκέµβριος 2020 Τράπεζα Θεµάτων Α΄ Λυκείου • ΑΛΓΕΒΡΑ • 4ο θέµα

Ένας μελισσοκόμος έχει τοποθετήσει 20 κυψέλες σε μια ευθεία, η οποία διέρχεται από την αποθήκη του Α. Η πρώτη κυψέλη απέχει 1 μέτρο από την αποθήκη Α, η δεύτερη 4 μέτρα από το Α, η τρίτη 7 μέτρα από το Α και, γενικά, κάθε επόμενη κυψέλη απέχει από την αποθήκη Α 3 επιπλέον μέτρα, σε σχέση με την προηγούμενη κυψέλη. α) Να δείξετε ότι οι αποστάσεις των κυψελών από την αποθήκη Α αποτελούν διαδο- χικούς όρους αριθμητικής προόδου και να βρείτε τον ν-οστό όρο αυτής της προ- όδου. Τι εκφράζει ο πρώτος όρος της αριθμητικής προόδου και τι η διαφορά της; (Μονάδες 6) β) Σε πόση απόσταση από την αποθήκη Α είναι η 20η κυψέλη; (Μονάδες 6) γ) Ο μελισσοκόμος, ξεκινώντας από την αποθήκη Α, συλλέγει το μέλι, από μία κυψέλη κάθε φορά, και το μεταφέρει πάλι πίσω στην αποθήκη Α. Ι. Ποια είναι η απόσταση που θα διανύσει ο μελισσοκόμος για να συλλέξει το μέ- λι από την 3η κυψέλη; (Μονάδες 6) ΙΙ. Ποια είναι η συνολική απόσταση που θα διανύσει ο μελισσοκόμος για να συλ- λέξει το μέλι και από τις 20 κυψέλες; (Μονάδες 7) -6 - Μαθηµατικό στέκι • www.mathsteki.gr • Έκδοση 1η - Δεκέµβριος 2020 Τράπεζα Θεµάτων Α΄ Λυκείου • ΑΛΓΕΒΡΑ • 4ο θέµα

Δίνεται η εξίσωση (λ − λ) x − (λ − 1) x + λ − 1 = 0 (1) , με παράμετρο λ ∈ ! . 2 2 2 α) Να βρεθούν οι τιμές του λ ∈ ! , για τις οποίες η (1) είναι εξίσωση 2ου βαθμού. (Μονάδες 6) β) Να αποδείξετε ότι, για τις τιμές του λ ∈ ! που βρήκατε στο (α) ερώτημα, η (1) παίρνει την μορφή λx 2 − (λ + 1) x + 1 = 0 . (Μονάδες 6) γ) Να αποδείξετε ότι, για τις τιμές του λ ∈ ! που βρήκατε στο (α) ερώτημα, η (1) έχει δύο ρίζες πραγματικές και άνισες. (Μονάδες 7) δ) Να προσδιορίσετε τις ρίζες της (1), αν αυτή είναι 2ου βαθμού. (Μονάδες 6)

Δίνεται η εξίσωση λx 2 + 2 (λ − 1) x + λ − 2 = 0 (1) , με παράμετρο λ ∈ ! . α) Να λύσετε την εξίσωση, όταν λ = 0 . (Μονάδες 5) β) Έστω λ ≠ 0 . Ι. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση (1) έχει ρίζες πραγματικές και άνισες, τις οποίες στην συνέχεια να βρείτε. (Μονάδες 10) 2 ΙΙ. Αν x1 = −1 και x 2 = −1 + είναι οι δύο ρίζες της εξίσωσης (1), να προσδιο- λ ρίσετε τις τιμές του λ, για τις οποίες ισχύει x1 − x 2 > 1 . (Μονάδες 10) -7 - Μαθηµατικό στέκι • www.mathsteki.gr • Έκδοση 1η - Δεκέµβριος 2020 Τράπεζα Θεµάτων Α΄ Λυκείου • ΑΛΓΕΒΡΑ • 4ο θέµα

