Ε2(Θ2)+Κ3(Α)-εξώφυλλο

1 Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα I = ∫ xe dx . 0 x

1 Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα I = ∫ x e dx . 0 2 x

e Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα Ι = ∫ ℓnx dx . 1

e Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα Ι = ∫ ℓn x dx . 1 2

e Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα Ι = ∫ x ℓnx dx . 1

e Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα Ι = ∫ (x + x) ⋅ ℓnx dx . 1 2

π Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα Ι = ∫ x συν2x dx . 0 2

π Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα Ι = ∫ x ηµ x dx . 0 2

π Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα Ι = ∫ x συν x dx . 0 2

Άσκηση ολοκληρωμάτων 45 από «Ε2(Θ2)+Κ3(Α)-εξώφυλλο». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: ∫ x συνx dx . 0 2 π/2 π/2 π/2 π/2 Ι= ∫ x συνx dx = ∫ (ηµx)′ ⋅ x dx = ⎡⎣⎢x ηµx⎤⎦⎥ − ∫ ηµx ⋅ (x )′ dx = 0 2 0 2 2 0 0 2 2 π/2 π/2 ⎛π⎞ π π2 π2 = ⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟ ⋅ ηµ − 02 ⋅ ηµ0 − ⎝2⎠ ⎟ 2 ∫ 0 ηµx ⋅ 2x dx = 4 −2⋅ ∫ 0 x ηµx dx ⇒ Ι = 4 − 2 ⋅ Ι1 (1) Είναι π/2 π/2 π/2 ∫ x ηµx dx = ∫ (−συνx)′ ⋅ x dx = ⎡⎣⎢−x συνx⎤⎦⎥ − ∫ (−συνx) ⋅ (x)′ dx = π/2 Ι1 = 0 0 0 0 π/2 ∫ π/2 0 π/2 = − ⎡⎢ x συνx ⎤⎥ + συνx dx = ⎡⎢ x συνx ⎤⎥ + ⎡⎢ηµx ⎤⎥ = ⎣ ⎦0 ⎣ ⎦ π/2 ⎣ ⎦0 0 π π π = 0 ⋅ συν0 − ⋅ συν + ηµ − ηµ0 ⇒ Ι1 = 1 . 2 2 2 β α Υπενθυμίζεται ότι ισχύει ⎡⎢ f(x)⎤⎥ = − ⎡⎢ f(x)⎤⎥ . ⎣ ⎦α ⎣ ⎦β Άρα από την (1) έχω ότι π2 π2 − 8 Ι= − 2 ⋅1 ⇔ Ι = . 4 4 - 84 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr Μαθη ματ ι κά Γ΄ Λυ κεί ο υ • Κ ΕΦΑ Λ Α Ι Ο 3 • Ολοκ ληρ ωτι κό ς Λ ογ ι σμ ός 2η ΕΝΟΤΗΤΑ. Πώς θα υπολογίσεις ένα ορισµένο ολοκλήρωµα 2

Άσκηση ολοκληρωμάτων 46 από «Ε2(Θ2)+Κ3(Α)-εξώφυλλο». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: ∫ x e dx . 1 2 x 2 2 2 2 2 Ι= ∫ x e dx = ∫ (e )′ ⋅ x dx = ⎡⎣⎢x e ⎤⎦⎥ − ∫ e ⋅ (x )′ dx = 2 ⋅ e − 1 ⋅ e − ∫ e ⋅ 2x dx = 1 2 x 1 x 2 2 x 1 1 x 2 2 2 2 1 1 x 2 2 = 4e − e − 2 ⋅ ∫ xe dx ⇒ Ι = 4e − e − 2 ⋅ Ι 1 x 2 1 (1) Είναι 2 2 2 2 2 Ι1 = ∫ xe dx = ∫ (e )′ ⋅ x dx = ⎡⎢⎣xe ⎤⎥⎦ − ∫ e ⋅ (x)′ dx = 2 ⋅ e − 1 ⋅ e − ∫ e dx = 1 x 1 x x 1 1 x 2 1 1 x 2 = 2e2 − e − ⎡⎢ e x ⎤⎥ = 2e2 − e − (e2 − e1 ) = 2e2 − e − e2 + e ⇒ Ι1 = e2 . ⎣ ⎦1 Άρα από την (1) έχω ότι Ι = 4e2 − e − 2e2 ⇔ Ι = 2e2 − e . 1

