Ε2-Π3-εξώφυλλο

Λυμένο παράδειγμα 70 από «Ε2-Π3-εξώφυλλο». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: 2x 2 − ηµx 2x 2 ηµx ηµx 0 − 2x − 2 2x − ηµx 0 x x x x ℓ im = ℓ im = ℓ im = ℓ im = x→ 0 x + συνx − 1 x + συνx − 1 συνx − 1 x→ 0 x→ 0 x συνx − 1 x→ 0 1+ + x x x x 2⋅0 −1 = = −1 . 1+ 0 - 270 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr Μαθη ματ ι κά Γ΄ Λυ κεί ο υ • Κ ΕΦΑ Λ Α Ι Ο 1 • Ό ρ ι ο -συνέχε ι α συνά ρτησης 2η ΕΝΟΤΗΤΑ. “Υπολογιστικά” θέµατα ορίων: η απροσδιοριστία “0 διά 0” Εδώ έγινε εφαρμογή του «κόλπου» που προαναφέρθηκε: το ημx του αριθμητή δεν είχε x να το διαιρεί, οπότε το συμπλήρωσα διαιρώντας αριθμητή και παρονομαστή με x. Αυτή είναι μία κλασική κίνηση.

Λυμένο παράδειγμα 71 από «Ε2-Π3-εξώφυλλο». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: 0 ηµ3x 0 ⎛ ηµx ⎞ ℓ im = ℓ im ⎜⎜⎜ ⋅ ηµ2x⎟⎟⎟ = 1 ⋅ ηµ2 0 = 0 . x→ 0 x x→ 0 ⎝ x ⎟⎠ Εδώ είχα δύναμη του ημx, την οποία «έσπασα» και εμφάνισα το επιθυμητό κλάσμα του βασικού ορίου της θεωρίας.

Λυμένο παράδειγμα 72 από «Ε2-Π3-εξώφυλλο». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: 0 2 1 − συν2x 0 ηµ2x ⎛ ηµx ⎞⎟ ℓ im = ℓ im = ℓ im ⎜⎜⎜ ⎟⎟ = 12 = 1 . x→ 0 x 2 x→ 0 x 2 x→ 0 ⎝ x ⎟⎠ Η χρήση κάποιου τύπου της Τριγωνομετρίας δεν πρέπει να θεωρείται ακραία σκέψη. Εδώ, χρησιμοποιώντας τον βασικότατο τύπο 1 − συν2x = ηµ2x , εμφάνισα το ηµ2x , το οποίο είχε ήδη από κάτω του το x2 και έτσι το όριο έλαβε γρήγορα βολική μορφή.

Λυμένο παράδειγμα 73 από «Ε2-Π3-εξώφυλλο». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: 0 ηµx ηµx ⋅ 2 ⎛ 2 ⎞ ηµx ⋅ εϕx 0 συνx = ℓ im ηµ x = ℓ im ⎜⎜ 1 ⋅ ηµ x ⎟⎟ = ℓ im = ℓ im ⎟ x→ 0 x2 x→ 0 x2 x→ 0 x 2συνx x→ 0 ⎜ ⎜⎝ συνx x 2 ⎟⎠ ⎡ 2⎤ ⎢ 1 ⎛⎜ ηµx ⎞⎟⎟ ⎥ 1 = ℓ im ⎢ ⋅ ⎜⎜ ⎟ ⎥ = ⋅12 = 1 . x→ 0 ⎢ συνx ⎝ x ⎟ ⎠⎥ συν0 ⎣ ⎦ Και άλλο παράδειγμα χρήσης βασικότατου τύπου της Τριγωνομετρίας, του ηµx εϕx = . συνx Το «σπάσιμο» του κλάσματος στο τρίτο βήμα έγινε για να ξεχωρίσω το χαρακτηριστι- ηµ2x κό κλάσμα . x2 - 271 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr Μαθη ματ ι κά Γ΄ Λυ κεί ο υ • Κ ΕΦΑ Λ Α Ι Ο 1 • Ό ρ ι ο -συνέχε ι α συνά ρτησης 2η ΕΝΟΤΗΤΑ. “Υπολογιστικά” θέµατα ορίων: η απροσδιοριστία “0 διά 0”

