Άσκηση ολοκληρωμάτων 47

Βοηθητική μεταγραφή

Άσκηση ολοκληρωμάτων 47 από «Ε2(Θ2)+Κ3(Α)-εξώφυλλο». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: ∫ x e dx . 0 3 x 1 1 1 1 1 Ι= ∫ x e dx = ∫ (e )′ ⋅ x dx = ⎡⎢⎣x e ⎤⎥⎦ − ∫ e ⋅ (x )′ dx = 1 ⋅ e − 0 ⋅ e − ∫ e ⋅ 3x dx = 0 3 x 0 x 3 3 x 0 0 x 3 3 1 3 0 0 x 2 1 = e −3⋅ ∫ x e dx ⇒ Ι = e − 3 ⋅ Ι 0 2 x 1 (1) Είναι 1 1 1 1 1 Ι1 = ∫ x e dx = ∫ (e )′ ⋅ x dx = ⎡⎢⎣x e ⎤⎥⎦ − ∫ e ⋅ (x )′ dx = 1 ⋅ e − 0 ⋅ e − ∫ e ⋅ 2x dx = 0 2 x 0 x 2 2 x 0 0 x 2 2 1 2 0 0 x 1 = e −2⋅ ∫ xe dx ⇒ Ι = e − 2 ⋅ Ι 0 x 1 2 (2) - 85 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr Μαθη ματ ι κά Γ΄ Λυ κεί ο υ • Κ ΕΦΑ Λ Α Ι Ο 3 • Ολοκ ληρ ωτι κό ς Λ ογ ι σμ ός 2η ΕΝΟΤΗΤΑ. Πώς θα υπολογίσεις ένα ορισµένο ολοκλήρωµα Είναι 1 1 1 1 1 Ι2 = ∫ xe dx = ∫ (e )′ ⋅ x dx = ⎡⎣⎢xe ⎤⎦⎥ − ∫ e ⋅ (x)′ dx = 1 ⋅ e − 0 ⋅ e − ∫ e dx = 0 x 0 x x 0 0 x 1 0 0 x 1 = e − ⎡⎢ e x ⎤⎥ = e − (e1 − e0 ) = e − e + 1 ⇒ Ι2 = 1 . ⎣ ⎦0 Άρα από την (2) έχω ότι Ι2 = e − 2 ⋅1 ⇔ Ι2 = e − 2 . Τελικά, από την (1) έχω ότι Ι = e − 3(e − 2) = e − 3e + 6 ⇔ Ι = 6 − 2e . 1

Η αυτόματη μεταγραφή είναι βοηθητική και μπορεί να μην αποδίδει με ακρίβεια όλους τους μαθηματικούς τύπους και τα σύμβολα. Η σάρωση παραμένει η πηγή αναφοράς.

Λυμένο παράδειγμα