Ένα κλειστό στάδιο έχει 25 σειρές καθισμάτων. Στην πρώτη σειρά έχει 12 καθίσματα και καθεμιά από τις επόμενες σειρές έχει δύο καθίσματα περισσότερα από την προ- ηγούμενη. α) Να βρείτε πόσα καθίσματα έχει η μεσαία και πόσα η τελευταία σειρά. (Μονάδες 10) β) Να υπολογίσετε την χωρητικότητα του σταδίου. (Μονάδες 5) γ) Οι μαθητές ενός Λυκείου, προκειμένου να παρακολουθήσουν μια εκδήλωση, κατέ- λαβαν όλα τα καθίσματα από την 7η μέχρι και την 14η σειρά. Να βρείτε το πλήθος των μαθητών του Λυκείου. (Μονάδες 10)

Για την κάλυψη, με τετράγωνα πλακάκια, μέρους ενός τοίχου, μπορούμε να χρησιμο- ποιήσουμε πλακάκια τύπου Α, με πλευρά d cm, ή πλακάκια τύπου Β, με πλευρά (d + 1) cm. α) Να βρείτε, ως συνάρτηση του d, το εμβαδόν που καλύπτει κάθε πλακάκι τύπου Α και κάθε πλακάκι τύπου Β. (Μονάδες 6) β) Αν η επιφάνεια μπορεί να καλυφθεί είτε με 200 πλακάκια τύπου Α είτε με 128 τύπου Β, να βρείτε: Ι. την διάσταση που έχει το πλακάκι κάθε τύπου. (Μονάδες 12) ΙΙ. το εμβαδόν της επιφάνειας που καλύπτουν. (Μονάδες 7) -8 - Μαθηµατικό στέκι • www.mathsteki.gr • Έκδοση 1η - Δεκέµβριος 2020 Τράπεζα Θεµάτων Α΄ Λυκείου • ΑΛΓΕΒΡΑ • 4ο θέµα

Για την τύπωση επαγγελματικής κάρτας επιλέγεται τετράγωνο χαρτόνι πλευράς x cm ( 5 ≤ x ≤ 10 ), στο οποίο η περιοχή τύπωσης περιβάλλεται από περιθώρια 2 cm στο πά- νω και στο κάτω μέρος της, και 1 cm δεξιά και αριστερά (όπως στο σχήμα). α) Να δείξετε ότι το εμβαδόν Ε της περιοχής τύπωσης των επαγγελματικών στοιχείων εκφράζεται από την συνάρτηση Ε(x) = (x − 2)(x − 4) . (Μονάδες 8) β) Να βρεθεί η τιμή του x, ώστε το εμβαδόν της περιοχής τύπωσης των επαγγελματι- κών στοιχείων να είναι 35 cm2 . (Μονάδες 7) γ) Να βρεθούν οι τιμές που μπορεί να πάρει η πλευρά x του τετραγώνου, αν η περιο- χή τύπωσης των επαγγελματικών στοιχείων έχει εμβαδόν τουλάχιστον 24 cm2 . (Μονάδες 10) -9 - Μαθηµατικό στέκι • www.mathsteki.gr • Έκδοση 1η - Δεκέµβριος 2020 Τράπεζα Θεµάτων Α΄ Λυκείου • ΑΛΓΕΒΡΑ • 4ο θέµα

