Ε9-Π2+Κ33-εξώφυλλο

Αν α , β > 0 , να αποδείξετε ότι η εξίσωση α ⋅ ηµx + β = x έχει μία, τουλάχιστον, ρίζα, της οποίας η απόλυτη τιμή δεν υπερβαίνει τον α + β .

Έστω η συνεχής συνάρτηση f : ⎡⎢0 , 4⎤⎥ → ! , με f(0) = f(4) , και η συνάρτηση ⎣ ⎦ h(x) = f(x) − f(x + 2) . α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της h. β. Να δείξετε ότι η εξίσωση f(x) = f(x + 2) έχει μία, τουλάχιστον, ρίζα στο διάστημα ⎡0 , 2⎤ . ⎢⎣ ⎥⎦

Η συνάρτηση f ορίζεται και είναι συνεχής στο ! , με f(x) + f(x + 3) = 0 , για κάθε x ∈ ! . Να δείξετε ότι υπάρχει x 0 ∈ ⎡⎢0 , 3⎤⎥ τέτοιο, ώστε f(x 0 ) = f(x 0 + 2) . ⎣ ⎦

Έστω συνάρτηση f, που ορίζεται και είναι συνεχής στο διάστημα ⎡⎢0 , 5⎤⎥ , με ⎣ ⎦ f(1) + f(2) + f(3) = 0 . Να δείξετε ότι η εξίσωση f(x) = 0 έχει, τουλάχιστον μία, ρίζα στο ⎡⎢0 , 5⎤⎥ . ⎣ ⎦

Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστημα ⎡⎢0 , 2⎤⎥ και ισχύει 0 < f(x) ≤ 2 , για κάθε ⎣ ⎦ x ∈ ⎡⎢0 , 2⎤⎥ . Να αποδείξετε ότι υπάρχει x 0 ∈ ⎡⎢0 , 2) , ώστε f 2 (x 0 ) − 2f(x 0 ) + x 0 = 0 . ⎣ ⎦ ⎣

Έστω f : ⎡⎢0 , π⎤⎥ → ! συνεχής συνάρτηση, με f(0) = f(π) . Να αποδείξετε ότι υπάρχει ⎣ ⎦ ⎛ π ⎞⎟ x 0 ∈ ⎡⎢0 , π⎤⎥ , ώστε f(x 0 ) = f ⎜⎜⎜x 0 + ⎟⎟ . ⎣ ⎦ ⎝ 2 ⎟⎠

Έστω f : ⎡⎢α , β⎤⎥ → ! συνεχής συνάρτηση, ώστε f(α) ≥ α 2 και f(β) ≤ β2 . Να αποδείξετε ⎣ ⎦ ότι υπάρχει x 0 ∈ ⎡⎢α , β⎤⎥ , ώστε f(x 0 ) = x 20 . ⎣ ⎦

Έστω συνεχής συνάρτηση f, ορισμένη στο διάστημα ⎡⎢1, 4⎤⎥ , για την οποία ισχύουν ⎣ ⎦ f(x) ≠ 0 , για κάθε x ∈ ⎡⎢1, 4⎤⎥ , f(1) > 0 , f(1) ⋅ f(2) = f(3) ⋅ f(4) . Να αποδείξετε ότι: ⎣ ⎦ α. f(x) > 0 , για κάθε x ∈ ⎡⎢1, 4⎤⎥ . ⎣ ⎦ β. η συνάρτηση g(x) = f 2 (x) − f(1) ⋅ f(2) έχει μία, τουλάχιστον, ρίζα στο διάστημα ⎡⎢1, 2⎤⎥ . ⎣ ⎦ γ. η συνάρτηση f δεν είναι αντιστρέψιμη.

