Ε4-Π5-εξώφυλλο

Λυμένο παράδειγμα 110 από «Ε4-Π5-εξώφυλλο». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: +∞−∞ 2 ⋅ 2x − 3x + 2 x+1 x +∞ x x 2 −3 + 2 2 ⋅2−3 + 2 3x ℓ = ℓ im = ℓ im x = ℓ im = x→ +∞ 2x + 3 x+1 + 1 x→ +∞ 2 + 3 x ⋅ 3 + 1 x→ +∞ 2x + 3 ⋅ 3 x + 1 3x - 375 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr Μαθη ματ ι κά Γ΄ Λυ κεί ο υ • Κ ΕΦΑ Λ Α Ι Ο 1 • Ό ρ ι ο -συνέχε ι α συνά ρτησης 4η ΕΝΟΤΗΤΑ. “Υπολογιστικά” θέµατα ορίων: όριο συνάρτησης στο άπειρο x x ⎛2⎞ ⎛1⎞ 2x 1 2⋅ x −1+ 2⋅ x 2 ⋅ ⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟ − 1 + 2 ⋅ ⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟ 3 3 ⎝ 3 ⎟⎠ ⎝ 3 ⎟⎠ 2⋅0 −1+ 2⋅0 1 = ℓ im = ℓ im = =− . x→ +∞ 2 x 1 x→ +∞ x ⎛ 2 ⎞⎟ ⎛ ⎞ x 0+3+0 3 +3+ x ⎜⎜ ⎟ + 3 + ⎜⎜ 1 ⎟⎟ 3 x 3 ⎜⎝ 3 ⎟⎠⎟ ⎜⎝ 3 ⎟⎠⎟

Λυμένο παράδειγμα 111 από «Ε4-Π5-εξώφυλλο». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: +∞ 16 ⋅ 4x + 6x 4x 16 ⋅ +1 4x+2 + 6x +∞ 4x ⋅ 42 + 6x 6x 6x ℓ = ℓ im = ℓ im x = ℓ im = ℓ im = x→ +∞ 4 x + 6 x+1 x→ +∞ 4 + 6 x ⋅ 6 x→ +∞ 4 x + 6 ⋅ 6 x x→ +∞ 4x +6 6x 6x x ⎛4⎞ 16 ⋅ ⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟ + 1 ⎝ 6 ⎠⎟ 16 ⋅ 0 + 1 1 = ℓ im = = . x→ +∞ x ⎛ 4 ⎞⎟ 0+6 6 ⎜⎜ ⎟ + 6 ⎜⎝ 6 ⎟⎟⎠

Λυμένο παράδειγμα 112 από «Ε4-Π5-εξώφυλλο». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: 0 4 ⋅ 2x − 6x+2 0 4 ⋅ 2x − 6x ⋅ 62 4 ⋅ 2x − 36 ⋅ 6x ℓ = ℓ im 2x = ℓ im = ℓ im = x→−∞ 3 − 2x+1 x→−∞ (32 ) x − 2x ⋅ 2 x→−∞ 9x − 2 ⋅ 2x 4 ⋅ 2x − 36 ⋅ 6x 6x 4 − 36 ⋅ 2x 2x 4 − 36 ⋅ 3x 4 − 36 ⋅ 0 = ℓ im = ℓ im = ℓ im = = −2 . x→−∞ 9 − 2 ⋅ 2x x x→−∞ 9 x x→−∞ x ⎛ 9 ⎞⎟ 0−2 −2 ⎜⎜ ⎟ − 2 2x 2x ⎜⎝ 2 ⎟⎟⎠

Λυμένο παράδειγμα 113 από «Ε4-Π5-εξώφυλλο». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: 0 7 ⋅ 7 x + 9 ⋅ 3x 7x 7⋅ +9 7 x+1 + 3x+2 7 x ⋅ 7 + 3x ⋅ 32 0 3x 3x ℓ = ℓ im x x+1 = ℓ im x x = ℓ im = ℓ im = x→−∞ 7 − 3 x→−∞ 7 −3 ⋅3 x→−∞ 7 − 3 ⋅ 3x x x→−∞ 7x −3 3x 3x - 376 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr Μαθη ματ ι κά Γ΄ Λυ κεί ο υ • Κ ΕΦΑ Λ Α Ι Ο 1 • Ό ρ ι ο -συνέχε ι α συνά ρτησης 4η ΕΝΟΤΗΤΑ. “Υπολογιστικά” θέµατα ορίων: όριο συνάρτησης στο άπειρο x ⎛7⎞ 7 ⋅ ⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟ + 9 ⎝ 3 ⎟⎠ 7⋅0+ 9 = ℓ im = = −3 . x→−∞ x ⎛ 7 ⎞⎟ 0−3 ⎜⎜ ⎟ − 3 ⎜⎝ 3 ⎟⎠⎟