Λυμένο παράδειγμα 74 από «Ε2-Π3-εξώφυλλο». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: ℓ im ηµx 0 0 = ℓ im ( x + 4 + 2) = ℓ im ηµx ⋅ ( x + 4 + 2) = ηµx ⋅ x→ 0 x + 4 −2 x→ 0 ( x + 4 − 2)( x + 4 + 2) x + 4 −2 x→ 0 2 2 ( x + 4 + 2) = ℓ im ηµx ⋅ ( x + 4 + 2) = ℓ im ⎡⎢ ηµx ⋅ x + 4 + 2 ⎤⎥ = ηµx ⋅ ⎢ x ( ) ⎥⎦ = ℓ im x→ 0 x+ 4 − 4 x→ 0 x ⎣ x→ 0 = 1⋅ ( 0 + 4 + 2) = 4 . Όπως είδες, κάλλιστα μπορεί να χρειαστεί η εφαρμογή τεχνικής από άλλη περίπτωση ορίου, το δε επιθυμητό κλάσμα με το ημίτονο να εμφανιστεί μόνο του μετά τις πρά- ξεις. Σημαντικό σχόλιο! Θεώρησε αυτονόητη μια επανάληψη στις τιμές του βασικού πίνακα της Τριγωνομετρί- ας! Είναι κρίμα να χάνεται εξαρχής ένα τριγωνομετρικό όριο επειδή, για παράδειγμα, δεν θυμάσαι τις τιμές π π π π ηµ , συν , εϕ , σϕ . 6 4 3 2 Αυτό γίνεται πάντα στο πρώτο βήμα υπολογισμού ενός ορίου, οπότε αν δεν θυμάσαι αυτές τις βασικές τιμές, ο υπολογισμός του ορίου είναι ανέφικτος.

Λυμένο παράδειγμα 75 από «Ε2-Π3-εξώφυλλο». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: 0 ηµ4x 0 ⎛ ηµ4x ⎞⎟ ηµ4x ℓ = ℓ im = ℓ im ⎜⎜⎜4 ⋅ ⎟⎟ = 4 ℓ im . x→ 0 x x→ 0 ⎝ 4x ⎟⎠ x→ 0 4x Έχω ημ4x, οπότε αυτό πρέπει να διαιρείται με 4x. Αφού κάτω έχω μόνο x (δηλαδή λείπει το 4), πολλαπλασιάζω και διαιρώ το κλάσμα με 4 και εμφανίζω την επιθυμητή μορφή. Τώρα συνεχίζω με αλλαγή μεταβλητής. ηµy Θέτω 4x = y . Όταν x → 0 , τότε y → 0 , οπότε ℓ = 4 ⋅ ℓ im = 4 ⋅1 = 4 . y→ 0 y

Λυμένο παράδειγμα 76 από «Ε2-Π3-εξώφυλλο». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: 0 ηµ6x ηµ6x 6x ⋅ ηµ6x 0 6x = 3 ⋅ ℓ im 6x . ℓ = ℓ im = ℓ im x→ 0 ηµ4x x→ 0 ηµ4x 2 x→ 0 ηµ4x 4x ⋅ 4x 4x Εδώ έχω ημ6x και ημ4x, τα οποία πρέπει να διαιρούνται με 6x και 4x αντίστοιχα. Πολλαπλασιάζω και διαιρώ τον αριθμητή με 6x (και έτσι «βολεύω» το ημ6x του αριθ- μητή), ανάλογα πράττω με 4x για τον παρονομαστή (και έτσι «βολεύω» το ημ4x του παρονομαστή). Αφού εμφανίζονται τα επιθυμητά κλάσματα πάνω και κάτω, σταματάω την διαδικα- σία υπολογισμού και τα παίρνω ξέχωρα και τα υπολογίζω με αλλαγή μεταβλητής. ηµ6x • Στο ℓ 1 = ℓ im θέτω 6x = y . x→ 0 6x ηµy Όταν x → 0 , τότε y → 0 , άρα ℓ 1 = ℓ im = 1. y→ 0 y ηµ4x • Στο ℓ 2 = ℓ im θέτω 4x = t . x→ 0 4x ηµt Όταν x → 0 , τότε t → 0 , άρα ℓ 2 = ℓ im = 1. t→ 0 t Τώρα που βρήκα πόσο δίνει το καθένα, κάνω τον τελικό υπολογισμό. 3 1 3 Τελικά είναι ℓ = ⋅ = . 2 1 2 - 275 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr Μαθη ματ ι κά Γ΄ Λυ κεί ο υ • Κ ΕΦΑ Λ Α Ι Ο 1 • Ό ρ ι ο -συνέχε ι α συνά ρτησης 2η ΕΝΟΤΗΤΑ. “Υπολογιστικά” θέµατα ορίων: η απροσδιοριστία “0 διά 0”

