ΚΥΚΛΟΣ-30 επαναληπτικές ασκήσεις (εξώφ)

Δίνεται ο κύκλος c : x 2 + y2 − 2x − 6y − 9 = 0 και η ευθεία ε : 3x − 6y + 2 = 0 . α. Να δείξετε ότι η (ε) και ο (c) τέμνονται σε δύο σημεία. β. Να δείξετε ότι η εξίσωση c λ : x 2 + y2 − 2x − 6y − 9 + λ(3x − 6y + 2) = 0 , λ ∈ ! , παριστάνει κύκλους, των οποίων να βρείτε τα κέντρα. γ. Να δείξετε ότι τα κέντρα των κύκλων (c λ ) βρίσκονται σε ευθεία, της οποίας να βρείτε την εξίσωση. δ. Από τους κύκλους που παριστάνει η εξίσωση του ερωτήματος (β), να βρείτε εκεί- νον που διέρχεται από το σημείο Α(1,1) .

Δίνονται οι κύκλοι c1 : x 2 + y2 = 1 , c2 : (x − 3)2 + (y − 2)2 = 4 . α. Να βρείτε την εξίσωση της διακεντρικής τους ευθείας. β. Από όλα τα ζεύγη σημείων (Α, Β), με το Α να ανήκει στον (c1 ) και το Β στον (c2 ) , να βρεθεί αυτό για το οποίο τα Α, Β απέχουν την μικρότερη απόσταση. γ. Να βρεθεί το ζεύγος σημείων (Γ, Δ), με το Γ να ανήκει στον (c1 ) και το Δ στον (c2 ) , τα οποία απέχουν την μεγαλύτερη απόσταση.

Δίνονται τα σημεία Α(−2 , 0) , Β(2 , 0) , Μ1 1, 3 . ( ) α. Να δείξετε ότι M1A ⊥M1B . β. Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου που διέρχεται από τα Α , Β , Μ1 . γ. Να δείξετε ότι το σημείο Μ2 −1, 3 ( ) ανήκει στον κύκλο του ερωτήματος (β) και ότι ισχύει Μ2Α ⊥ Μ2Β . δ. Να δείξετε ότι κάθε σημείο M(x 0 , y 0 ) για το οποίο ισχύει ΜΑ ⊥ ΜΒ , ανήκει στον κύκλο του ερωτήματος (β).

Να βρείτε την εξίσωση της χορδής του κύκλου (x − 3)2 + (y − 4)2 = 36 , αν γνωρίζουμε ότι το μέσο της είναι το σημείο Μ(2 , 3) . Στην συνέχεια, να βρείτε το μήκος της χορδής αυτής.

Να δείξετε ότι οι εφαπτόμενες του κύκλου x 2 + y2 = 289 που φέρνουμε από το σημείο Ρ(23 , 7) , είναι κάθετες μεταξύ τους.

Δίνεται η οικογένεια εξισώσεων (x − 5λ)2 + (y + λ − 1)2 = λ − 2 , λ ∈ ! . α. Για ποιες τιμές του λ παριστάνει κύκλο; β. Για ποιες τιμές του λ αντιπροσωπεύει ένα μόνο σημείο; γ. Για λ ∈ (2 , + ∞) , να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των κέντρων των κύκλων αυτών.

Δίνεται η εξίσωση x 2 + y2 + λ(y − x − 1) − (x + y + 2) = 0 , λ ∈ ! . α. Να δείξετε ότι: Ι. η εξίσωση παριστάνει κύκλο, για κάθε τιμή του λ. ΙΙ. τα κέντρα των κύκλων αυτών βρίσκονται πάνω σε ευθεία που είναι παράλληλη στην ευθεία x + y + 2 = 0 . β. Να βρείτε, αν υπάρχουν, τιμές του λ, ώστε: Ι. η ακτίνα του κύκλου να είναι 2 . ΙΙ. ο κύκλος να εφάπτεται της ευθείας ε : 4x − 3y + 6 = 0 .

