Άσκηση 172

Βοηθητική μεταγραφή

Πρόσεξέ την πάρα πολύ! 0 x 2 + 9 − 3συνx 0 x 2 + 9 − 3 + 3 − 3συνx ℓ = ℓ im = ℓ im = x→ 0 x2 x→ 0 x2 = ℓ im ( x + 9 − 3) + 3(1 − συνx) = ℓ im ⎛⎜⎜ x + 9 − 3 + 3 ⋅ 1 − συνx ⎞⎟⎟⎟ . 2 2 ⎜⎜ ⎟⎟ x→ 0 x2 x→ 0 ⎝⎜ x2 x2 ⎠⎟ • ℓ 1 = ℓ im x2 + 9 − 3 0 = ℓ im 0 ( x + 9 − 3)( x + 9 + 3) = 2 2 x2 x ( x + 9 + 3) x→ 0 x→ 0 2 2 x2 + 9 − 9 x2 1 = ℓ im = ℓ im = ℓ im = x→ 0 x 2 ( x + 9 + 3) 2 x→ 0 x 2 ( x + 9 + 3) 2 x→ 0 x2 + 9 + 3 1 1 = = . 2 0 +9 +3 6 - 280 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr Μαθη ματ ι κά Γ΄ Λυ κεί ο υ • Κ ΕΦΑ Λ Α Ι Ο 1 • Ό ρ ι ο -συνέχε ι α συνά ρτησης 2η ΕΝΟΤΗΤΑ. “Υπολογιστικά” θέµατα ορίων: η απροσδιοριστία “0 διά 0” 0 1 − συνx (1 − συνx)(1 + συνx) 0 1 − συν2x • ℓ 2 = ℓ im = ℓ im = ℓ im 2 = x→ 0 x2 x→ 0 x 2 (1 + συνx) x→ 0 x (1 + συνx) ⎛ ηµ2x ⎞⎟ ⎡⎛ ⎞⎟ 2 ⎤ ηµ2x ⎜ 1 ⎟ ⎢ ⎜ ηµx 1 ⎥ = ℓ im 2 = ℓ im ⎜⎜ 2 ⋅ ⎟⎟ = ℓx→ im ⎢ ⎜⎜ ⎟ ⎟⎟ ⋅ ⎥= x→ 0 x (1 + συνx) x→ 0 ⎜ x 1 + συνx ⎠ ⎢ ⎝ x ⎠ 1 + συνx ⎥ ⎝ 0 ⎣ ⎦ 1 1 1 = 12 ⋅ = = . συν0 + 1 1 + 1 2 Τελικά, είναι 1 1 1 3 10 5 ℓ= +3⋅ = + = = . 6 2 6 2 6 3 Το ℓ 2 υπολογίζεται πολύ πιο εύκολα και ξεκούραστα με την μέθοδο που θα δεις στον Διαφορικό Λογισμό για όρια της μορφής «0 διά 0». Ελλείψει αυτού του εργαλείου, εδώ θα…

Η αυτόματη μεταγραφή είναι βοηθητική και μπορεί να μην αποδίδει με ακρίβεια όλους τους μαθηματικούς τύπους και τα σύμβολα. Η σάρωση παραμένει η πηγή αναφοράς.

Εκφώνηση