Λυμένο παράδειγμα 77 από «Ε2-Π3-εξώφυλλο». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: 0 ηµ3x εϕ3x 0 ηµ3x ⎛ 1 ηµ3x ⎞⎟ ℓ = ℓ im = ℓ im συν3x = ℓ im = ℓ im ⎜⎜⎜ ⋅ ⎟⎟ = x→ 0 x x→ 0 x x→ 0 x ⋅ συν3x x→ 0 συν3x ⎝ x ⎟⎠ ⎛ 1 ηµ3x ⎞⎟ = ℓ im ⎜⎜⎜ ⋅3 ⋅ ⎟⎟ . x→ 0 συν3x ⎝ 3x ⎟⎠ ηµ3x Στο ℓ 1 = ℓ im θέτω 3x = y . x→ 0 3x ηµy Όταν x → 0 , τότε y → 0 , επομένως είναι ℓ 1 = ℓ im = 1 και τελικά y→ 0 y 1 ℓ= ⋅ 3 ⋅1 = 3 . συν0 Σύσταση! Επειδή πολλές φορές η διαδικασία υπολογισμού ενός ορίου μπορεί να διακοπεί προ- σωρινά (διότι πρέπει να υπολογίσουμε ξέχωρα το όριο μιας παράστασης που υπάρχει στο αρχικό όριο), συστήνεται να συμβολίζεται το αρχικό όριο με ℓ (ή L ή Α ή αλλιώς), τα δε επιμέρους όρια με ℓ 1 , ℓ 2 , ... (ή L1 , L2 , ...). Αυτό βοηθά πολύ στην διατήρηση της τάξης στην διαδικασία υπολογισμού, όπως φάνη- κε στα παραδείγματα 76 και 77.

Λυμένο παράδειγμα 78 από «Ε2-Π3-εξώφυλλο». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: ℓ = ℓ im ηµ(x 2 − 1) = ℓ im 0 0 ( x + 3 + 2) = ℓ im ηµ(x − 1) ⋅ ( x + 3 + 2) = ηµ(x 2 − 1) ⋅ 2 2 2 x→1 2 x + 3 −2 ( x + 3 − 2)( x + 3 + 2) x→1 2 x + 3−4 2 x→1 2 - 276 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr Μαθη ματ ι κά Γ΄ Λυ κεί ο υ • Κ ΕΦΑ Λ Α Ι Ο 1 • Ό ρ ι ο -συνέχε ι α συνά ρτησης 2η ΕΝΟΤΗΤΑ. “Υπολογιστικά” θέµατα ορίων: η απροσδιοριστία “0 διά 0” ( x + 3 + 2) = ℓ im ⎡⎢ x + 3 + 2 ⋅ ηµ(x − 1) ⎤⎥ . ηµ(x 2 − 1) ⋅ 2 ⎢( ) x − 1 ⎥⎦⎥ 2 2 = ℓ im 2 2 x→1 x −1 ⎣⎢ x→1 ηµ(x 2 − 1) Στο ℓ 1 = ℓ im 2 θέτω x 2 − 1 = y . x→1 x −1 ηµy Όταν x → 1 , τότε y → 0 , άρα ℓ 1 = ℓ im = 1 , συνεπώς y→ 0 y ℓ= ( 1 + 3 + 2) ⋅1 = 4 . 2

Λυμένο παράδειγμα 79 από «Ε2-Π3-εξώφυλλο». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: 0 ηµ(x − 2) 0 ηµ(x − 2) ⎡ 1 ηµ(x − 2) ⎤⎥ ℓ = ℓ im = ℓ im = ℓ im ⎢ ⋅ . x→ 2 x 2 − 5x + 6 x→ 2 (x − 3)(x − 2) x→ 2 ⎢ x − 3 x − 2 ⎥⎦ ⎣ ηµ(x − 2) Στο ℓ 1 = ℓ im θέτω x − 2 = y . x→ 2 x −2 ηµy Όταν x → 2 , τότε y → 0 , άρα ℓ 1 = ℓ im = 1 , συνεπώς y→ 0 y 1 ℓ= ⋅1 = −1 . 2−3 Τελικό σχόλιο Στην 5η ενότητα θα δεις μερικά ακόμη τριγωνομετρικά όρια, των οποίων ο τρόπος υπολογισμού δεν ακολουθεί καθόλου το σκεπτικό που εδώ αναπτύχθηκε. Επομένως, το θέμα «τριγωνομετρικά όρια» δεν κλείνει εδώ. - 277 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

