90 λεπτά · 100 μονάδες

Διαγώνισμα Άλγεβρας Β΄ Λυκείου με αναλυτικές λύσεις

Πρωτότυπο επαναληπτικό διαγώνισμα Mathimatikos, διάρκειας 90 λεπτών, με τέσσερα θέματα των 25 μονάδων. Καλύπτει γραμμικά συστήματα, πολυώνυμα, τριγωνομετρία και εκθετικές–λογαριθμικές εξισώσεις. Λύσε πρώτα όλα τα ερωτήματα σε χαρτί και άνοιξε μετά τις λύσεις. Δεν είναι επίσημο σχολικό ή πανελλαδικό θέμα.

ΣυστήματαΠολυώνυμαΤριγωνομετρίαΕκθετικές και λογαριθμικές

Μέτριες

Μέτριες · 2 ασκήσεις

Λύσε πρώτα — άνοιξε μετά

Άσκηση 1

Θέμα Α — Συστήματα (25 μονάδες)

Α1 (10 μ.): Λύσε το

x + y = 5

2 x - y = 1

. Α2 (15 μ.): Για το

x + y = 2

2 x + 2 y = a

, βρες το πλήθος λύσεων για κάθε πραγματικό

a

και δώσε τις λύσεις όταν υπάρχουν.

Αναλυτική λύση

1Α1: Προσθέτουμε τις εξισώσεις: $3 x = 6$ , άρα $x = 2$ και $y = 3$ .
2Α2: Η πρώτη επί $2$ δίνει $2 x + 2 y = 4$ . Για $a \neq 4$ το σύστημα είναι αδύνατο.
3Για $a = 4$ έχει άπειρες λύσεις $(t, 2 - t)$ , $t \in R$ .

Τελική απάντηση

Α1:

(2, 3)

. Α2: άπειρες λύσεις για

a = 4

, καμία για

a \neq 4

Έλεγχος

Α1:

2 + 3 = 5

4 - 3 = 1

. Α2: οι αριστερές πλευρές είναι πάντα ανάλογες.

Άσκηση 2

Θέμα Β — Πολυώνυμα (25 μονάδες)

Έστω

P (x) = x^{3} - 2 x^{2} - 5 x + 6

. Β1 (5 μ.): Έλεγξε ότι το

1

είναι ρίζα. Β2 (10 μ.): Παραγοντοποίησε πλήρως το

P

. Β3 (10 μ.): Λύσε την

P (x) \leq 0

Αναλυτική λύση

1Β1: $P (1) = 1 - 2 - 5 + 6 = 0$ .
2Β2: Διαιρούμε με $x - 1$ : $P (x) = (x - 1) (x^{2} - x - 6) = (x - 1) (x - 3) (x + 2)$ .
3Β3: Στα διαστήματα που ορίζουν οι $- 2, 1, 3$ το πρόσημο είναι αντίστοιχα $-, +, -, +$ .

Τελική απάντηση

Β2:

(x - 1) (x - 3) (x + 2)

. Β3:

x \in (- \infty, - 2] \cup [1, 3]

Έλεγχος

Το ανάπτυγμα δίνει το αρχικό πολυώνυμο. Στο

0

P (0) = 6 > 0

, ενώ στο

2

P (2) = - 4 < 0

Απαιτητικές

Απαιτητικές · 2 ασκήσεις

Λύσε πρώτα — άνοιξε μετά

Άσκηση 3

Θέμα Γ — Τριγωνομετρία (25 μονάδες)

Γ1 (10 μ.): Λύσε τη

2 \sin x = 1

στο

[0, 2 π)

. Γ2 (15 μ.): Λύσε τη

\cos (2 x) = \cos x

στο ίδιο διάστημα.

Αναλυτική λύση

1Γ1: $\sin x = \frac{1}{2}$ , άρα $x = \frac{π}{6}, \frac{5 π}{6}$ .
2Γ2: Θέτουμε $\cos (2 x) = 2 \cos^{2} x - 1$ . Άρα $2 \cos^{2} x - \cos x - 1 = 0$ .
3Παραγοντοποιούμε $(2 \cos x + 1) (\cos x - 1) = 0$ .
4 $\cos x = 1$ δίνει $x = 0$ , ενώ $\cos x = - \frac{1}{2}$ δίνει $x = \frac{2 π}{3}, \frac{4 π}{3}$ .