Άσκηση ολοκληρωμάτων 47 από «Ε2(Θ2)+Κ3(Α)-εξώφυλλο». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: ∫ x e dx . 0 3 x 1 1 1 1 1 Ι= ∫ x e dx = ∫ (e )′ ⋅ x dx = ⎡⎢⎣x e ⎤⎥⎦ − ∫ e ⋅ (x )′ dx = 1 ⋅ e − 0 ⋅ e − ∫ e ⋅ 3x dx = 0 3 x 0 x 3 3 x 0 0 x 3 3 1 3 0 0 x 2 1 = e −3⋅ ∫ x e dx ⇒ Ι = e − 3 ⋅ Ι 0 2 x 1 (1) Είναι 1 1 1 1 1 Ι1 = ∫ x e dx = ∫ (e )′ ⋅ x dx = ⎡⎢⎣x e ⎤⎥⎦ − ∫ e ⋅ (x )′ dx = 1 ⋅ e − 0 ⋅ e − ∫ e ⋅ 2x dx = 0 2 x 0 x 2 2 x 0 0 x 2 2 1 2 0 0 x 1 = e −2⋅ ∫ xe dx ⇒ Ι = e − 2 ⋅ Ι 0 x 1 2 (2) - 85 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr Μαθη ματ ι κά Γ΄ Λυ κεί ο υ • Κ ΕΦΑ Λ Α Ι Ο 3 • Ολοκ ληρ ωτι κό ς Λ ογ ι σμ ός 2η ΕΝΟΤΗΤΑ. Πώς θα υπολογίσεις ένα ορισµένο ολοκλήρωµα Είναι 1 1 1 1 1 Ι2 = ∫ xe dx = ∫ (e )′ ⋅ x dx = ⎡⎣⎢xe ⎤⎦⎥ − ∫ e ⋅ (x)′ dx = 1 ⋅ e − 0 ⋅ e − ∫ e dx = 0 x 0 x x 0 0 x 1 0 0 x 1 = e − ⎡⎢ e x ⎤⎥ = e − (e1 − e0 ) = e − e + 1 ⇒ Ι2 = 1 . ⎣ ⎦0 Άρα από την (2) έχω ότι Ι2 = e − 2 ⋅1 ⇔ Ι2 = e − 2 . Τελικά, από την (1) έχω ότι Ι = e − 3(e − 2) = e − 3e + 6 ⇔ Ι = 6 − 2e . 1

Άσκηση ολοκληρωμάτων 48 από «Ε2(Θ2)+Κ3(Α)-εξώφυλλο». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: ∫ x 2 dx . 0 x ⎛ 2x ⎞⎟′ 1 1 1 1 ⎡ 2x ⎤ 2x Ι= ∫ x 2 dx = ∫ 0 x 0 ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ x dx = ⎢ ⎜⎜ ℓn2 ⎟ ⎝ ⎠ ⎢ ⎣⎢ ℓn2 ⋅ x ⎥ − ⎥ ⎦⎥ 0 ℓn2 ∫ ⋅ (x)′ dx = 0 1 1 21 20 1 2 1 ⎡⎢ 2x ⎤⎥ 2 1 1 = ℓn2 ⋅1 − ℓn2 ⋅0− ℓn2 ⋅ ∫ 0 x 2 dx = ℓn2 − ⋅⎢ ⎥ ℓn2 ⎢⎣ ℓn2 ⎥⎦ 0 = − ℓn2 (ℓn2) ⋅ ⎡2x ⎤⎥ = 2 ⎢⎣ ⎦0 2 1 2 1 2ℓn2 − 1 = − 2 ⋅ (21 − 20 ) = − 2 ⇒ Ι= . ℓn2 (ℓn2) ℓn2 (ℓn2) ℓn2 2 1