Για την τύπωση επαγγελματικής κάρτας επιλέγεται τετράγωνο χαρτόνι πλευράς x cm ( 5 ≤ x ≤ 10 ), στο οποίο η περιοχή τύπωσης περιβάλλεται από περιθώρια 2 cm στο πά- νω και στο κάτω μέρος της, και 1 cm δεξιά και αριστερά (όπως στο σχήμα). α) Να δείξετε ότι το εμβαδόν Ε της περιοχής τύπωσης των επαγγελματικών στοιχείων εκφράζεται από την συνάρτηση Ε(x) = x 2 − 6x + 8 . (Μονάδες 8) β) Να βρεθεί η τιμή του x, ώστε το εμβαδόν της περιοχής τύπωσης των επαγγελματι- κών στοιχείων να είναι 24 cm2 . (Μονάδες 7) γ) Αν το εμβαδόν της περιοχής τύπωσης των επαγγελματικών στοιχείων είναι το πολύ 35 cm2 , να βρεθούν οι τιμές που μπορεί να πάρει η πλευρά x του τετραγώνου. (Μονάδες 10) - 10 - Μαθηµατικό στέκι • www.mathsteki.gr • Έκδοση 1η - Δεκέµβριος 2020 Τράπεζα Θεµάτων Α΄ Λυκείου • ΑΛΓΕΒΡΑ • 4ο θέµα

Για την μέτρηση θερμοκρασιών χρησιμοποιούνται οι κλίμακες βαθμών Κελσίου (Celcius), Φαρενάιτ (Fahrenheit) και Κέλβιν (Kelvin). Οι μετατροπές της θερμοκρασίας από Κελσίου σε Φαρενάιτ και από Κελσίου σε Κέλβιν, περιγράφονται από τις προτά- σεις Π1 και Π2: Π1: Για να μετατρέψουμε την θερμοκρασία από βαθμούς Κελσίου ( ο C ) σε βαθμούς Φαρενάιτ ( o F ), πολλαπλασιάζουμε τους βαθμούς Κελσίου με 1,8 και προσθέτου- με 32. Π2: Για να μετατρέψουμε την θερμοκρασία από βαθμούς Κελσίου ( ο C ) σε βαθμούς Κέλβιν ( ο Κ ), προσθέτουμε στους βαθμούς Κελσίου ( o C ) το 273. α) Να εκφράσετε συμβολικά την σχέση που περιγράφει η κάθε πρόταση. (Μονάδες 8) β) Να δείξετε ότι η εξίσωση που παριστάνει την σχέση μεταξύ της θερμοκρασίας σε βαθμούς Κέλβιν ( ο Κ ) και της θερμοκρασίας σε βαθμούς Φαρενάιτ ( o F ), είναι η F − 32 Κ= + 273 . 1, 8 (Μονάδες 7) γ) Στην διάρκεια μιας νύχτας η θερμοκρασία σε μια πόλη κυμάνθηκε από 278 οΚ μέχρι 283 οΚ . Να βρείτε το διάστημα μεταβολής της θερμοκρασίας σε ο F . (Μονάδες 10) - 11 - Μαθηµατικό στέκι • www.mathsteki.gr • Έκδοση 1η - Δεκέµβριος 2020 Τράπεζα Θεµάτων Α΄ Λυκείου • ΑΛΓΕΒΡΑ • 4ο θέµα

Δίνεται η εξίσωση x 2 − 2λx + λ2 − 1 = 0 , με παράμετρο λ ∈ ! . α) Να δείξετε ότι, για κάθε λ ∈ ! , η εξίσωση έχει δύο άνισες ρίζες. (Μονάδες 6) β) Να βρείτε τις ρίζες της εξίσωσης, για κάθε λ ∈ ! . (Μονάδες 6) γ) Να βρείτε για ποιες τιμές του πραγματικού αριθμού λ, οι δύο άνισες ρίζες της εξί- σωσης ανήκουν στο διάστημα (−2 , 4) . (Μονάδες 13)

Δίνονται οι ανισώσεις x − 2 < 3 και x 2 − 2x − 8 ≤ 0 . α) Να βρείτε τις λύσεις τους. (Μονάδες 10) β) Να δείξετε ότι οι ανισώσεις συναληθεύουν για x ∈ (−1, 4⎤⎥ . ⎦ (Μονάδες 5) γ) Αν οι αριθμοί ρ1 και ρ2 ανήκουν στο σύνολο των κοινών λύσεων των δύο ανισώσε- ρ + ρ2 ων, να δείξετε ότι και ο αριθμός 1 είναι κοινή τους λύση. 2 (Μονάδες 10) - 12 - Μαθηµατικό στέκι • www.mathsteki.gr • Έκδοση 1η - Δεκέµβριος 2020 Τράπεζα Θεµάτων Α΄ Λυκείου • ΑΛΓΕΒΡΑ • 4ο θέµα