0 1 − ηµx 0 (1 − ηµx)(1 + ηµx) 1 − ηµ2x ℓ = ℓ im = ℓ im = ℓ im = x→ π/2 συνx x→ π/2 συνx ⋅ (1 + ηµx) x→ π/2 συνx ⋅ (1 + ηµx) π συν συν 2 x συνx 2 = 0 = 0. = ℓ im = ℓ im = x→ π/2 συνx ⋅ (1 + ηµx) x→ π/2 1 + ηµx 1 + ηµ π 1+1 2 Με την μέθοδο που θα δεις στον Διαφορικό Λογισμό, το όριο αυτό υπολογίζεται με πολύ λιγότερη φαντασία και τέχνη (και πολύ λιγότερες και ευκολότερες πράξεις βέβαια).

0 ηµx ηµx − ηµx ⋅ συνx − ηµx εϕx − ηµx 0 συνx συνx ℓ = ℓ im = ℓ im = ℓ im = x→ 0 x3 x→ 0 x3 x→ 0 x3 ηµx ⋅ (1 − συνx) ηµx ⋅ (1 − συνx)(1 + συνx) ηµx ⋅ (1 − συν2x) = ℓ im = ℓ im = ℓ im = x→ 0 x 3συνx x→ 0 x 3συνx ⋅ (1 + συνx) x→ 0 x 3συνx ⋅ (1 + συνx) ηµx ⋅ ηµ2x ηµ3x ⎡ ηµ3x 1 ⎤ = ℓ im 3 = ℓ im 3 = ℓ im ⎢⎢ 3 ⋅ ⎥= ⎥ x→ 0 x συνx ⋅ (1 + συνx) x→ 0 x συνx ⋅ (1 + συνx) x→ 0 ⎣⎢ x συνx ⋅ (1 + συνx) ⎦⎥ ⎡⎛ 3 ⎤ ⎢ ⎜ ηµx ⎞⎟⎟ 1 ⎥ 1 1 1 = ℓ im ⎢ ⎜⎜ ⎟ ⋅ ⎥ = 13 ⋅ = = . x→ 0 ⎢ ⎝ x ⎟⎠ συνx ⋅ (1 + συνx) ⎥ συν0 ⋅ (1 + συν0) 1 ⋅ (1 + 1) 2 ⎣ ⎦

0 ηµx ηµx − ηµx ⋅ συνx − ηµx εϕx − ηµx 0 ℓ = ℓ im 3 = ℓ im συνx 3 = ℓ im συνx = x→ 0 ηµ x x→ 0 ηµ x x→ 0 ηµ3x ηµx ⋅ (1 − συνx) (1 − συνx)(1 + συνx) 1 − συν2x = ℓ im = ℓ im = ℓ im = x→ 0 συνx ⋅ ηµ 2 x ⋅ (1 + συνx) x→ 0 συνx ⋅ ηµ 2 x ⋅ (1 + συνx) x→ 0 συνx ⋅ ηµ 3 x ηµ2x 1 1 1 1 = ℓ im = ℓ im = = = . x→ 0 2 x→ 0 συνx ⋅ (1 + συνx) συν0 ⋅ (1 + συν0) 1 ⋅ (1 + 1) 2 συνx ⋅ ηµ x ⋅ (1 + συνx) - 279 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr Μαθη ματ ι κά Γ΄ Λυ κεί ο υ • Κ ΕΦΑ Λ Α Ι Ο 1 • Ό ρ ι ο -συνέχε ι α συνά ρτησης 2η ΕΝΟΤΗΤΑ. “Υπολογιστικά” θέµατα ορίων: η απροσδιοριστία “0 διά 0”

