Παράγωγοι · 12 λυμένες ασκήσεις

Ασκήσεις παραγώγων με αναλυτικές λύσεις

Εφάρμοσε τους βασικούς κανόνες, τον κανόνα γινομένου, πηλίκου και σύνθετης συνάρτησης και συνέχισε με ορισμό, εφαπτομένη, μονοτονία και παραγωγισιμότητα.

Βασικοί κανόνεςΓινόμενο και πηλίκοΣύνθετη συνάρτησηΟρισμόςΕφαπτομένηΜονοτονία

Εύκολες

Εύκολες · 4 ασκήσεις

Λύσε πρώτα — άνοιξε μετά

Άσκηση 1

Παράγωγος πολυωνύμου

Να βρεθεί η παράγωγος της

f (x) = 3 x^{2} - 5 x + 2

Αναλυτική λύση

1Χρησιμοποιούμε $(x^{n})^{'} = n x^{n - 1}$ και παραγωγίζουμε κάθε όρο χωριστά.
2Έχουμε $(3 x^{2})^{'} = 6 x$ , $(- 5 x)^{'} = - 5$ και $(2)^{'} = 0$ .

Τελική απάντηση

f^{'} (x) = 6 x - 5

Έλεγχος

Ο βαθμός της παραγώγου είναι κατά ένα μικρότερος από τον βαθμό του πολυωνύμου, όπως αναμένεται.

Άσκηση 2

Δύναμη και αντίστροφη δύναμη

Να παραγωγιστεί η

f (x) = x^{4} - \frac{3}{x}

, με

x \neq 0

Αναλυτική λύση

1Γράφουμε $f (x) = x^{4} - 3 x^{- 1}$ .
2Άρα $f^{'} (x) = 4 x^{3} + 3 x^{- 2}$ .

Τελική απάντηση

f^{'} (x) = 4 x^{3} + \frac{3}{x^{2}}

x \neq 0

Έλεγχος

Η παράγωγος του

- 3 x^{- 1}

είναι

+ 3 x^{- 2}

, άρα το πρόσημο είναι θετικό.

Άσκηση 3

Παράγωγος τετραγωνικής ρίζας

Να βρεθεί η παράγωγος της

f (x) = \sqrt{x}

για

x > 0

Αναλυτική λύση

1Γράφουμε $\sqrt{x} = x^{1 / 2}$ .
2Με τον κανόνα δύναμης: $f^{'} (x) = \frac{1}{2} x^{- 1 / 2}$ .

Τελική απάντηση

f^{'} (x) = \frac{1}{2 \sqrt{x}}

για

x > 0

Έλεγχος

Η παράγωγος είναι θετική, συμβατά με το ότι η

\sqrt{x}

είναι γνησίως αύξουσα.

Άσκηση 4

Τριγωνομετρικές συναρτήσεις

Να παραγωγιστεί η

f (x) = \sin x + \cos x

Αναλυτική λύση

1Χρησιμοποιούμε $(\sin x)^{'} = \cos x$ .
2Επίσης $(\cos x)^{'} = - \sin x$ .

Τελική απάντηση

f^{'} (x) = \cos x - \sin x

Έλεγχος

Η παραγώγιση έγινε όρο προς όρο, χωρίς αλλαγή του πεδίου ορισμού.

Μέτριες

Μέτριες · 4 ασκήσεις

Λύσε πρώτα — άνοιξε μετά

Άσκηση 5

Κανόνας γινομένου

Να παραγωγιστεί η

f (x) = (x^{2} + 1) (x - 3)

Αναλυτική λύση

1Θέτουμε $u = x^{2} + 1$ και $v = x - 3$ .
2Με $(u v)^{'} = u^{'} v + u v^{'}$ βρίσκουμε ότι η $f^{'} (x)$ είναι το άθροισμα $2 x (x - 3)$ και $x^{2} + 1$ .
3Αναπτύσσουμε και απλοποιούμε.

Τελική απάντηση

f^{'} (x) = 3 x^{2} - 6 x + 1

Έλεγχος

Αν αναπτύξουμε πρώτα την

f (x) = x^{3} - 3 x^{2} + x - 3

, παίρνουμε την ίδια παράγωγο.

Άσκηση 6

Κανόνας πηλίκου

Να παραγωγιστεί η

f (x) = \frac{x + 1}{x - 1}

x \neq 1

Αναλυτική λύση

1Χρησιμοποιούμε ${(\frac{u}{v})}^{'} = \frac{u^{'} v - u v^{'}}{v^{2}}$ .
2Άρα $f^{'} (x) = \frac{(x - 1) - (x + 1)}{(x - 1)^{2}}$ .
3Ο αριθμητής απλοποιείται σε $- 2$ .

