Εξισώσεις · 12 λυμένες ασκήσεις

Ασκήσεις εξισώσεων με αναλυτικές λύσεις

Δούλεψε από τις βασικές πράξεις μέχρι ρητές, άρρητες, εκθετικές και λογαριθμικές εξισώσεις. Κάθε άσκηση έχει πλήρη πορεία λύσης, τελικό σύνολο λύσεων και επαλήθευση.

1ος βαθμός2ος βαθμόςΡητέςΆρρητεςΣυστήματαΕκθετικές και λογαριθμικές

Εύκολες

Εύκολες · 4 ασκήσεις

Λύσε πρώτα — άνοιξε μετά

Άσκηση 1

Γραμμική εξίσωση με παρενθέσεις

Να λυθεί στο

R

η εξίσωση

3 (2 x - 1) - 5 = 2 (x + 4)

Αναλυτική λύση

1Αναπτύσσουμε τις παρενθέσεις: $6 x - 3 - 5 = 2 x + 8$ .
2Μεταφέρουμε τους όρους: $6 x - 2 x = 8 + 8$ , άρα $4 x = 16$ .
3Διαιρούμε με $4$ και παίρνουμε $x = 4$ .

Τελική απάντηση

S = {4}

Έλεγχος

Για

x = 4

, και τα δύο μέλη της αρχικής εξίσωσης ισούνται με

16

Άσκηση 2

Δευτεροβάθμια εξίσωση με παραγοντοποίηση

Να λυθεί η εξίσωση

x^{2} - 5 x + 6 = 0

Αναλυτική λύση

1Αναζητούμε δύο αριθμούς με γινόμενο $6$ και άθροισμα $- 5$ .
2Γράφουμε $(x - 2) (x - 3) = 0$ .
3Επομένως $x - 2 = 0$ ή $x - 3 = 0$ .

Τελική απάντηση

S = {2, 3}

Έλεγχος

Ισχύει

2^{2} - 5 \cdot 2 + 6 = 0

και

3^{2} - 5 \cdot 3 + 6 = 0

Άσκηση 3

Εξίσωση απόλυτης τιμής

Να λυθεί η εξίσωση

∣ 2 x - 3 ∣ = 5

Αναλυτική λύση

1Χωρίζουμε στις δύο περιπτώσεις $2 x - 3 = 5$ ή $2 x - 3 = - 5$ .
2Η πρώτη δίνει $x = 4$ και η δεύτερη $x = - 1$ .

Τελική απάντηση

S = {- 1, 4}

Έλεγχος

Ισχύει

∣ 2 \cdot 4 - 3 ∣ = 5

και

∣ 2 (- 1) - 3 ∣ = 5

Άσκηση 4

Απλή ρητή εξίσωση

Να λυθεί η εξίσωση

\frac{x + 1}{x - 2} = 2

Αναλυτική λύση

1Θέτουμε τον περιορισμό $x \neq 2$ .
2Πολλαπλασιάζουμε με $x - 2$ : $x + 1 = 2 x - 4$ .
3Άρα $x = 5$ , τιμή που επιτρέπεται από το πεδίο ορισμού.

Τελική απάντηση

S = {5}

Έλεγχος

Για

x = 5

\frac{5 + 1}{5 - 2} = 2

Μέτριες

Μέτριες · 4 ασκήσεις

Λύσε πρώτα — άνοιξε μετά

Άσκηση 5

Ρητή εξίσωση με δύο παρονομαστές

Να λυθεί η εξίσωση

\frac{1}{x - 1} + \frac{1}{x + 1} = 1

Αναλυτική λύση

1Το πεδίο ορισμού απαιτεί $x \neq - 1$ και $x \neq 1$ .
2Πολλαπλασιάζουμε με $x^{2} - 1$ : $(x + 1) + (x - 1) = x^{2} - 1$ .
3Παίρνουμε $x^{2} - 2 x - 1 = 0$ , άρα $x = 1 \pm \sqrt{2}$ .
4Και οι δύο τιμές ανήκουν στο πεδίο ορισμού.