Δίνεται η συνάρτηση f : ⎡⎢α , β⎤⎥ → ⎡⎢α , β⎤⎥ . Δείξτε ότι η γραφική παράσταση της f τέμνει σε ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ένα, τουλάχιστον, σημείο x 0 ∈ ⎡⎢α , β⎤⎥ την ευθεία y = x . ⎣ ⎦

Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστημα ⎡⎢0 ,1⎤⎥ . Αν 3f(0) + 5f(1) = 0 , να αποδείξετε ⎣ ⎦ ότι η εξίσωση f(x) = 0 έχει μία, τουλάχιστον, ρίζα στο ⎡⎢0 ,1⎤⎥ . ⎣ ⎦

Έστω f συνεχής συνάρτηση στο διάστημα ⎡⎢0 ,1⎤⎥ , για την οποία ισχύει −1 < f(x) ≤ 0 , για ⎣ ⎦ κάθε x ∈ ! . Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα, τουλάχιστον, x 0 ∈ ⎡⎢0 ,1) , ώστε ⎣ f 2 (x 0 ) + f(x 0 ) + x 0 = 0 .

Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστημα ⎡⎢0 , 2⎤⎥ , με f(0) = f(2) . Να αποδείξετε ότι ⎣ ⎦ η εξίσωση f(x) = f(x + 1) έχει μία, τουλάχιστον, ρίζα στο διάστημα ⎡⎢0 ,1⎤⎥ . ⎣ ⎦

Οι συναρτήσεις f, g είναι συνεχείς στο διάστημα ⎡⎢α , β⎤⎥ και με σύνολο τιμών το ⎡⎢α , β⎤⎥ . ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ Να αποδείξετε ότι υπάρχει ξ ∈ ⎡⎢α , β⎤⎥ , ώστε (g ! f)(ξ) = ξ . ⎣ ⎦

Οι συναρτήσεις f , g : ! → ! είναι συνεχείς και, για κάθε x ∈ ! , ισχύει f 2 (x) + g 2 (x) = 2 . Να δείξετε ότι η εξίσωση f(x) ⋅ g(x) = x έχει μία, τουλάχιστον, ρίζα στο διάστημα ⎡⎢−1,1⎤⎥ . ⎣ ⎦

Οι συναρτήσεις f, g είναι συνεχείς στο διάστημα ⎡⎢α , β⎤⎥ και ισχύει ⎣ ⎦ f(α) + f(β) = g(α) + g(β) . Να αποδείξετε ότι οι γραφικές τους παραστάσεις έχουν ένα, τουλάχιστον, κοινό ση- μείο.

Δίνεται η συνάρτηση f(x) = αx 2 + βx + γ , α ≠ 0 . Αν ισχύει 5α + 3β + 3γ = 0 , να απο- δείξετε ότι η εξίσωση f(x) = 0 έχει μία, τουλάχιστον, λύση στο διάστημα ⎡⎢0 , 2⎤⎥ . ⎣ ⎦

Δίνεται συνεχής συνάρτηση f : ⎡⎢0 , 2⎤⎥ → ⎡⎢0 ,1⎤⎥ . Να αποδείξετε ότι υπάρχει ξ ∈ (0 , 2⎤⎥ τέ- ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎦ τοιο, ώστε f 2 (ξ) + ξ 2 = 2f(ξ) + 3 .

Δίνεται συνεχής συνάρτηση f : ⎡⎢1, 2⎤⎥ → ⎡⎢0 ,1⎤⎥ . Να αποδείξετε ότι υπάρχει x 0 ∈ ⎡⎢1, 2⎤⎥ τέ- ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ τοιο, ώστε f 2 (x 0 ) − x 0f(x 0 ) = 1 − x 0 .

Δίνεται συνεχής συνάρτηση f : ! → ! , με f(1) = f(5) . Να αποδείξετε ότι υπάρχει ξ ∈ ⎡⎢1, 3⎤⎥ τέτοιο, ώστε f(ξ) = f(ξ + 2) . ⎣ ⎦

Δίνεται συνεχής συνάρτηση f : ⎡⎢α , β⎤⎥ → ! , α , β ≠ 0 , για την οποία ισχύει ⎣ ⎦ e−α f(α) + e−β f(β) = 0 . Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f(x) = 0 έχει, τουλάχιστον μία, ρίζα στο διάστημα ⎡⎢α , β⎤⎥ . ⎣ ⎦