Δίνονται οι κύκλοι c1 : x 2 + y2 = 1 , c2 : x 2 + y2 − 4x = 0 και η ευθεία ε : y = λx + β . α. Να βρείτε τις αποστάσεις των κέντρων των κύκλων από την (ε). β. Για ποιες τιμές των λ, β η ευθεία είναι κοινή εφαπτομένη των κύκλων; γ. Να δείξετε ότι οι κοινές εφαπτόμενες των δύο κύκλων τέμνονται στον άξονα x΄x και να βρείτε την οξεία γωνία που αυτές σχηματίζουν μεταξύ τους.

Να δείξετε ότι οι κύκλοι c1 : (x − 2)2 + y2 = 4 , c2 : x 2 − 2x + y2 = 0 εφάπτονται εσωτε- ρικά.

Να δείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων M(x , y) του επιπέδου των οποίων το άθροισμα των τετραγώνων των αποστάσεων από τα σημεία Α(1,− 1) , Β(−1, 2) , Γ(0 , 2) είναι σταθερό και ίσο με c, είναι κύκλος με κέντρο το βαρύκεντρο του τριγώνου ΑΒΓ (για κατάλληλο c).

Θεωρούμε τον κύκλο c : x 2 + y2 + 4y = 0 και το σημείο Α(−1,− 1) . Να βρείτε την εξί- σωση της ευθείας που ορίζει στον κύκλο χορδή με μέσο το Α.

Δίνεται ο κύκλος x 2 + y2 = 25 . α. Να βρείτε την εφαπτομένη του (ε1 ) στο σημείο του Μ(4 ,− 3) . β. Να βρείτε την εφαπτομένη του (ε2 ) που είναι παράλληλη στην (ε1 ) . γ. Να βρεθούν οι εξισώσεις των κύκλων που εφάπτονται στην (ε1 ) και στους ημιάξο- νες Ox και Oy΄. δ. Αν Κ, Λ είναι τα κέντρα των κύκλων του ερωτήματος (γ), να βρείτε την εξίσωση του κύκλου που έχει διάμετρο την ΚΛ.

Δίνονται τα σημεία Α(2 ,− 1) , Β(−3 , 4) . Να δείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των ση- 2 μείων του επιπέδου των οποίων ο λόγος των αποστάσεων από τα Α καιΒ είναι , 3 είναι κύκλος, του οποίου να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα.

Δίνονται τα σημεία Α(α , 0) , Β(0 , β) , με α , β > 0 . Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των !!!" 2 !!!" !!!" !!!" 2 σημείων M(x , y) του επιπέδου, για τα οποία ισχύει 2ΜΑ − ΜΑ ⋅ ΜΒ = ΑΒ .

Δίνεται ο κύκλος (c1 ) , με εξίσωση (x − 7)2 + y2 = 4 . Να βρείτε: α. το σημείο Α του κύκλου (c1 ) , το οποίο απέχει από την αρχή των αξόνων Ο ελάχι- στη απόσταση. β. την εξίσωση του κύκλου (c2 ) , ο οποίος εφάπτεται του κύκλου (c1 ) στο σημείο Α και διέρχεται από το σημείο Β(3 , 4) .

Δίνεται η εξίσωση x 2 + y2 − 2x ⋅ ηµθ − 2y ⋅ συνθ − 3 = 0 , θ ∈ ! . α. Να δείξετε ότι η παραπάνω εξίσωση παριστάνει κύκλο για κάθε θ, του οποίου να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα. β. Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των κέντρων των κύκλων. γ. Να δείξετε ότι η ευθεία ε : x ⋅ ηµθ + y ⋅ συνθ − 3 = 0 εφάπτεται στον κύκλο.

Δίνεται το τρίγωνο ΑΒΓ, με Α(2κ − 1 , 3κ + 2) , Β(1, 2) , Γ(2 , 3) , κ ∈ ! . α. Να βρείτε πού κινείται το Α, καθώς το κ μεταβάλλεται. β. Για κ = 1 , να βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ. γ. Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το Α και εφάπτεται στην ΒΓ.