Τελική απάντηση

Γ1:

{\frac{π}{6}, \frac{5 π}{6}}

. Γ2:

{0, \frac{2 π}{3}, \frac{4 π}{3}}

Έλεγχος

Το

2 π

αποκλείεται από το διάστημα. Οι λύσεις επαληθεύονται στην αρχική εξίσωση διπλάσιας γωνίας.

Άσκηση 4

Θέμα Δ — Εκθετικές και λογάριθμοι (25 μονάδες)

Δ1 (10 μ.): Λύσε τη

4^{x} - 5 \cdot 2^{x} + 4 = 0

. Δ2 (15 μ.): Λύσε τη

\ln (x - 1) + \ln (x - 2) = \ln 2

Αναλυτική λύση

1Δ1: Θέτουμε $t = 2^{x} > 0$ . Έχουμε $t^{2} - 5 t + 4 = 0$ , άρα $t = 1$ ή $t = 4$ .
2Επομένως $x = 0$ ή $x = 2$ .
3Δ2: Οι περιορισμοί δίνουν $x > 2$ . Η εξίσωση γίνεται $(x - 1) (x - 2) = 2$ .
4Άρα $x^{2} - 3 x = 0$ , με υποψήφιες τιμές $0, 3$ . Επιτρέπεται μόνο το $3$ .

Τελική απάντηση

Δ1:

x \in {0, 2}

. Δ2:

x = 3

Έλεγχος

Δ1:

1 - 5 + 4 = 0

και

16 - 20 + 4 = 0

. Δ2:

\ln 2 + \ln 1 = \ln 2

Θεωρία που βοηθά

Σχετικοί οδηγοί

Εξάσκηση Β΄ ΛυκείουΜελέτησε πρώτα τα κεφάλαια και τις διαθέσιμες συλλογές.

Συνέχισε την εξάσκηση

Επόμενο βήμα

Έλεγξε τη δική σου λύσηΣτείλε εκφώνηση και προσπάθεια για AI ανατροφοδότηση, σύμφωνα με τα όρια πρόσβασης.Δημιούργησε νέες ασκήσειςΔες τα δημόσια δείγματα και τις διαθέσιμες λειτουργίες Teacher Pro.

Συχνές ερωτήσεις

Είναι επίσημα θέματα εξετάσεων;

Το διαγώνισμα είναι πρωτότυπο υλικό Mathimatikos, με τέσσερα θέματα και προτεινόμενη διάρκεια 90 λεπτών. Δεν προέρχεται από επίσημη εξέταση.

Τι εξασκώ σε αυτή τη σελίδα;

Η σελίδα καλύπτει Συστήματα, Πολυώνυμα, Τριγωνομετρία, Εκθετικές και λογαριθμικές. Κάθε παράδειγμα περιλαμβάνει εκφώνηση, βήματα, τελική απάντηση και έλεγχο.

Χρειάζεται συνδρομή για αυτά τα παραδείγματα;

Οι εκφωνήσεις και οι γραπτές λύσεις αυτής της σελίδας διαβάζονται δωρεάν. Οι λειτουργίες AI και τα πλήρη προστατευμένα αρχεία έχουν ξεχωριστά όρια πρόσβασης, που παρουσιάζονται στις αντίστοιχες σελίδες.

Θέλεις άλλη ενότητα;

Δες όλες τις διαθέσιμες λυμένες ασκήσεις ή δημιούργησε το δικό σου φύλλο εργασίας.

Πλήρης βιβλιοθήκη ασκήσεων Ασκήσεις εξισώσεων με λύσεις Ασκήσεις παραγώγων με λύσεις Ασκήσεις ολοκληρωμάτων με λύσεις Μαθηματικά Γ΄ Γυμνασίου Μαθηματικά Α΄ Λυκείου Μαθηματικά Β΄ Λυκείου Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου Όρια με λύσεις Πολυώνυμα με λύσεις Διανύσματα με λύσεις Τριγωνομετρία με λύσεις Συστήματα με λύσεις Προετοιμασία Τράπεζας Θεμάτων Α΄ Λυκείου Ασκήσεις ΑΟΘ ανά κεφάλαιο