Δίνονται οι ανισώσεις 2 ≤ x ≤ 3 και x 2 − 4x < 0 α) Να βρείτε τις λύσεις τους. (Μονάδες 10) β) Να δείξετε ότι οι ανισώσεις συναληθεύουν για x ∈ ⎡⎢2 , 3⎤⎥ . ⎣ ⎦ (Μονάδες 5) γ) Αν οι αριθμοί ρ1 και ρ2 ανήκουν στο σύνολο των κοινών λύσεων των δύο ανισώσε- ρ + ρ2 ων, να δείξετε ότι και ο αριθμός 1 είναι κοινή τους λύση. 2 (Μονάδες 10)

Δίνονται οι ανισώσεις x + 1 ≤ 2 και x 2 − x − 2 > 0 α) Να λύσετε τις ανισώσεις. (Μονάδες 10) β) Να δείξετε ότι οι ανισώσεις συναληθεύουν για x ∈ ⎡⎢−3 ,− 1) . ⎣ (Μονάδες 5) γ) Αν οι αριθμοί ρ1 και ρ2 ανήκουν στο σύνολο των κοινών λύσεων των δύο ανισώσε- ων, να δείξετε ότι ρ1 − ρ2 ∈ (−2 , 2) . (Μονάδες 10) - 13 - Μαθηµατικό στέκι • www.mathsteki.gr • Έκδοση 1η - Δεκέµβριος 2020 Τράπεζα Θεµάτων Α΄ Λυκείου • ΑΛΓΕΒΡΑ • 4ο θέµα

Δίνεται ένας πραγματικός αριθμός x, που ικανοποιεί την σχέση d (x , 5) ≤ 9 . α) Να αποδώσετε την παραπάνω σχέση λεκτικώς. (Μονάδες 5) β) Με χρήση του άξονα των πραγματικών αριθμών να παραστήσετε, σε μορφή διαστή- ματος, το σύνολο των δυνατών τιμών του x. (Μονάδες 5) γ) Να γράψετε την σχέση με το σύμβολο της απόλυτης τιμής και να επιβεβαιώσετε, με αλγεβρικό τρόπο, το συμπέρασμα του ερωτήματος (β). (Μονάδες 10) δ) Να χρησιμοποιήσετε το συμπέρασμα του ερωτήματος (γ), για να δείξετε ότι x + 4 + x − 14 = 18 . (Μονάδες 5)

Δίνονται τα σημεία Α, Β και Μ που παριστάνουν, στον άξονα των πραγματικών αριθ- μών, τους αριθμούς −2 , 7 και x αντίστοιχα, με −2 < x < 7 . α) Να διατυπώσετε την γεωμετρική ερμηνεία των παραστάσεων: Ι. x + 2 . (Μονάδες 4) ΙΙ. x − 7 . (Μονάδες 4) β) Με την βοήθεια του άξονα, να δώσετε την γεωμετρική ερμηνεία του αθροίσματος x +2 + x−7 . (Μονάδες 5) γ) Να βρείτε την τιμή της παράστασης Α = x + 2 + x − 7 , γεωμετρικώς. (Μονάδες 5) δ) Να επιβεβαιώσετε αλγεβρικώς το προηγούμενο συμπέρασμα. (Μονάδες 7) - 14 - Μαθηµατικό στέκι • www.mathsteki.gr • Έκδοση 1η - Δεκέµβριος 2020 Τράπεζα Θεµάτων Α΄ Λυκείου • ΑΛΓΕΒΡΑ • 4ο θέµα