Τελική απάντηση

f^{'} (x) = - \frac{2}{(x - 1)^{2}}

, για

x \neq 1

Έλεγχος

Η παράγωγος είναι αρνητική σε κάθε διάστημα του πεδίου ορισμού.

Άσκηση 7

Κανόνας σύνθετης συνάρτησης

Να παραγωγιστεί η

f (x) = (2 x - 1)^{5}

Αναλυτική λύση

1Θέτουμε $u (x) = 2 x - 1$ και γράφουμε $f (x) = u (x)^{5}$ .
2Με τον κανόνα αλυσίδας: $f^{'} (x) = 5 u (x)^{4} \cdot u^{'} (x)$ .
3Επειδή $u^{'} (x) = 2$ , πολλαπλασιάζουμε με $2$ .

Τελική απάντηση

f^{'} (x) = 10 (2 x - 1)^{4}

Έλεγχος

Ο παράγοντας

2

είναι η παράγωγος της εσωτερικής συνάρτησης και δεν πρέπει να παραλείπεται.

Άσκηση 8

Εκθετική και λογαριθμική συνάρτηση

Να παραγωγιστεί η

f (x) = e^{2 x} + \ln x

για

x > 0

Αναλυτική λύση

1Για την $e^{2 x}$ εφαρμόζουμε αλυσίδα: $(e^{2 x})^{'} = 2 e^{2 x}$ .
2Για τον λογάριθμο ισχύει $(\ln x)^{'} = \frac{1}{x}$ .

Τελική απάντηση

f^{'} (x) = 2 e^{2 x} + \frac{1}{x}

Έλεγχος

Και οι δύο όροι της παραγώγου είναι θετικοί για

x > 0

Απαιτητικές

Απαιτητικές · 4 ασκήσεις

Λύσε πρώτα — άνοιξε μετά

Άσκηση 9

Παραγωγισιμότητα στο μηδέν από τον ορισμό

Δίνεται η συνάρτηση με

f (0) = 0

και

f (x) = x^{2} \sin (1 / x)

για

x \neq 0

. Να εξεταστεί η παραγωγισιμότητα στο

0

και να βρεθεί η

f^{'} (x)

Αναλυτική λύση

1Στο $0$ , το πηλίκο διαφορών είναι $\frac{f (h) - f (0)}{h} = h \sin (1 / h)$ .
2Επειδή $∣ h \sin (1 / h) ∣ \leq ∣ h ∣$ , από το θεώρημα παρεμβολής το όριο είναι $0$ .
3Άρα η $f$ είναι παραγωγίσιμη στο $0$ και $f^{'} (0) = 0$ .
4Για $x \neq 0$ , ο κανόνας γινομένου δίνει τον όρο $2 x \sin (1 / x)$ και ο κανόνας αλυσίδας τον όρο $- \cos (1 / x)$ .

Τελική απάντηση

Για

x \neq 0

, η

f^{'} (x)

είναι

2 x \sin (1 / x) - \cos (1 / x)

. Επίσης

f^{'} (0) = 0

Έλεγχος

Το φράγμα

∣ h \sin (1 / h) ∣ \leq ∣ h ∣

επιβεβαιώνει ότι το κρίσιμο όριο στο

0

είναι πράγματι μηδέν.

Άσκηση 10

Εφαπτόμενες παράλληλες σε δοσμένη ευθεία

Να βρεθούν οι εφαπτόμενες της

f (x) = x^{3} - 2 x

που είναι παράλληλες στην ευθεία

y = 3 x + 1

Αναλυτική λύση

1Η ζητούμενη κλίση είναι $3$ . Επειδή $f^{'} (x) = 3 x^{2} - 2$ , λύνουμε $3 x^{2} - 2 = 3$ .
2Παίρνουμε $x = \pm \frac{\sqrt{15}}{3}$ .
3Αν $a = \pm \frac{\sqrt{15}}{3}$ , τότε $a^{2} = \frac{5}{3}$ και $f (a) = a (a^{2} - 2) = - \frac{a}{3}$ .
4Η εφαπτομένη στο $a$ είναι $y - f (a) = 3 (x - a)$ , δηλαδή $y = 3 x - \frac{10 a}{3}$ .

Τελική απάντηση

y = 3 x - \frac{10 \sqrt{15}}{9}

και

y = 3 x + \frac{10 \sqrt{15}}{9}

Έλεγχος

Και στα δύο σημεία επαφής ισχύει

f^{'} (a) = 3

, ίσο με την κλίση της δοσμένης ευθείας.