Άσκηση ολοκληρωμάτων 49 από «Ε2(Θ2)+Κ3(Α)-εξώφυλλο». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: ∫ (3x + 1)e dx . 0 2x ⎛ e2x ⎞⎟′ 1 1 1 1 ⎡ e2x ⎤ e2x Ι= 0 ∫ (3x + 1)e dx = 0 ⎜ 2x ⎟ ∫ ⎢ ⎜⎜ ⎟ ⋅ (3x + 1) dx = ⎢ ⎜⎝ 2 ⎟⎠ ⎣⎢ 2 ⎥ ⋅ (3x + 1)⎥ − ⎦⎥ 0 0 2 ⋅ (3x + 1)′ dx = ∫ 1 1 e2 e0 1 1 3 = 2 ⋅ (3 ⋅1 + 1) − 2 ⋅ (3 ⋅ 0 + 1) − ⋅ 2 ∫ 0 2x 2 e ⋅ 3 dx = 2e − − ⋅ 2 2 ∫ e dx = 0 2x - 86 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr Μαθη ματ ι κά Γ΄ Λυ κεί ο υ • Κ ΕΦΑ Λ Α Ι Ο 3 • Ολοκ ληρ ωτι κό ς Λ ογ ι σμ ός 2η ΕΝΟΤΗΤΑ. Πώς θα υπολογίσεις ένα ορισµένο ολοκλήρωµα 1 1 3 ⎡ e2x ⎤ 1 3 ⎛ e2 e0 ⎞ 4e2 − 1 3(e2 − 1) = 2e − − ⋅ ⎢⎢ ⎥⎥ = 2e2 − − ⋅ ⎜⎜⎜ − ⎟⎟⎟ = 2 − = 2 2 ⎢⎣ 2 ⎥⎦ 0 2 2 ⎜⎝ 2 2 ⎟⎠ 2 4 2(4e2 − 1) − 3(e2 − 1) 8e2 − 2 − 3e2 + 3 5e2 + 1 = = ⇒ Ι= . 4 4 4 π

Άσκηση ολοκληρωμάτων 50 από «Ε2(Θ2)+Κ3(Α)-εξώφυλλο». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: ∫ x ηµ3x dx . 0 2 ⎛ −συν3x ⎞⎟′ 2 π π π π ⎡ συν3x 2 ⎤ −συν3x Ι= 0 ∫ 2 x ηµ3x dx = 0 ⎜⎜ ⎟ ∫ ⎢ ⎥ ⎜⎝ 3 ⎟⎠⎟ ⋅ x dx = ⎢− 3 ⋅ x ⎥ − ⎣ ⎦0 0 3 ⋅ (x 2 )′ dx = ∫ π π 1 π 1 1 0 2 = − ⋅ ⎡⎢ x 2συν3x ⎤⎥ + ⋅ 3 ⎣ ⎦0 3 ∫ 0 συν3x ⋅ 2x dx = ⋅ ⎡⎢ x 2συν3x ⎤⎥ + ⋅ 3 ⎣ ⎦π 3 ∫ x συν3x dx ⇒ 0 1 2 ⇒ Ι= ⋅ α + ⋅ Ι1 (1) 3 3 π 0 όπου α = ⎡⎢ x συν3x ⎤⎥ , Ι1 = ⎣ 2 ⎦π ∫ x συν3x dx . 0 • α = 02 ⋅ συν0 − π2 ⋅ συν3π = −π2 ⋅ συν(2π + π) = −π2 ⋅ συνπ ⇔ α = π2 . ⎛ ηµ3x ⎞⎟′ π π π π ⎡ ηµ3x ⎤ ηµ3x • Ι1 = 0 ∫ x συν3x dx = 0 ⎜⎜ ⎟ ∫⎢ ⎥ ⎜⎝ 3 ⎟⎠⎟ ⋅ x dx = ⎢ 3 ⋅ x ⎥ − ⎣ ⎦0 0 3 ⋅ (x)′ dx = ∫ π π 1 1 1 1 ⎡ −συν3x ⎤⎥ ∫ π = ⋅ ⎡⎢ x ηµ3x ⎤⎥ − ⋅ ηµ3x dx = (π ⋅ ηµ3π − 0 ⋅ ηµ0) − ⋅ ⎢ = 3 ⎣ ⎦0 3 3 3 ⎢⎣ 3 ⎥⎦ 0 0 π 1 π π 1 1 = ⋅ ηµ(2π + π) + ⋅ ⎡⎢συν3x ⎤⎥ = ⋅ ηµπ + (συν3π − συν0) = ⋅ (−1 − 1) ⇒ 3 9 ⎣ ⎦0 3 9 9 2 ⇒ Ι1 = − . 9 - 87 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr Μαθη ματ ι κά Γ΄ Λυ κεί ο υ • Κ ΕΦΑ Λ Α Ι Ο 3 • Ολοκ ληρ ωτι κό ς Λ ογ ι σμ ός 2η ΕΝΟΤΗΤΑ. Πώς θα υπολογίσεις ένα ορισµένο ολοκλήρωµα Τελικά, από την (1) έχω ότι 1 2 2 −2 π2 4 9π2 − 4 Ι = ⋅π + ⋅ = − ⇔ Ι= . 3 3 9 3 27 27 π/2