Δίνεται η εξίσωση x 2 + y2 − 6αx − 8αy = 0 (1) , με α ≠ 0 . α. Να δείξετε ότι η (1) παριστάνει κύκλους για κάθε πραγματικό αριθμό α ≠ 0 , των οποίων να βρείτε τα κέντρα και την ακτίνα. β. Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των κέντρων των παραπάνω κύκλων. γ. Να βρείτε τα α ≠ 0 , ώστε αν Α, Β !είναι τα " σημεία τομής του αντίστοιχου κύκλου !!" !!! με την ευθεία y = x + 1 , να ισχύει ΟΑ ⋅ ΟΒ = 0 .

Δίνεται η εξίσωση x 2 + y2 − 2λx + (2λ − 6)y + 5 − 2λ = 0 (1) α. Να δείξετε ότι η (1) παριστάνει κύκλους για κάθε πραγματικό αριθμό λ ≠ 0 , των οποίων να βρείτε τα κέντρα και την ακτίνα. β. Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των κέντρων των παραπάνω κύκλων. γ. Να βρείτε ποιος από τους παραπάνω κύκλους εφάπτεται στον άξονα y΄y. δ. Να βρείτε ποιο σημείο του γεωμετρικού τόπου των κέντρων των κύκλων απέχει ελάχιστη απόσταση από την αρχή των αξόνων.

Δίνεται η εξίσωση x 2 + y2 + 2(λ + 1)x + (2λ − 1)y + 2λ2 + λ − 1 = 0 (1) α. Να δείξετε ότι παριστάνει κύκλους, για κάθε πραγματικό αριθμό λ, των οποίων να βρείτε τα κέντρα και την ακτίνα. β. Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των κέντρων των παραπάνω κύκλων. γ. Για λ = −1 , να βρείτε την εξίσωση του κύκλου C1 και την σχετική θέση της ευθείας ε : 3x + 4y − 5 = 0 ως προς τον κύκλο C1 .

!" " " " Δίνονται τα διανύσματα α = (x , y) , β = (1, 2) , γ = (2λ , y) , δ = (x , 4λ) , με λ ≠ 0 . !" " 2 " " α. Αν ισχύει α − β = γ ⋅ δ − 10λ (1), να δείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ(x, y) είναι κύκλος, του οποίου να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα. β. Αν ο παραπάνω κύκλος έχει εξίσωση x 2 + y2 − 2(λ + 1)x − 4(λ + 1)y + 10λ + 5 = 0 : Ι. να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των κέντρων των παραπάνω κύκλων. ΙΙ. να δείξετε ότι όλοι οι κύκλοι που ορίζονται από την (1) διέρχονται από σταθερό σημείο.

Δίνεται η εξίσωση x 2 + y2 = 2ηµθ ⋅ x + 2συνθ ⋅ y (1) , με 0 ≤ θ < 2π . α. Να δείξετε ότι η (1) παριστάνει κύκλο για κάθε θ, όταν 0 ≤ θ < 2π . β. Να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα του κύκλου. γ. Να δείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των κέντρων των κύκλων είναι ο μοναδιαίος κύκλος.

Δίνεται η εξίσωση C λ : x 2 + y2 + 2λx − 2λy − 4 = 0 (1) α. Να δείξετε ότι η (1) παριστάνει κύκλους, για κάθε πραγματικό αριθμό λ. β. Να δείξετε ότι τα κέντρα των παραπάνω κύκλων ανήκουν σε μια σταθερή ευθεία. γ. Να βρείτε εκείνον τον κύκλο που έχει κέντρο Κ(2 ,− 2) . δ. Να βρείτε την μέγιστη και την ελάχιστη απόσταση της αρχής των αξόνων από τον κύκλο του τρίτου ερωτήματος.

Δίνεται η εξίσωση x 2 + y2 − 6x + 4y + λ = 0 (1) α. Να βρείτε τις τιμές του λ για τις οποίες η (1) παριστάνει κύκλο. β. Να βρείτε το λ, ώστε ο παραπάνω κύκλος να έχει ακτίνα ίση με 1. γ. Για λ = 12 , να δείξετε ότι το σημείο Μ(4 , 2) είναι εξωτερικό σημείο του κύκλου και στην συνέχεια να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτομένων που διέρχονται από το Μ.