Άσκηση 11

Μονοτονία και τοπικά ακρότατα

Να μελετηθεί ως προς τη μονοτονία η

f (x) = x^{3} - 3 x^{2}

και να βρεθούν τα τοπικά ακρότατα.

Αναλυτική λύση

1Υπολογίζουμε $f^{'} (x) = 3 x^{2} - 6 x$ και παραγοντοποιούμε ως $3 x (x - 2)$ .
2Η $f^{'}$ είναι θετική στα $(- \infty, 0)$ και $(2, + \infty)$ και αρνητική στο $(0, 2)$ .
3Άρα η $f$ αυξάνει, μετά μειώνεται και έπειτα αυξάνει ξανά.
4Στο $x = 0$ έχει τοπικό μέγιστο $f (0) = 0$ , ενώ στο $x = 2$ τοπικό ελάχιστο $f (2) = - 4$ .

Τελική απάντηση

Αύξουσα στα

(- \infty, 0)

και

(2, + \infty)

, φθίνουσα στο

(0, 2)

· τοπικό μέγιστο

(0, 0)

και τοπικό ελάχιστο

(2, - 4)

Έλεγχος

Οι αλλαγές προσήμου της

f^{'}

είναι

+ \to -

στο

0

και

- \to +

στο

2

Άσκηση 12

Παραγωγισιμότητα τμηματικής συνάρτησης

Να βρεθούν

a, b

ώστε η

f (x) = {\begin{cases} a x + 1, & x \leq 1 \\ x^{2} + b, & x > 1 \end{cases}

να είναι παραγωγίσιμη στο

x = 1

Αναλυτική λύση

1Η συνέχεια στο $1$ απαιτεί $a + 1 = 1 + b$ , άρα $b = a$ .
2Η αριστερή παράγωγος είναι $a$ και η δεξιά παράγωγος στο $1$ είναι $2$ .
3Για παραγωγισιμότητα χρειάζεται $a = 2$ .
4Από $b = a$ προκύπτει $b = 2$ .

Τελική απάντηση

a = 2

και

b = 2

Έλεγχος

Με αυτές τις τιμές τα δύο κλαδιά έχουν στο

1

κοινή τιμή

3

και κοινή παράγωγο

2

Θεωρία που βοηθά

Σχετικοί οδηγοί

Η παράγωγος ως ρυθμός μεταβολήςΗ έννοια πίσω από τους υπολογισμούς.Όρια στον λογισμόΗ βάση για τον ορισμό της παραγώγου.Πεδίο ορισμού συναρτήσεωνΠεριορισμοί πριν από την παραγώγιση.

Συνέχισε την εξάσκηση

Επόμενο βήμα

100 ερωτήσεις Μαθηματικών ΛυκείουΕξασκήσου σε παράγωγους, όρια και συναρτήσεις.Λύσε τη δική σου άσκησηΠληκτρολόγησε ή φωτογράφισε μια άσκηση παραγώγων.Θέματα Πανελληνίων με λύσειςΔες πώς χρησιμοποιούνται οι παράγωγοι σε πραγματικά θέματα.

Συχνές ερωτήσεις

Ποιους κανόνες παραγώγισης καλύπτουν οι ασκήσεις;

Καλύπτονται ο κανόνας δύναμης, το γινόμενο, το πηλίκο, η σύνθετη συνάρτηση, καθώς και εκθετικές, λογαριθμικές και τριγωνομετρικές συναρτήσεις.

Υπάρχουν ασκήσεις με εφαπτομένη και μονοτονία;

Ναι. Οι απαιτητικές ασκήσεις περιλαμβάνουν εξίσωση εφαπτομένης, πίνακα προσήμου παραγώγου, τοπικά ακρότατα και παραγωγισιμότητα τμηματικής συνάρτησης.

Πώς ελέγχω αν ξέχασα τον κανόνα αλυσίδας;

Σημείωσε πρώτα την εξωτερική και την εσωτερική συνάρτηση. Στο τελικό αποτέλεσμα πρέπει να εμφανίζεται ως παράγοντας και η παράγωγος της εσωτερικής συνάρτησης.

Θέλεις άλλη ενότητα;

Δες όλες τις διαθέσιμες λυμένες ασκήσεις ή δημιούργησε το δικό σου φύλλο εργασίας.

Ασκήσεις εξισώσεων με λύσεις Ασκήσεις ολοκληρωμάτων με λύσεις