Άσκηση ολοκληρωμάτων 51 από «Ε2(Θ2)+Κ3(Α)-εξώφυλλο». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: ∫ (x + 1) ⋅ συν2x dx . 0 3 ⎛ ηµ2x ⎞⎟′ π/2 π/2 Ι= ∫ 0 (x 3 + 1) ⋅ συν2x dx = ∫ 0 ⎜⎜ ⎟ 3 ⎜⎝ 2 ⎟⎟⎠ ⋅ (x + 1) dx = π/2 π/2 ⎡ ηµ2x ⎤ ηµ2x =⎢ ⎢ 2 ⎣ ⋅ (x 3 + 1)⎥ − ⎥ ⎦0 0 2 ∫ ⋅ (x 3 + 1)′ dx = π/2 π/2 1 π/2 1 1 3 = ⋅ ⎡⎢(x 3 + 1) ⋅ ηµ2x ⎤⎥ − ⋅ 2 ⎣ ⎦0 2 ∫ 0 ηµ2x ⋅ 3x 2 dx = ⋅ α − ⋅ 2 2 ∫ x ηµ2x dx ⇒ 0 2 1 3 ⇒ Ι= ⋅ α − ⋅ Ι1 (1) 2 2 π/2 π/2 όπου α = ⎡⎢(x + 1) ⋅ ηµ2x ⎤⎥ ⎣ 3 ⎦0 , Ι1 = ∫ x ηµ2x dx . 0 2 ⎡ ⎛ ⎞3 ⎤ ⎛ ⎢ ⎜ π ⎟⎟ ⎥ π⎞ ⎛ π3 ⎞ • α = ⎢ ⎜⎜ ⎟ + 1 ⎥ ⋅ ηµ ⎜⎜⎜ 2 ⋅ ⎟⎟⎟ − (03 + 1) ⋅ ηµ0 = ⎜⎜⎜ + 1⎟⎟⎟ ⋅ ηµπ ⇔ α = 0 . ⎢ ⎝ 2 ⎟⎠ ⎥ ⎜⎝ 2 ⎟⎠ ⎜⎝ 8 ⎟⎠ ⎣ ⎦ π/2 ⎛ ⎞ ′ π/2 ⎡ ⎤ π/2 π/2 −συν2x ⎟⎟ ⋅ x 2 dx = ⎢− συν2x −συν2x • Ι1 = 0 ∫ x 2ηµ2x dx = 0 ⎜⎜ ⎜⎝ 2 ⎟⎠ ∫ ⎟ ⎢ ⎣ 2 ⋅ x 2⎥ ⎥ ⎦0 − 0 2 ⋅ (x 2 )′ dx = ∫ π/2 π/2 1 π/2 1 1 0 = − ⋅ ⎡⎢ x 2συν2x ⎤⎥ + ⋅ 2 ⎣ ⎦0 2 ∫ 0 συν2x ⋅ 2x dx = ⋅ ⎡⎢ x 2συν2x ⎤⎥ + 2 ⎣ ⎦ π/2 ∫ x συν2x dx ⇒ 0 1 ⇒ Ι1 = ⋅ β + Ι2 (2) 2 - 88 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr Μαθη ματ ι κά Γ΄ Λυ κεί ο υ • Κ ΕΦΑ Λ Α Ι Ο 3 • Ολοκ ληρ ωτι κό ς Λ ογ ι σμ ός 2η ΕΝΟΤΗΤΑ. Πώς θα υπολογίσεις ένα ορισµένο ολοκλήρωµα π/2 0 όπου β = ⎡⎢ x συν2x ⎤⎥ ⎣ ⎦ π/2 2 , Ι2 = ∫ x συν2x dx . 0 2 ⎛ π ⎞⎟ ⎛ π ⎞⎟⎟ π2 π2 2 ⎜ ⎟ ⎜ • β = 0 ⋅ συν0 − ⎜⎜ ⎟ ⋅ συν ⎜⎜ 2 ⋅ ⎟ = − ⋅ συνπ ⇔ β = . ⎝ 2 ⎟⎠ ⎝⎜ 2 ⎟⎠ 4 4 ⎛ ηµ2x ⎞⎟′ π/2 π/2 π/2 π/2 ⎡ ηµ2x ⎤ ηµ2x • Ι2 = 0 ∫ x συν2x dx = 0 ⎜⎜ ⎟ ∫ ⎢ ⎥ ⎜⎝ 2 ⎟⎟⎠ ⋅ x dx = ⎢ 2 ⋅ x ⎥ − ⎣ ⎦ 0 0 2 ⋅ (x)′ dx = ∫ π/2 π/2 1 1 1 ⎛π 2π ⎞ 1 ⎡ −συν2x ⎤ − 0 ⋅ ηµ0⎟⎟⎟ − ⋅ ⎢ ∫ π/2 = ⋅ ⎡⎢ x ηµ2x ⎤⎥ − ⋅ ηµ2x dx = ⋅ ⎜⎜⎜ ⋅ ηµ ⎥ = 2 ⎣ ⎦0 2 2 ⎝2 2 ⎟⎠ 2 ⎢ 2 ⎥ ⎣ ⎦0 0 1 π 1 π/2 1 ⎛⎜ 2π ⎞⎟ 1 2 = ⋅ ⋅ ηµπ + ⋅ ⎡⎢συν2x ⎤⎥ = ⋅ ⎜⎜συν − συν0⎟⎟⎟ = (συνπ − 1) = − ⇒ 2 2 4 ⎣ ⎦ 0 4 ⎜⎝ 2 ⎟⎠ 4 4 1 ⇒ Ι2 = − . 2 Άρα από την (2) έχω ότι 1 π2 1 π2 − 4 Ι1 = ⋅ − ⇔ Ι1 = . 2 4 2 8 Τελικά, από την (1) έχω ότι 1 3 π2 − 4 12 − 3π2 Ι= ⋅0− ⋅ ⇔ Ι= . 2 2 8 16 1

