Ολοκληρώματα · 12 λυμένες ασκήσεις

Ασκήσεις ολοκληρωμάτων με αναλυτικές λύσεις

Ξεκίνα με βασικές αρχικές συναρτήσεις και προχώρησε σε αντικατάσταση, ορισμένα ολοκληρώματα, ολοκλήρωση κατά παράγοντες και υπολογισμό εμβαδού.

Αρχικές συναρτήσειςΑόριστα ολοκληρώματαΑντικατάστασηΟρισμένα ολοκληρώματαΚατά παράγοντεςΕμβαδά

Εύκολες

Εύκολες · 4 ασκήσεις

Λύσε πρώτα — άνοιξε μετά

Άσκηση 1

Βασικό πολυωνυμικό ολοκλήρωμα

Να υπολογιστεί το

\int (3 x^{2} - 4) d x

Αναλυτική λύση

1Ολοκληρώνουμε κάθε όρο χωριστά.
2 $\int 3 x^{2} d x = x^{3}$ και $\int (- 4) d x = - 4 x$ .
3Προσθέτουμε τη σταθερά ολοκλήρωσης.

Τελική απάντηση

x^{3} - 4 x + C

Έλεγχος

Η παράγωγος του

x^{3} - 4 x + C

είναι

3 x^{2} - 4

Άσκηση 2

Άθροισμα δυνάμεων

Να υπολογιστεί το

\int (2 x + 1) d x

Αναλυτική λύση

1 $\int 2 x d x = x^{2}$ .
2 $\int 1 d x = x$ .
3Προσθέτουμε τη σταθερά $C$ .

Τελική απάντηση

x^{2} + x + C

Έλεγχος

(x^{2} + x + C)^{'} = 2 x + 1

Άσκηση 3

Ολοκλήρωμα της συνάρτησης 1/x

Να υπολογιστεί το

\int \frac{1}{x} d x

σε διάστημα που δεν περιέχει το

0

Αναλυτική λύση

1Χρησιμοποιούμε τον βασικό τύπο $\int \frac{1}{x} d x = \ln ∣ x ∣ + C$ .
2Η απόλυτη τιμή επιτρέπει τον ίδιο τύπο στα διαστήματα $(- \infty, 0)$ και $(0, + \infty)$ .

Τελική απάντηση

\ln ∣ x ∣ + C

Έλεγχος

Για

x \neq 0

(\ln ∣ x ∣)^{'} = \frac{1}{x}

Άσκηση 4

Αρχική συνάρτηση με αρχική συνθήκη

Να βρεθεί η

F

αν

F^{'} (x) = \cos x

και

F (0) = 2

Αναλυτική λύση

1Μια γενική αρχική της $\cos x$ είναι $F (x) = \sin x + C$ .
2Από $F (0) = 2$ παίρνουμε $\sin 0 + C = 2$ .
3Άρα $C = 2$ .

Τελική απάντηση

F (x) = \sin x + 2

Έλεγχος

F^{'} (x) = \cos x

και

F (0) = 2

Μέτριες

Μέτριες · 4 ασκήσεις

Λύσε πρώτα — άνοιξε μετά

Άσκηση 5

Αντικατάσταση σε δύναμη

Να υπολογιστεί το

\int (2 x - 1)^{3} d x

Αναλυτική λύση

1Θέτουμε $u = 2 x - 1$ , οπότε $d u = 2 d x$ και $d x = \frac{1}{2} d u$ .
2Το ολοκλήρωμα γίνεται $\frac{1}{2} \int u^{3} d u$ .
3Άρα ισούται με $\frac{u^{4}}{8} + C$ .

Τελική απάντηση

\frac{(2 x - 1)^{4}}{8} + C

Έλεγχος

Η παράγωγος του αποτελέσματος είναι

(2 x - 1)^{3}

Άσκηση 6

Αντικατάσταση σε εκθετική συνάρτηση

Να υπολογιστεί το

\int x e^{x^{2}} d x

Αναλυτική λύση

1Θέτουμε $u = x^{2}$ , άρα $d u = 2 x d x$ .
2Έτσι $x d x = \frac{1}{2} d u$ και το ολοκλήρωμα γίνεται $\frac{1}{2} \int e^{u} d u$ .
3Επιστρέφουμε στη μεταβλητή $x$ .