Τελική απάντηση

S = {1 - \sqrt{2}, 1 + \sqrt{2}}

Έλεγχος

Για κάθε ρίζα ισχύει

x^{2} - 1 = 2 x

, οπότε το αριστερό μέλος γίνεται

\frac{2 x}{x^{2} - 1} = 1

Άσκηση 6

Εξίσωση με τετραγωνική ρίζα

Να λυθεί η εξίσωση

\sqrt{x + 5} = x - 1

Αναλυτική λύση

1Για να υπάρχει λύση χρειάζεται $x - 1 \geq 0$ , άρα $x \geq 1$ .
2Υψώνουμε στο τετράγωνο: $x + 5 = (x - 1)^{2}$ .
3Προκύπτει $x^{2} - 3 x - 4 = 0$ , δηλαδή $(x - 4) (x + 1) = 0$ .
4Από τις υποψήφιες τιμές $4$ και $- 1$ , μόνο η $4$ ικανοποιεί τον περιορισμό.

Τελική απάντηση

S = {4}

Έλεγχος

\sqrt{4 + 5} = 3 = 4 - 1

Άσκηση 7

Γραμμικό σύστημα δύο αγνώστων

Να λυθεί το σύστημα

{\begin{cases} 2 x + y = 7 \\ x - y = 2 \end{cases}

Αναλυτική λύση

1Προσθέτουμε κατά μέλη τις δύο εξισώσεις και παίρνουμε $3 x = 9$ .
2Άρα $x = 3$ .
3Στη δεύτερη εξίσωση: $3 - y = 2$ , οπότε $y = 1$ .

Τελική απάντηση

(x, y) = (3, 1)

Έλεγχος

2 \cdot 3 + 1 = 7

και

3 - 1 = 2

Άσκηση 8

Εκθετική εξίσωση με αντικατάσταση

Να λυθεί η εξίσωση

4^{x} - 5 \cdot 2^{x} + 4 = 0

Αναλυτική λύση

1Θέτουμε $t = 2^{x}$ με $t > 0$ . Επειδή $4^{x} = (2^{x})^{2}$ , η εξίσωση γίνεται $t^{2} - 5 t + 4 = 0$ .
2Λύνουμε $t^{2} - 5 t + 4 = 0$ , δηλαδή $(t - 1) (t - 4) = 0$ .
3Για $t = 1$ έχουμε $2^{x} = 1$ , άρα $x = 0$ . Για $t = 4$ έχουμε $2^{x} = 4$ , άρα $x = 2$ .

Τελική απάντηση

S = {0, 2}

Έλεγχος

Για

x = 0

παίρνουμε

1 - 5 + 4 = 0

, ενώ για

x = 2

παίρνουμε

16 - 20 + 4 = 0

Απαιτητικές

Απαιτητικές · 4 ασκήσεις

Λύσε πρώτα — άνοιξε μετά

Άσκηση 9

Απόλυτη τιμή δευτεροβάθμιας παράστασης

Να λυθεί η εξίσωση

∣ x^{2} - 4 x + 1 ∣ = 2 x - 1

Αναλυτική λύση

1Επειδή το αριστερό μέλος είναι μη αρνητικό, απαιτείται $x \geq \frac{1}{2}$ .
2Αν $x^{2} - 4 x + 1 \geq 0$ , λύνουμε $x^{2} - 4 x + 1 = 2 x - 1$ και παίρνουμε $x = 3 \pm \sqrt{7}$ . Επιτρέπεται μόνο $3 + \sqrt{7}$ .
3Αν $x^{2} - 4 x + 1 < 0$ , λύνουμε $- x^{2} + 4 x - 1 = 2 x - 1$ , άρα $x (2 - x) = 0$ .
4Από τις τιμές $0$ και $2$ , επιτρέπεται μόνο η $2$ .

Τελική απάντηση

S = {2, 3 + \sqrt{7}}

Έλεγχος

Για

x = 2

τα μέλη ισούνται με

3

, ενώ για

x = 3 + \sqrt{7}

ισούνται με

5 + 2 \sqrt{7}

Άσκηση 10

Εξίσωση με διαφορά δύο ριζών

Να λυθεί η εξίσωση

\sqrt{2 x + 3} - \sqrt{x - 1} = 2

Αναλυτική λύση

1Το πεδίο ορισμού είναι $x \geq 1$ .
2Με πρώτη ύψωση στο τετράγωνο βρίσκουμε $2 \sqrt{(2 x + 3) (x - 1)} = 3 x - 2$ .
3Με δεύτερη ύψωση, οι παραστάσεις $4 (2 x + 3) (x - 1)$ και $(3 x - 2)^{2}$ είναι ίσες.
4Προκύπτει $x^{2} - 16 x + 16 = 0$ , άρα $x = 8 \pm 4 \sqrt{3}$ . Και οι δύο τιμές επαληθεύουν την αρχική εξίσωση.