Άσκηση ολοκληρωμάτων 52 από «Ε2(Θ2)+Κ3(Α)-εξώφυλλο». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: ∫ xe dx . −1 x 1 1 1 1 1 Ι= ∫ xe dx = ∫ (e )′ ⋅ x dx = ⎡⎢⎣xe ⎤⎥⎦ − ∫ e ⋅ (x)′ dx = 1 ⋅ e − (−1) ⋅ e − ∫ e dx = −1 x −1 x x −1 −1 x 1 −1 −1 x 1 2 = e + e−1 − ⎡⎢ e x ⎤⎥ = e + e−1 − (e1 − e−1 ) = e + e−1 − e + e−1 = 2e−1 ⇒ Ι = . ⎣ ⎦ −1 e - 89 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr Μαθη ματ ι κά Γ΄ Λυ κεί ο υ • Κ ΕΦΑ Λ Α Ι Ο 3 • Ολοκ ληρ ωτι κό ς Λ ογ ι σμ ός 2η ΕΝΟΤΗΤΑ. Πώς θα υπολογίσεις ένα ορισµένο ολοκλήρωµα 1

Άσκηση ολοκληρωμάτων 53 από «Ε2(Θ2)+Κ3(Α)-εξώφυλλο». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: ∫ x e dx . 0 2 3x ⎛ e3x ⎞⎟′ 2 1 1 1 1 ⎡ 3x ⎤ e3x ⎜⎜ ⎟ ⋅ x dx = ⎢ e ⋅ x 2 ⎥ − Ι= 0 ∫ x e dx =2 3x 0 ⎜⎜ 3 ⎟⎟ ⎝ ⎠ ⎢ ∫ ⎢⎣ 3 ⎥ ⎥⎦ 0 0 3 ⋅ (x 2 )′ dx = ∫ 1 1 e3 2 e 0 2 1 e3 2 e3 2 = 3 ⋅1 − 3 ⋅0 − ⋅ 3 ∫0 3x e ⋅ 2x dx = 3 − ⋅ 3 ∫ 0 xe3x dx ⇒ Ι = 3 − ⋅ Ι1 3 (1) Είναι ⎛ e3x ⎞⎟′ 1 1 1 1 1 ⎡ 3x ⎤ e3x e3 e0 ⎜⎜ ⎟ ⋅ x dx = ⎢ e ⋅ x ⎥ − 1 Ι1 = ∫ 0 xe dx = 0 3x ⎜⎜ 3 ⎟⎟ ⎝ ⎠ ⎢ ∫ ⎢⎣ 3 ⎥ ⎥⎦ 0 0 3 ⋅ (x )′ dx = 3 ⋅1 − 3 ⋅0− ⋅ 3 0 ∫ e3x dx = ∫ 1 e3 1 ⎡ e3x ⎤ e3 1 1 e3 1 e3 e3 1 3e3 − e3 + 1 = − ⋅ ⎢⎢ ⎥⎥ = − ⋅ ⎡⎢ e3x ⎤⎥ = − (e3 − e0 ) = − + = ⇒ 3 3 ⎣⎢ 3 ⎦⎥ 0 3 9 ⎣ ⎦0 3 9 3 9 9 9 2e3 + 1 ⇒ Ι1 = . 9 Άρα από την (1) έχω e3 2 2e3 + 1 9e3 − 2(2e3 + 1) 9e3 − 4e3 − 2 5e3 − 2 Ι= − ⋅ = = ⇔ Ι= . 3 3 9 27 27 27 1

Άσκηση ολοκληρωμάτων 54 από «Ε2(Θ2)+Κ3(Α)-εξώφυλλο». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: ∫ xe dx . −1 −x 1 1 1 1 1 1 Ι= ∫ xe dx = ∫ (−e )′ ⋅ x dx = ⎡⎣⎢−xe ⎤⎦⎥ − ∫ (−e ) ⋅ (x)′ dx = − ⎡⎣⎢xe ⎤⎦⎥ + ∫ e dx = −1 −x −1 −x −x −1 −1 −x −x −1 −1 −x −1 1 1 = ⎡⎢ xe−x ⎤⎥ + ⎡⎢−e−x ⎤⎥ = −1 ⋅ e1 − 1 ⋅ e−1 − ⎡⎢ e−x ⎤⎥ = −e − e−1 − (e−1 − e1 ) = ⎣ ⎦1 ⎣ ⎦ −1 ⎣ ⎦ −1 2 = − e − e−1 − e−1 + e = −2e−1 ⇒ Ι = − . e - 90 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr Μαθη ματ ι κά Γ΄ Λυ κεί ο υ • Κ ΕΦΑ Λ Α Ι Ο 3 • Ολοκ ληρ ωτι κό ς Λ ογ ι σμ ός 2η ΕΝΟΤΗΤΑ. Πώς θα υπολογίσεις ένα ορισµένο ολοκλήρωµα 2π

Άσκηση ολοκληρωμάτων 55 από «Ε2(Θ2)+Κ3(Α)-εξώφυλλο». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: ∫ x ηµx dx . 0 2π 2π 2π ∫ x ηµx dx = ∫ (−συνx)′ ⋅ x dx = ⎡⎢⎣−x συνx⎤⎥⎦ − ∫ (−συνx) ⋅ (x)′ dx = 2π Ι= 0 0 0 0 2π ∫ 2π 0 2π = − ⎡⎢ x συνx ⎤⎥ + συνx dx = ⎡⎢ x συνx ⎤⎥ + ⎡⎢ηµx ⎤⎥ = 0 ⋅ συν0 − 2π ⋅ συν2π + ηµ2π − ηµ0 ⇒ ⎣ ⎦0 ⎣ ⎦ 2π ⎣ ⎦0 0 ⇒ Ι = −2π . π/2