Σε έναν άξονα, τα σημεία Α, Β και Μ αντιστοιχούν στους αριθμούς 5, 9 και x. α) Να διατυπώσετε την γεωμετρική ερμηνεία των παραστάσεων x − 5 και x − 9 . (Μονάδες 10) β) Αν ισχύει x − 5 = x − 9 : Ι. ποια γεωμετρική ιδιότητα του σημείου Μ αναγνωρίζετε; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. (Μονάδες 7) ΙΙ. με χρήση του άξονα, να προσδιορίσετε τον πραγματικό αριθμό x που παριστά- νει το σημείο Μ. Να επιβεβαιώσετε, με αλγεβρικό τρόπο, την απάντησή σας. (Μονάδες 8)

Ο Διονύσης γράφει στο τετράδιό του τους αριθμούς 3, 7, 11, 15, ... και συνεχίζει προ- σθέτοντας κάθε φορά το 4. Σταματάει, όταν έχει γράψει τους 40 πρώτους από τους αριθμούς αυτούς. α) Είναι οι παραπάνω αριθμοί διαδοχικοί όροι μιας αριθμητικής προόδου; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. (Μονάδες 4) β) Να βρείτε το άθροισμα των 40 αυτών αριθμών. (Μονάδες 7) γ) Είναι ο αριθμός 120 ένας από αυτούς τους 40 αριθμούς; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. (Μονάδες 7) δ) Ο Γιώργος πήρε το τετράδιο του Διονύση και συνέχισε να γράφει διαδοχικούς όρους της ίδιας αριθμητικής προόδου, από εκεί που είχε σταματήσει ο Διονύσης, μέχρι να εμφανιστεί ο αριθμός 235. Να βρείτε το άθροισμα των αριθμών που έγραψε ο Γιώργος. (Μονάδες 7) - 15 - Μαθηµατικό στέκι • www.mathsteki.gr • Έκδοση 1η - Δεκέµβριος 2020 Τράπεζα Θεµάτων Α΄ Λυκείου • ΑΛΓΕΒΡΑ • 4ο θέµα

Δίνεται η εξίσωση x 2 − 4x + 2 − λ2 = 0 (1) , με παράμετρο λ ∈ ! . α) Να αποδείξετε ότι, για οποιαδήποτε τιμή του λ ∈ ! , η (1) έχει δύο ρίζες άνισες. (Μονάδες 10) β) Αν x1 και x 2 είναι οι ρίζες της εξίσωσης (1): Ι. να βρείτε το S = x1 + x 2 . ΙΙ. να βρείτε το P = x1 ⋅ x 2 , ως συνάρτηση του πραγματικού αριθμού λ. (Μονάδες 5) γ) Αν η μία ρίζα της εξίσωσης (1) είναι ο αριθμός 2 + 3 , τότε: Ι. να αποδείξετε ότι η άλλη ρίζα της εξίσωσης (1) είναι ο αριθμός 2 − 3 . ΙΙ. να βρείτε το λ. (Μονάδες 10)

α) Να βρείτε το πρόσημο του τριωνύμου x 2 − 5x + 6 , για τις διάφορες τιμές του x∈!. (Μονάδες 10) 1 2 β) Δίνεται η εξίσωση x + (2 − λ) x + λ − 2 = 0 (1) , με παράμετρο λ. 4 Ι. Να αποδείξετε ότι, για κάθε λ ∈ (−∞ , 2) ∪ (3 , + ∞) , η εξίσωση (1) έχει δύο ρί- ζες άνισες. (Μονάδες 10) ΙΙ. Να βρείτε τις τιμές του λ ∈ ! , για τις οποίες οι ρίζες της (1) είναι ομόσημοι αριθμοί. (Μονάδες 5) - 16 - Μαθηµατικό στέκι • www.mathsteki.gr • Έκδοση 1η - Δεκέµβριος 2020 Τράπεζα Θεµάτων Α΄ Λυκείου • ΑΛΓΕΒΡΑ • 4ο θέµα