3 πρωτότυπα λυμένα παραδείγματα

Όρια συναρτήσεων με αναλυτικές λύσεις

Μάθε πότε επιτρέπεται η απευθείας αντικατάσταση και πότε χρειάζεται παραγοντοποίηση ή συζυγής παράσταση. Τα τρία παραδείγματα δείχνουν πώς υπολογίζεται ένα όριο ακόμη και όταν η αρχική παράσταση δεν ορίζεται στο σημείο.

ΑντικατάστασηΠαραγοντοποίησηΣυζυγής παράσταση

Εύκολες

Εύκολες · 1 άσκηση

Λύσε πρώτα — άνοιξε μετά

Άσκηση 1

Όριο πολυωνύμου

Να βρεθεί το

\lim_{x \to 2} (x^{2} + 3 x - 1)

Αναλυτική λύση

1Τα πολυώνυμα είναι συνεχή στο $2$ .
2Αντικαθιστούμε: $2^{2} + 3 \cdot 2 - 1 = 9$ .

Τελική απάντηση

Το όριο είναι

9

Έλεγχος

Οι τιμές για

x = 1,99

και

x = 2,01

πλησιάζουν το

9

Μέτριες

Μέτριες · 1 άσκηση

Λύσε πρώτα — άνοιξε μετά

Άσκηση 2

Άρση απροσδιοριστίας

Να βρεθεί το

\lim_{x \to 3} \frac{x^{2} - 9}{x - 3}

Αναλυτική λύση

1Η αντικατάσταση δίνει $\frac{0}{0}$ , άρα δεν ολοκληρώνει τη λύση.
2Για $x \neq 3$ , $\frac{(x - 3) (x + 3)}{x - 3} = x + 3$ .
3Η απλοποιημένη συνάρτηση έχει όριο $3 + 3 = 6$ .

Τελική απάντηση

Το όριο είναι

6

Έλεγχος

Η αρχική συνάρτηση δεν ορίζεται στο

3

, αλλά το όριο αφορά τις γειτονικές τιμές.

Απαιτητικές

Απαιτητικές · 1 άσκηση

Λύσε πρώτα — άνοιξε μετά

Άσκηση 3

Όριο με ρίζα

Να βρεθεί το

\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1 + x} - 1}{x}

Αναλυτική λύση

1Πολλαπλασιάζουμε αριθμητή και παρονομαστή με $\sqrt{1 + x} + 1$ .
2Για $x \neq 0$ παίρνουμε $\frac{1}{\sqrt{1 + x} + 1}$ .
3Αντικαθιστούμε $x = 0$ στην απλοποιημένη παράσταση.

Τελική απάντηση

Το όριο είναι

\frac{1}{2}

Έλεγχος

Ο νέος παρονομαστής τείνει στο

2

, που δεν είναι μηδέν.

Θεωρία που βοηθά

Σχετικοί οδηγοί

Όλη η βιβλιοθήκη ασκήσεωνΣυνέχισε με το πραγματικά διαθέσιμο αρχείο.

Συνέχισε την εξάσκηση

Επόμενο βήμα

Έλεγξε τη δική σου λύσηΣτείλε εκφώνηση και προσπάθεια για AI ανατροφοδότηση, σύμφωνα με τα όρια πρόσβασης.Δημιούργησε νέες ασκήσειςΔες τα δημόσια δείγματα και τις διαθέσιμες λειτουργίες Teacher Pro.

Συχνές ερωτήσεις

Είναι επίσημα θέματα εξετάσεων;

Τα λυμένα παραδείγματα αυτής της σελίδας είναι πρωτότυπες ασκήσεις Mathimatikos. Τυχόν επίσημο ή εισαγόμενο υλικό βρίσκεται στους σχετικούς συνδέσμους και αναφέρει την πηγή του.

Τι εξασκώ σε αυτή τη σελίδα;

Η σελίδα καλύπτει Αντικατάσταση, Παραγοντοποίηση, Συζυγής παράσταση. Κάθε παράδειγμα περιλαμβάνει εκφώνηση, βήματα, τελική απάντηση και έλεγχο.

Χρειάζεται συνδρομή για αυτά τα παραδείγματα;

Οι εκφωνήσεις και οι γραπτές λύσεις αυτής της σελίδας διαβάζονται δωρεάν. Οι λειτουργίες AI και τα πλήρη προστατευμένα αρχεία έχουν ξεχωριστά όρια πρόσβασης, που παρουσιάζονται στις αντίστοιχες σελίδες.

Θέλεις άλλη ενότητα;

Δες όλες τις διαθέσιμες λυμένες ασκήσεις ή δημιούργησε το δικό σου φύλλο εργασίας.

Πλήρης βιβλιοθήκη ασκήσεων Ασκήσεις εξισώσεων με λύσεις Ασκήσεις παραγώγων με λύσεις Ασκήσεις ολοκληρωμάτων με λύσεις Μαθηματικά Γ΄ Γυμνασίου Μαθηματικά Α΄ Λυκείου Μαθηματικά Β΄ Λυκείου Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου Πολυώνυμα με λύσεις Διανύσματα με λύσεις Τριγωνομετρία με λύσεις Συστήματα με λύσεις Προετοιμασία Τράπεζας Θεμάτων Α΄ Λυκείου Ασκήσεις ΑΟΘ ανά κεφάλαιο Διαγώνισμα Άλγεβρας Β΄ Λυκείου