Λυμένο παράδειγμα 114 από «Ε4-Π5-εξώφυλλο». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: x2 −3x+2 Ας δούμε το ℓ = ℓ im 3 x+7 . x→ +∞ Είναι x 2 − 3x + 2 x2 β = ℓ im = ℓ im = ℓ im x = +∞ , x→ +∞ x+7 x→ +∞ x x→ +∞ οπότε ℓ = ℓ im 3β = +∞ . β→ +∞ - 377 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Λυμένο παράδειγμα 115 από «Ε4-Π5-εξώφυλλο». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: ⎡ ⎧ ⎪ ⎡ ⎛ ⎞x ⎤ ⎫ ⎪ +∞−∞ ⎛ 4x ⎞⎟⎟ ⎤⎥ ⎪ x ⎢ 4 ⎥⎪ ℓ = ℓ im (5 − 4 ) = ℓ im ⎢5 ⋅ ⎜⎜1 − x ⎟ ⎥ = ℓ im ⎨5 ⋅ ⎢1 − ⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟ ⎥ ⎪ x x ⎢ x ⎜ ⎪ ⎬ = (+∞) ⋅ (1 − 0) = +∞ . x→ +∞ x→ +∞ ⎢⎣ ⎜⎝ 5 ⎟⎠ ⎥⎦ x→ +∞ ⎪ ⎪ ⎢ ⎝ 5 ⎟⎠ ⎥ ⎪ ⎪ ⎩ ⎣ ⎦⎪⎪ ⎭ - 378 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Λυμένο παράδειγμα 116 από «Ε4-Π5-εξώφυλλο». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: Ας δούμε το ℓ = ℓ im ⎡⎢ ℓnx − ℓn(2x + 1)⎤⎥ , το οποίο εύκολα διαπιστώνεται ότι εμφανίζει x→ +∞ ⎣ ⎦ απροσδιοριστία +∞ − ∞ . 1. Δημιουργώ έναν λογάριθμο μέσα στο όριο. ⎛ x ⎞⎟ Είναι ℓ = ℓ im ⎡⎢ ℓnx − ℓn(2x + 1)⎤⎥ = ℓ im ⎜⎜⎜ℓn ⎟. x→ +∞ ⎣ ⎦ x→ +∞ ⎝ 2x + 1⎟⎟⎠ 2. Υπολογίζω το όριο του κλάσματος. x x 1 Είναι α = ℓ im = ℓ im = . x→ +∞ 2x + 1 2 x→ +∞ 2x 3. Τελική απάντηση (αφού προέκυψε α > 0 ). 1 Τελικά είναι ℓ = ℓn = ℓn1 − ℓn2 = −ℓn2 . 2

Λυμένο παράδειγμα 117 από «Ε4-Π5-εξώφυλλο». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: Ας δούμε το ℓ = ℓ im ⎡⎢ ℓn(x 3 + 1) − ℓn(x 2 + 1)⎤⎥ , το οποίο εύκολα διαπιστώνεται ότι x→ +∞ ⎣ ⎦ εμφανίζει απροσδιοριστία +∞ − ∞ . 1. Δημιουργώ έναν λογάριθμο μέσα στο όριο. ⎛ x 3 + 1⎞⎟ Είναι ℓ = ℓ im ⎡⎢ ℓn(x 3 + 1) − ℓn(x 2 + 1)⎤⎥ = ℓ im ⎜⎜⎜ℓn 2 ⎟. x→ +∞ ⎣ ⎦ x→ +∞ ⎜⎝ x + 1 ⎟⎟⎠ 2. Υπολογίζω το όριο του κλάσματος. x3 + 1 x3 Είναι α = ℓ im = ℓ im = ℓ im x = +∞ . x→ +∞ x 2 + 1 x→ +∞ x2 x→ +∞ 3. Τελική απάντηση (αφού προέκυψε α = +∞ ). Τελικά είναι ℓ = ℓ im (ℓnα) = +∞ . α→ +∞ - 380 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr Μαθη ματ ι κά Γ΄ Λυ κεί ο υ • Κ ΕΦΑ Λ Α Ι Ο 1 • Ό ρ ι ο -συνέχε ι α συνά ρτησης 4η ΕΝΟΤΗΤΑ. “Υπολογιστικά” θέµατα ορίων: όριο συνάρτησης στο άπειρο