Τελική απάντηση

\frac{1}{2} e^{x^{2}} + C

Έλεγχος

{(\frac{1}{2} e^{x^{2}})}^{'} = x e^{x^{2}}

Άσκηση 7

Ορισμένο ολοκλήρωμα πολυωνύμου

Να υπολογιστεί το

\int_{0}^{2} (3 x^{2} + 1) d x

Αναλυτική λύση

1Μια αρχική είναι $F (x) = x^{3} + x$ .
2Με το θεμελιώδες θεώρημα: $F (2) - F (0)$ .
3Υπολογίζουμε $(8 + 2) - 0 = 10$ .

Τελική απάντηση

10

Έλεγχος

Η συνάρτηση είναι θετική στο

[0, 2]

, άρα το θετικό αποτέλεσμα είναι συμβατό με το εμβαδόν.

Άσκηση 8

Ορισμένο λογαριθμικό ολοκλήρωμα

Να υπολογιστεί το

\int_{1}^{e} \frac{1}{x} d x

Αναλυτική λύση

1Στο $[1, e]$ ισχύει $x > 0$ , οπότε μια αρχική είναι $\ln x$ .
2Υπολογίζουμε $[\ln x]_{1}^{e} = \ln e - \ln 1$ .
3Επειδή $\ln e = 1$ και $\ln 1 = 0$ , παίρνουμε $1$ .

Τελική απάντηση

1

Έλεγχος

Το ολοκλήρωμα είναι θετικό και μικρότερο από το μήκος του διαστήματος

e - 1

, όπως αναμένεται επειδή

\frac{1}{x} \leq 1

Απαιτητικές

Απαιτητικές · 4 ασκήσεις

Λύσε πρώτα — άνοιξε μετά

Άσκηση 9

Ολοκλήρωση κατά παράγοντες

Να υπολογιστεί το

\int x e^{x} d x

Αναλυτική λύση

1Θέτουμε $u = x$ και $d v = e^{x} d x$ , άρα $d u = d x$ και $v = e^{x}$ .
2Με $\int u d v = u v - \int v d u$ παίρνουμε $x e^{x} - \int e^{x} d x$ .
3Ολοκληρώνουμε τον τελευταίο όρο.

Τελική απάντηση

Μια παράγουσα είναι

x e^{x} - e^{x} + C

, δηλαδή

e^{x} (x - 1) + C

Έλεγχος

Η παράγωγος του

x e^{x} - e^{x}

είναι

e^{x} + x e^{x} - e^{x}

, που απλοποιείται σε

x e^{x}

Άσκηση 10

Συνολικό εμβαδόν σε δύο διαστήματα

Να βρεθεί το συνολικό εμβαδόν ανάμεσα στις καμπύλες

y = x

και

y = x^{3}

για

- 1 \leq x \leq 1

Αναλυτική λύση

1Οι καμπύλες τέμνονται στα $x = - 1$ , $x = 0$ και $x = 1$ .
2Στο $[0, 1]$ ισχύει $x \geq x^{3}$ . Λόγω συμμετρίας, $E = 2 \int_{0}^{1} (x - x^{3}) d x$ .
3Υπολογίζουμε $E = 2 [\frac{x^{2}}{2} - \frac{x^{4}}{4}]_{0}^{1}$ .
4Άρα $E = 2 (\frac{1}{2} - \frac{1}{4})$ .

Τελική απάντηση

E = \frac{1}{2}

τετραγωνική μονάδα.