Τελική απάντηση

S = {8 - 4 \sqrt{3}, 8 + 4 \sqrt{3}}

Έλεγχος

Για κάθε λύση, οι δύο ρίζες διαφέρουν ακριβώς κατά

2

Άσκηση 11

Λογαριθμική εξίσωση με μεταβλητή βάση

Να λυθεί η εξίσωση

\log_{2} x + \log_{x} 2 = \frac{5}{2}

Αναλυτική λύση

1Το πεδίο ορισμού είναι $x > 0$ και $x \neq 1$ .
2Θέτουμε $t = \log_{2} x \neq 0$ . Με αλλαγή βάσης, $\log_{x} 2 = \frac{1}{t}$ .
3Η εξίσωση γίνεται $t + \frac{1}{t} = \frac{5}{2}$ , άρα $2 t^{2} - 5 t + 2 = 0$ .
4Παίρνουμε $t = \frac{1}{2}$ ή $t = 2$ , επομένως $x = \sqrt{2}$ ή $x = 4$ .

Τελική απάντηση

S = {\sqrt{2}, 4}

Έλεγχος

Για

x = \sqrt{2}

το άθροισμα είναι

\frac{1}{2} + 2

, ενώ για

x = 4

είναι

2 + \frac{1}{2}

. Και στις δύο περιπτώσεις ισούται με

\frac{5}{2}

Άσκηση 12

Λογαριθμική εξίσωση

Να βρεθεί το

x

για το οποίο το άθροισμα

\log_{2} (x - 1)

και

\log_{2} (x - 3)

ισούται με

3

Αναλυτική λύση

1Το πεδίο ορισμού είναι $x > 3$ .
2Ενώνουμε τους λογαρίθμους: $\log_{2} ((x - 1) (x - 3)) = 3$ .
3Άρα $(x - 1) (x - 3) = 8$ και $x^{2} - 4 x - 5 = 0$ .
4Οι υποψήφιες λύσεις είναι $x = 5$ και $x = - 1$ . Από το πεδίο ορισμού κρατάμε μόνο την $5$ .

Τελική απάντηση

S = {5}

Έλεγχος

Έχουμε

\log_{2} (4) = 2

και

\log_{2} (2) = 1

, οπότε το άθροισμα είναι

3

Θεωρία που βοηθά

Σχετικοί οδηγοί

Εξισώσεις πρώτου βαθμούΗ βασική μέθοδος με απλά παραδείγματα.Κλάσματα σε εξισώσειςΠώς βρίσκουμε ΕΚΠ και αποφεύγουμε λάθη.Συστήματα εξισώσεωνΑντικατάσταση και απαλοιφή βήμα-βήμα.

Συνέχισε την εξάσκηση

Επόμενο βήμα

Λύσε τη δική σου εξίσωσηΓράψε ή φωτογράφισε την άσκηση και δες τη λύση της.Δημιούργησε φύλλο εξισώσεωνΦτιάξε προσαρμοσμένες ασκήσεις για εξάσκηση.100 ερωτήσεις ΜαθηματικώνΣυνέχισε με διαδραστικό quiz Μαθηματικών Λυκείου.

Συχνές ερωτήσεις

Τι είδη εξισώσεων περιλαμβάνει η σελίδα;

Περιλαμβάνει εξισώσεις πρώτου και δεύτερου βαθμού, απόλυτης τιμής, ρητές, άρρητες, εκθετικές, λογαριθμικές και ένα γραμμικό σύστημα.

Οι λύσεις δείχνουν όλα τα βήματα;

Ναι. Κάθε άσκηση παρουσιάζει τους περιορισμούς, τα βασικά αλγεβρικά βήματα, το τελικό σύνολο λύσεων και σύντομη επαλήθευση.

Μπορώ να λύσω μια διαφορετική εξίσωση online;

Ναι. Άνοιξε τον λύτη Μαθηματικών, πληκτρολόγησε την εξίσωση ή ανέβασε φωτογραφία και ζήτησε αναλυτική λύση βήμα-βήμα.

Θέλεις άλλη ενότητα;

Δες όλες τις διαθέσιμες λυμένες ασκήσεις ή δημιούργησε το δικό σου φύλλο εργασίας.

Ασκήσεις παραγώγων με λύσεις Ασκήσεις ολοκληρωμάτων με λύσεις