Λυμένο παράδειγμα 118 από «Ε4-Π5-εξώφυλλο». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: Ας δούμε το ℓ = ℓ im ⎡⎢ ℓn(x + 1) − ℓn(x 2 + 1)⎤⎥ , το οποίο εύκολα διαπιστώνεται ότι εμφα- x→ +∞ ⎣ ⎦ νίζει απροσδιοριστία +∞ − ∞ . 1. Δημιουργώ έναν λογάριθμο μέσα στο όριο. ⎛ x + 1 ⎞⎟ Είναι ℓ = ℓ im ⎡⎢ ℓn(x + 1) − ℓn(x 2 + 1)⎤⎥ = ℓ im ⎜⎜⎜ℓn 2 ⎟. x→ +∞ ⎣ ⎦ x→ +∞ ⎝ x + 1⎟⎟⎠ 2. Υπολογίζω το όριο του κλάσματος. x +1 x 1 Είναι α = ℓ im = ℓ im 2 = ℓ im = 0 . 2 x→ +∞ x + 1 x→ +∞ x x→ +∞ x 3. Τελική απάντηση (αφού προέκυψε α = 0 ). Όταν x → +∞ , είναι x + 1 > 0 . Επίσης είναι x 2 + 1 > 0 , για κάθε x ∈ ! . x +1 Άρα είναι 2 > 0 , όταν x → +∞ , δηλαδή α → 0+ , οπότε τελικά είναι x +1 ℓ = ℓ im(ℓnα) = −∞ . α→ 0+ - 381 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

+∞ ex + 1 1 1 + 2x ex + 1 +∞ 2x x 0+0 ℓ = ℓ im 2x = ℓ im 2xe = ℓ im e e = ⇒ ℓ=0 . x→ +∞ e +3 x→ +∞ e +3 x→ +∞ 1 1+ 3⋅0 1 + 3 ⋅ 2x e 2x e Το όριο υπολογίζεται πολύ πολύ πιο εύκολα και ξεκούραστα με την μέθοδο που θα δεις στο κεφάλαιο «Διαφορικός Λογισμός» για την απροσδιοριστία «άπειρο διά άπει- ρο».

+∞ ex + 1 1 x +∞ x 1+ x e +1 e +1 e x e 1+ 0 ℓ = ℓ im x+1 = ℓ im x = ℓ im = ℓ im = ⇒ x→ +∞ e +3 x→ +∞ e ⋅ e + 3 x→ +∞ e ⋅ e x + 3 x→ +∞ 1 e + 3⋅0 e+3⋅ x e x e 1 ⇒ ℓ= . e Και εδώ ισχύει αυτούσιο το σχόλιο της άσκησης 275.

ℓn2x + 1 ℓ = ℓ im . x→ +∞ ℓn2 x − ℓnx + 1 Θέτω ℓnx = y . Όταν x → +∞ , τότε y → +∞ , διότι ℓ im (ℓnx) = +∞ . x→ +∞ Άρα είναι y2 + 1 y2 ℓ = ℓ im = ℓ im = ℓ im 1 ⇒ ℓ = 1 . y→ +∞ y 2 − y + 1 y→ +∞ y2 y→ +∞ - 383 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr Μαθη ματ ι κά Γ΄ Λυ κεί ο υ • Κ ΕΦΑ Λ Α Ι Ο 1 • Ό ρ ι ο -συνέχε ι α συνά ρτησης 4η ΕΝΟΤΗΤΑ. “Υπολογιστικά” θέµατα ορίων: όριο συνάρτησης στο άπειρο

Πρόσεξέ την πάρα πολύ! 1 + ℓn2x ℓ = ℓ im . x→ 0 4 − ℓn2 x ΠΡΟΣΟΧΗ ! Το όριο έχει μία «τρικλοποδιά», στην οποία και αλλού έχω αναφερθεί και είναι η εξής: για να ορίζεται ο λογάριθμος, πρέπει να είναι x > 0 . Όμως, γράφοντας x → 0 , εννοούμε ότι x → 0− και x → 0+ . Το πρώτο δεν είναι σωστό βέβαια, οπότε πρέπει να διορθώσουμε το όριο και να γράψουμε το σωστό: ότι x → 0+ . 1 + ℓn2x Είναι ℓ = ℓ im 2 . x→ 0+ 4 − ℓn x Θέτω ℓnx = y . Όταν x → 0+ , τότε y → −∞ , διότι ℓ im(ℓnx) = −∞ . x→ 0+ Άρα είναι 1 + y2 y2 ℓ = ℓ im = ℓ im = ℓ im (−1) ⇒ ℓ = −1 . y→−∞ 4 − y 2 y→−∞ − y2 y→−∞