ℓ = ℓ im ηµx 0 0 = ℓ im ( x + 4 + 2) = ℓ im ηµx ⋅ ( x + 4 + 2) = ηµx ⋅ x→ 0 x + 4 −2 x→ 0 ( x + 4 − 2)( x + 4 + 2) x+ 4 − 4 x→ 0 ηµx ⋅ ( x + 4 + 2) = ℓ im ⎡⎢ ηµx ⋅ x + 4 + 2 ⎤⎥ = 1 ⋅ 0 + 4 + 2 = 4 . ⎢ x ( ) ⎥⎦ ( ) = ℓ im x→ 0 x ⎣ x→ 0

ℓ = ℓ im ηµx ⋅ συνx − ηµx 0 0 = ℓ im ( x + 9 + 3) = ηµx ⋅ (συνx − 1) 2 x→ 0 x2 + 9 − 3 ( x + 9 − 3)( x + 9 + 3) x→ 0 2 2 = ℓ im ηµx ⋅ (συνx − 1) ( x + 9 + 3) = ℓ im ηµx ⋅ (συνx − 1)( x + 9 + 3) = 2 2 x→ 0 x2 + 9 − 9 x→ 0 x⋅x ⎡ ηµx συνx − 1 ⎤ = ℓ im ⎢ x→ 0 ⎢ x ⎣ ⋅ x ⋅ ( ) x2 + 9 + 3 ⎥ = 1 ⋅ 0 ⋅ ⎥ ⎦ ( 0 + 9 + 3) = 0 . 2

Πρόσεξέ την πάρα πολύ! 0 x 2 + 9 − 3συνx 0 x 2 + 9 − 3 + 3 − 3συνx ℓ = ℓ im = ℓ im = x→ 0 x2 x→ 0 x2 = ℓ im ( x + 9 − 3) + 3(1 − συνx) = ℓ im ⎛⎜⎜ x + 9 − 3 + 3 ⋅ 1 − συνx ⎞⎟⎟⎟ . 2 2 ⎜⎜ ⎟⎟ x→ 0 x2 x→ 0 ⎝⎜ x2 x2 ⎠⎟ • ℓ 1 = ℓ im x2 + 9 − 3 0 = ℓ im 0 ( x + 9 − 3)( x + 9 + 3) = 2 2 x2 x ( x + 9 + 3) x→ 0 x→ 0 2 2 x2 + 9 − 9 x2 1 = ℓ im = ℓ im = ℓ im = x→ 0 x 2 ( x + 9 + 3) 2 x→ 0 x 2 ( x + 9 + 3) 2 x→ 0 x2 + 9 + 3 1 1 = = . 2 0 +9 +3 6 - 280 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr Μαθη ματ ι κά Γ΄ Λυ κεί ο υ • Κ ΕΦΑ Λ Α Ι Ο 1 • Ό ρ ι ο -συνέχε ι α συνά ρτησης 2η ΕΝΟΤΗΤΑ. “Υπολογιστικά” θέµατα ορίων: η απροσδιοριστία “0 διά 0” 0 1 − συνx (1 − συνx)(1 + συνx) 0 1 − συν2x • ℓ 2 = ℓ im = ℓ im = ℓ im 2 = x→ 0 x2 x→ 0 x 2 (1 + συνx) x→ 0 x (1 + συνx) ⎛ ηµ2x ⎞⎟ ⎡⎛ ⎞⎟ 2 ⎤ ηµ2x ⎜ 1 ⎟ ⎢ ⎜ ηµx 1 ⎥ = ℓ im 2 = ℓ im ⎜⎜ 2 ⋅ ⎟⎟ = ℓx→ im ⎢ ⎜⎜ ⎟ ⎟⎟ ⋅ ⎥= x→ 0 x (1 + συνx) x→ 0 ⎜ x 1 + συνx ⎠ ⎢ ⎝ x ⎠ 1 + συνx ⎥ ⎝ 0 ⎣ ⎦ 1 1 1 = 12 ⋅ = = . συν0 + 1 1 + 1 2 Τελικά, είναι 1 1 1 3 10 5 ℓ= +3⋅ = + = = . 6 2 6 2 6 3 Το ℓ 2 υπολογίζεται πολύ πιο εύκολα και ξεκούραστα με την μέθοδο που θα δεις στον Διαφορικό Λογισμό για όρια της μορφής «0 διά 0». Ελλείψει αυτού του εργαλείου, εδώ θα αναγκαστείς (όποτε και αν το συναντήσεις) να το κάνεις με τον παραπάνω τρόπο. Δεύτερος τρόπος υπολογισμού ℓ = ℓ im x 2 + 9 − 3συνx 0 = ℓ im 0 ( x + 9 − 3συνx)( x + 9 + 3συνx) = 2 2 x2 x ( x + 9 + 3συνx) x→ 0 x→ 0 2 2 x 2 + 9 − 9συν2x x 2 + 9(1 − συν2x) x 2 + 9ηµ2x = ℓ im = ℓ im = ℓ im = x→ 0 x2 ( x 2 + 9 + 3συνx ) x→ 0 x2 ( x 2 + 9 + 3συνx ) x→ 0 x2 ( x 2 + 9 + 3συνx ) 2 ⎛ ηµx ⎞⎟ x 2 + 9ηµ2x ηµ2x 1 + 9 ⋅ ⎜⎜⎜ ⎟⎟ 1+ 9⋅ 2 x2 x ⎝ x ⎟⎠ = ℓ im = ℓ im = ℓ im = x→ 0 x2 ( x 2 + 9 + 3συνx ) x→ 0 2 x + 9 + 3συνx x→ 0 x 2 + 9 + 3συνx x2 1 + 9 ⋅12 10 5 = = = . 02 + 9 + 3συν0 6 3 - 281 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr Μαθη ματ ι κά Γ΄ Λυ κεί ο υ • Κ ΕΦΑ Λ Α Ι Ο 1 • Ό ρ ι ο -συνέχε ι α συνά ρτησης 2η ΕΝΟΤΗΤΑ. “Υπολογιστικά” θέµατα ορίων: η απροσδιοριστία “0 διά 0”