Άσκηση ολοκληρωμάτων 56 από «Ε2(Θ2)+Κ3(Α)-εξώφυλλο». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: ∫ x ηµx dx . 0 2 π/2 π/2 π/2 π/2 Ι= ∫ x ηµx dx = ∫ (−συνx)′ ⋅ x dx = ⎡⎣⎢−x συνx⎤⎦⎥ − ∫ (−συνx) ⋅ (x )′ dx = 0 2 0 2 2 0 0 2 π/2 π/2 π/2 0 = − ⎡⎢ x 2συνx ⎤⎥ + ⎣ ⎦0 ∫ συνx ⋅ 2x dx = ⎡⎢⎣x συνx⎤⎥⎦ + 2 ⋅ ∫ x συνx dx = 0 2 π/2 0 2 ⎛π⎞ π = 0 ⋅ συν0 − ⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟ ⋅ συν + 2 ⋅ Ι1 ⇒ Ι = 2 ⋅ Ι1 2 (1) ⎝ 2 ⎟⎠ 2 Είναι π/2 π/2 π/2 ∫ x συνx dx = ∫ ∫ ηµx ⋅ (x)′ dx = π/2 Ι1 = (ηµx)′ ⋅ x dx = ⎡⎢ x ηµx ⎤⎥ − ⎣ ⎦0 0 0 0 π/2 π/2 π π π π ⎡ ∫ ∫ π/2 = ⋅ ηµ − 0 ⋅ ηµ0 − ηµx dx = + (−ηµx) dx = + ⎢συνx ⎤⎥ = 2 2 2 2 ⎣ ⎦0 0 0 π π π = + συν − συν0 ⇒ Ι1 = − 1 . 2 2 2 - 91 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr Μαθη ματ ι κά Γ΄ Λυ κεί ο υ • Κ ΕΦΑ Λ Α Ι Ο 3 • Ολοκ ληρ ωτι κό ς Λ ογ ι σμ ός 2η ΕΝΟΤΗΤΑ. Πώς θα υπολογίσεις ένα ορισµένο ολοκλήρωµα Άρα από την (1) έχω ότι ⎛π ⎞ Ι = 2 ⋅ ⎜⎜⎜ − 1⎟⎟⎟ ⇔ Ι = π − 2 . ⎝2 ⎠⎟ 2

Άσκηση ολοκληρωμάτων 57 από «Ε2(Θ2)+Κ3(Α)-εξώφυλλο». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: ∫ (x − 2x)e dx . 1 2 −x 2 2 Ι= ∫ (x − 2x)e dx = ∫ (−e )′ ⋅ (x − 2x) dx = 1 2 −x 1 −x 2 2 2 2 1 = ⎡⎢−e (x − 2x)⎤⎥ − ⎣ −x ⎦1 2 ∫ (−e ) ⋅ (x − 2x)′ dx = ⎡⎣⎢e (x − 2x)⎤⎦⎥ + ∫ e (2x − 2) dx = 1 −x 2 −x 2 2 1 −x 2 2 = e−1 (12 − 2 ⋅1) − e−2 (22 − 2 ⋅ 2) + ∫ e ⋅ 2(x − 1) dx = −e + 2 ⋅ ∫ e (x − 1) dx ⇒ 1 −x −1 1 −x ⇒ Ι = 2 ⋅ Ι1 − e−1 (1) Είναι 2 2 2 2 Ι1 = ∫ e (x − 1) dx = ∫ 1 −x 1 (−e )′ ⋅ (x − 1) dx = ⎡⎢−e−x (x − 1)⎤⎥ − −x ⎣ ⎦1 ∫ (−e ) ⋅ (x − 1)′ dx = 1 −x 2 1 2 = ⎡⎢ e (x − 1)⎤⎥ − ⎣ −x ⎦2 ∫1 (−e−x ) dx = e−1 ⋅ (1 − 1) − e−2 ⋅ (2 − 1) − ⎡⎢ e−x ⎤⎥ = −e−2 − (e−2 − e−1 ) = ⎣ ⎦1 = −e−2 − e−2 + e−1 ⇒ Ι1 = e−1 − 2e−2 . Άρα από την (1) έχω ότι 1 4 e −4 Ι = 2(e−1 − 2e−2 ) − e−1 = 2e−1 − 4e−2 − e−1 = e−1 − 4e−2 = − 2 ⇔ Ι= . e e e2 - 92 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr Μαθη ματ ι κά Γ΄ Λυ κεί ο υ • Κ ΕΦΑ Λ Α Ι Ο 3 • Ολοκ ληρ ωτι κό ς Λ ογ ι σμ ός 2η ΕΝΟΤΗΤΑ. Πώς θα υπολογίσεις ένα ορισµένο ολοκλήρωµα 1 ∫ xe x + ℓnx