Έλεγχος

Σε καθένα από τα δύο συμμετρικά διαστήματα το επιμέρους εμβαδόν είναι

\frac{1}{4}

Άσκηση 11

Ολοκλήρωμα απόλυτης τιμής με παράμετρο

Να βρεθεί το

a \in [0, 1]

ώστε

\int_{0}^{1} ∣ x - a ∣ d x = \frac{1}{4}

Αναλυτική λύση

1Χωρίζουμε το ολοκλήρωμα στο $x = a$ : $\int_{0}^{a} (a - x) d x + \int_{a}^{1} (x - a) d x$ .
2Το άθροισμα ισούται με $\frac{a^{2}}{2} + \frac{(1 - a)^{2}}{2}$ .
3Θέτουμε $\frac{a^{2} + (1 - a)^{2}}{2} = \frac{1}{4}$ .
4Με απλοποίηση παίρνουμε $(a - \frac{1}{2})^{2} = 0$ .

Τελική απάντηση

a = \frac{1}{2}

Έλεγχος

Για

a = \frac{1}{2}

, τα δύο τριγωνικά εμβαδά είναι από

\frac{1}{8}

, άρα το άθροισμά τους είναι

\frac{1}{4}

Άσκηση 12

Εμβαδόν με αλλαγή προσήμου

Να βρεθεί το εμβαδόν μεταξύ της

y = x^{2} - 4

και του άξονα

x^{'} x

από

x = - 2

έως

x = 2

Αναλυτική λύση

1Στο $[- 2, 2]$ ισχύει $x^{2} - 4 \leq 0$ .
2Για γεωμετρικό εμβαδόν παίρνουμε $E = \int_{- 2}^{2} (4 - x^{2}) d x$ .
3Η συνάρτηση είναι άρτια, άρα $E = 2 \int_{0}^{2} (4 - x^{2}) d x$ .
4Υπολογίζουμε $2 [4 x - \frac{x^{3}}{3}]_{0}^{2}$ .

Τελική απάντηση

E = \frac{32}{3}

τετραγωνικές μονάδες.

Έλεγχος

Το εμβαδόν είναι μικρότερο από το ορθογώνιο βάσης

4

και ύψους

4

, δηλαδή από

16

Θεωρία που βοηθά

Σχετικοί οδηγοί

Ολοκληρώματα και εμβαδόνΗ γεωμετρική ιδέα πίσω από το ορισμένο ολοκλήρωμα.Παράγωγοι και ρυθμός μεταβολήςΣύνδεσε την παραγώγιση με τις αρχικές συναρτήσεις.Όρια στον λογισμόΗ θεωρητική βάση του ολοκληρωτικού λογισμού.

Συνέχισε την εξάσκηση

Επόμενο βήμα

100 ερωτήσεις Μαθηματικών ΛυκείουΕξασκήσου σε αρχικές συναρτήσεις και ολοκληρώματα.Θέματα Πανελληνίων με λύσειςΜελέτησε ολοκληρώματα μέσα σε αυθεντικά θέματα.Πλήρες αρχείο 726 σελίδωνΆνοιξε το οργανωμένο αρχείο ολοκληρωτικού λογισμού.

Συχνές ερωτήσεις

Ποια είναι η διαφορά αόριστου και ορισμένου ολοκληρώματος;

Το αόριστο ολοκλήρωμα δίνει οικογένεια αρχικών συναρτήσεων και περιλαμβάνει τη σταθερά C. Το ορισμένο ολοκλήρωμα δίνει αριθμητική τιμή σε συγκεκριμένο διάστημα.

Γιατί γράφουμε τη σταθερά C;

Όλες οι συναρτήσεις που διαφέρουν κατά σταθερά έχουν την ίδια παράγωγο. Γι’ αυτό το αόριστο ολοκλήρωμα πρέπει να περιλαμβάνει όλες τις αρχικές συναρτήσεις μέσω του C.

Το ορισμένο ολοκλήρωμα είναι πάντα εμβαδόν;

Όχι. Το ορισμένο ολοκλήρωμα είναι προσημασμένο. Για γεωμετρικό εμβαδόν χωρίζουμε στα σημεία αλλαγής προσήμου και ολοκληρώνουμε την απόλυτη τιμή της συνάρτησης.

Θέλεις άλλη ενότητα;

Δες όλες τις διαθέσιμες λυμένες ασκήσεις ή δημιούργησε το δικό σου φύλλο εργασίας.

Ασκήσεις εξισώσεων με λύσεις Ασκήσεις παραγώγων με λύσεις