ℓ = ℓ im ηµx ⋅ συνx − ηµx = ℓ im 0 0 ηµx ⋅ (συνx − 1) = ℓ im ( x + 4 + 2) ηµx ⋅ (συνx − 1) = 2 x→ 0 2 x + 4 −2 x + 4 −2 x→ 0 ( 2 x + 4 − 2)( x + x→ 0 4 + 2) 2 2 ηµx ⋅ (συνx − 1) ( x + 4 + 2) 2 ηµx ⋅ (συνx − 1) ( x + 4 + 2) 2 = ℓ im = ℓ im = x→ 0 x2 + 4 − 4 x→ 0 x⋅x ⎡ ηµx συνx − 1 ⎤ = ℓ im ⎢ x→ 0 ⎢ x ⎣ ⋅ x ⋅ ( x + 4 + 2) ⎥⎥⎦ = 1 ⋅ 0 ⋅ ( 0 + 4 + 2) = 0 . 2 2

0 ηµx εϕx 0 ηµx ⎛ ηµx 1 ⎞⎟ 1 ℓ = ℓ im = ℓ im συνx = ℓ im = ℓ im ⎜⎜⎜ ⋅ ⎟⎟ = 1 ⋅ = 1. x→ 0 x x→ 0 x x→ 0 x ⋅ συνx x→ 0 ⎝ x συνx ⎠⎟ συν0

0 x x 0 x 1 1 ℓ = ℓ im = ℓ im = ℓ im = = 1. x→ 0 ηµx x→ 0 ηµx x→ 0 ηµx 1 x x Δεύτερος τρόπος υπολογισμού 0 x 0 1 1 ℓ = ℓim = ℓim = = 1. x→ 0 ηµx x→ 0 ηµx 1 x - 282 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr Μαθη ματ ι κά Γ΄ Λυ κεί ο υ • Κ ΕΦΑ Λ Α Ι Ο 1 • Ό ρ ι ο -συνέχε ι α συνά ρτησης 2η ΕΝΟΤΗΤΑ. “Υπολογιστικά” θέµατα ορίων: η απροσδιοριστία “0 διά 0”

0 1 − συνx (1 − συνx)(1 + συνx) 0 1 − συν2x ℓ = ℓ im = ℓ im = ℓ im 2 = x→ 0 x2 x→ 0 x 2 (1 + συνx) x→ 0 x (1 + συνx) ⎛ ηµ2x ⎞⎟ ⎡⎛ ⎞⎟ 2 ⎤ ηµ2x ⎜ 1 ⎟ ⎢ ⎜ ηµx 1 ⎥ = ℓ im 2 = ℓ im ⎜⎜ 2 ⋅ ⎟⎟ = ℓx→ im ⎢ ⎜⎜ ⎟ ⎟⎟ ⋅ ⎥= x→ 0 x (1 + συνx) x→ 0 ⎜ x 1 + συνx ⎠ ⎢ ⎝ x ⎠ 1 + συνx ⎥ ⎝ 0 ⎣ ⎦ 1 1 1 = 12 ⋅ = = . 1 + συν0 1+1 2 Για το όριο αυτό, δες ξανά το σχόλιο της άσκησης 172.