Άσκηση ολοκληρωμάτων 58 από «Ε2(Θ2)+Κ3(Α)-εξώφυλλο». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: 0 1 1 1 1 1 ∫ xe ∫ xe ⋅ e dx = ∫ xe ⋅ x dx = ∫ x e dx = ∫ (e )′ ⋅ x dx = x + ℓnx x ℓnx x 2 x x 2 Ι= dx = 0 0 0 0 0 1 1 1 1 = ⎡⎢ x e ⎤⎥ − ⎣ 2 x ⎦0 ∫ e ⋅ (x )′ dx = 1 ⋅ e − 0 ⋅ e − ∫ e ⋅ 2x dx = e − 2 ⋅ ∫ xe dx ⇒ 0 x 2 2 1 2 0 0 x 0 x ⇒ Ι = e − 2 ⋅ Ι1 (1) Είναι 1 1 1 1 1 Ι1 = ∫ xe dx = ∫ (e )′ ⋅ x dx = ⎡⎣⎢xe ⎤⎦⎥ − ∫ e ⋅ (x)′ dx = 1 ⋅ e − 0 ⋅ e − ∫ e dx = 0 x 0 x x 0 0 x 1 0 0 x 1 = e − ⎡⎢ e x ⎤⎥ = e − (e1 − e0 ) = e − e + 1 ⇒ Ι1 = 1 . ⎣ ⎦0 Άρα από την (1) έχω ότι Ι = e −2 . e

Άσκηση ολοκληρωμάτων 59 από «Ε2(Θ2)+Κ3(Α)-εξώφυλλο». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: ∫ (2x + 1) ⋅ ℓnx dx . 1 e e e ∫ (2x + 1) ⋅ ℓnx dx = ∫ (x + x)′ ⋅ ℓnx dx = ⎡⎣⎢(x + x) ⋅ ℓnx⎤⎦⎥ − ∫ (x + x) ⋅ (ℓnx)′ dx = e 2 Ι= 2 2 1 1 1 1 e e 1 2 = (e + e) ⋅ ℓne − (1 + 1) ⋅ ℓn1 − 2 ∫ (x + x) ⋅ x dx = e + e − ∫ (x + 1) dx = 1 2 2 1 e ⎡ x2 ⎤ ⎡ e2 ⎛ 12 ⎞⎟ ⎤ e2 3 2 ⎢ ⎥ 2 ⎢ = e + e − ⎢ + x⎥ = e + e − ⎢ ⎜ ⎟ ⎥ 2 + e − ⎜⎜ + 1⎟ ⎥ = e + e − −e+ = ⎝⎜ 2 ⎟ ⎣⎢ 2 ⎦⎥ 1 ⎣⎢ 2 ⎠ ⎦⎥ 2 2 2e2 − e2 + 3 e2 + 3 = ⇒ Ι= . 2 2 - 93 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr Μαθη ματ ι κά Γ΄ Λυ κεί ο υ • Κ ΕΦΑ Λ Α Ι Ο 3 • Ολοκ ληρ ωτι κό ς Λ ογ ι σμ ός 2η ΕΝΟΤΗΤΑ. Πώς θα υπολογίσεις ένα ορισµένο ολοκλήρωµα e