0 1 − συν2x 0 1 − (1 − 2ηµ2x) 1 − 1 + 2ηµ2x ηµ2x ℓ = ℓ im = ℓ im = ℓ im = 2 ℓ im = x→ 0 x2 x→ 0 x2 x→ 0 x2 x→ 0 x2 2 ⎛ ηµx ⎞⎟ = 2 ℓ im ⎜⎜⎜ ⎟⎟ = 2 ⋅12 = 2 . x→ 0 ⎝ x ⎟⎠

0 ηµ2x 0 1 − συν2x (1 − συνx) (1 + συνx) ℓ = ℓ im = ℓ im = ℓ im = ℓ im(1 − συνx) = x→ 0 1 + συνx x→ 0 1 + συνx x→ 0 1 + συνx x→ 0 = 1 − συν0 = 1 − 1 = 0 .

ℓ = ℓ im 2 ηµ x − συν x + 1 2 = ℓ im 0 0 ηµ2x + ηµ2x = ℓ im ( x + 4 + 2) = 2ηµ2x ⋅ 2 x→ 0 x + 4 −2 2 x + 4 −2 x→ 0 ( x + 4 − 2)( x + 4 + 2) 2 x→ 0 2 2 2ηµ x ⋅ ( x + 4 + 2) 2 2 2ηµ x ⋅ ( x + 4 + 2) 2 2 ⎡ ηµ x ⎤ ⋅ ( x + 4 + 2) ⎥⎥ = 2 = ℓ im = ℓ im = 2 ℓ im ⎢⎢ 2 2 2 x→ 0 x +4−4 2 x x→ 0 ⎣⎢ x x→ 0 ⎦⎥ ⎡⎛ 2 ⎤ ⎢ ⎜ ηµx ⎞⎟⎟ = 2 ℓ im ⎢ ⎜⎜ x→ 0 ⎢ ⎝ x ⎟⎠ ⎟ ⋅ ( ⎥ ) x + 4 + 2 ⎥ = 2 ⋅12 ⋅ 2 ⎥ ( 0 + 4 + 2) = 8 . 2 ⎣ ⎦ - 283 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr Μαθη ματ ι κά Γ΄ Λυ κεί ο υ • Κ ΕΦΑ Λ Α Ι Ο 1 • Ό ρ ι ο -συνέχε ι α συνά ρτησης 2η ΕΝΟΤΗΤΑ. “Υπολογιστικά” θέµατα ορίων: η απροσδιοριστία “0 διά 0”

ℓ = ℓ im 1 − συνx = ℓ im 0 ( 1 − συνx 1 + συνx 0 )( ) = ℓ im 1 − συνx = x→ 0 x2 x→ 0 x 2 1 + συνx ( ) x→ 0 2 ( x 1 + συνx ) (1 − συνx)(1 + συνx) 1 − συν2x = ℓ im = ℓ im = x→ 0 ( x 2 (1 + συνx) 1 + συνx ) x→ 0 ( x 2 (1 + συνx) 1 + συνx ) ⎡ ⎤ ηµ2x ⎢ ηµ2x 1 ⎥ = ℓ im = ℓ im ⎢⎢ 2 ⋅ ⎥ = x→ 0 ( x 2 (1 + συνx) 1 + συνx ) x→ 0 ⎢ x ⎢⎣ (1 + συνx) 1 + συνx ( ) ⎥ ⎥ ⎥⎦ ⎡ ⎤ ⎢ ⎛ ηµx ⎞⎟2 1 ⎥ 1 1 = ℓ im ⎢ ⎜⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ ⎥ = 12 ⋅ = . x→ 0 ⎢ ⎟ ⎥ ⎢ ⎝ x ⎠ (1 + συνx) 1 + συνx ⎥ ⎣ ⎦ ( ) (1 + συν0) 1 + συν0 ( ) 4