+∞ e ⋅ e x + 2x 2x x+1 x +∞ x x e+ e +2 e ⋅e+2 ex ex ℓ = ℓ im = ℓ im x = ℓ im = ℓ im = x→ +∞ e x + 2x+3 x→ +∞ e + 2x ⋅ 23 x→ +∞ e x + 8 ⋅ 2x x→ +∞ 2x 1+8⋅ x ex e x ⎛2⎞ e + ⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟ ⎝ e ⎟⎠ e+0 = ℓ im = ⇒ ℓ=e . x→ +∞ ⎛2⎞ x 1+ 8⋅0 1 + 8 ⋅ ⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟ ⎝ e ⎠⎟ Επειδή το x έτεινε στο +∞ , διαίρεσα με την μεγαλύτερη εκθετική, ώστε να δημιουρ- γήσω εκθετικές συναρτήσεις με βάση μικρότερη του 1, των οποίων το όριο στο +∞ είναι ίσο με 0. - 384 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr Μαθη ματ ι κά Γ΄ Λυ κεί ο υ • Κ ΕΦΑ Λ Α Ι Ο 1 • Ό ρ ι ο -συνέχε ι α συνά ρτησης 4η ΕΝΟΤΗΤΑ. “Υπολογιστικά” θέµατα ορίων: όριο συνάρτησης στο άπειρο

0 e ⋅ e x + 2x ex e⋅ +1 e x+1 + 2x e x ⋅ e + 2x 0 2x 2x ℓ = ℓ im x = ℓ im = ℓ im = ℓ im = x→−∞ e + 2x+3 x→−∞ e x + 2x ⋅ 23 x→−∞ e x + 8 ⋅ 2x x→−∞ ex +8 2x 2x x ⎛ e ⎞⎟ ⎜ e ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟ + 1 ⎝ 2 ⎠⎟ e ⋅0+1 1 = ℓ im = ⇒ ℓ= . x→−∞ ⎛ e ⎞⎟ x 0+8 8 ⎜⎜ ⎟ + 8 ⎜⎝ 2 ⎟⎠⎟ Επειδή το x έτεινε στο −∞ , διαίρεσα με την μικρότερη εκθετική, ώστε να δημιουργή- σω εκθετικές συναρτήσεις με βάση μεγαλύτερη του 1, των οποίων το όριο στο −∞ είναι ίσο με 0.

2x2 −1 2 ℓ = ℓ im e x +1 . x→−∞ Είναι 2x 2 − 1 2 x2 α = ℓ im = ℓ im = 2, x→−∞ x 2 + 1 x→−∞ x2 οπότε ℓ = e2 .

x2 +1 ℓ = ℓ im e x−2 . x→−∞ Είναι x2 + 1 x2 α = ℓ im = ℓ im = ℓ im x = −∞ , x→−∞ x − 2 x→−∞ x x→−∞ άρα ℓ = ℓ im eα ⇒ ℓ = 0 . α→−∞ - 385 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr Μαθη ματ ι κά Γ΄ Λυ κεί ο υ • Κ ΕΦΑ Λ Α Ι Ο 1 • Ό ρ ι ο -συνέχε ι α συνά ρτησης 4η ΕΝΟΤΗΤΑ. “Υπολογιστικά” θέµατα ορίων: όριο συνάρτησης στο άπειρο

2−x3 2 ℓ = ℓ im e x +x . x→−∞ Είναι 2 − x3 −x 3 α = ℓ im 2 = ℓ im = ℓ im (−x) = +∞ , x→−∞ x + x x→−∞ x2 x→−∞ άρα ℓ = ℓ im eα ⇒ ℓ = +∞ . α→ +∞

ℓ = ℓ im 3 x − x+1 . x→ +∞ Είναι +∞−∞ ( x − x + 1 )( x + x + 1 ) α = ℓ im x→ +∞ ( x − x +1 ) = ℓ im x→ +∞ = ℓ im x + x +1 x − (x + 1) = x→ +∞ x + x +1 −1 +∞ x − x −1 −1 = ℓ im = ℓ im = 0. x→ +∞ x→ +∞ x + x +1 x + x +1 Άρα είναι ℓ = 30 ⇒ ℓ = 1 .

+∞−∞ ⎡ x ⎤ ℓ = ℓ im ⎡⎢ ℓnx − 2ℓn(x − 1)⎤⎥ = ℓ im ⎡⎢ ℓnx − ℓn(x − 1)2 ⎤⎥ = ℓ im ⎢ ℓn ⎥= x→ +∞ ⎣ ⎦ x→ +∞ ⎣ ⎦ x→ +∞ ⎢ (x − 1)2 ⎥ ⎣ ⎦ ⎛ x ⎞⎟ = ℓ im ⎜⎜⎜ℓn 2 ⎟⎟ . x→ +∞ ⎝ x − 2x + 1⎟⎠ Είναι x x 1 α = ℓ im = ℓ im 2 = ℓ im = 0 . 2 x→ +∞ x − 2x + 1 x→ +∞ x x→ +∞ x x Επίσης είναι 2 > 0 , όταν x → +∞ , οπότε α → 0+ , συνεπώς (x − 1) ℓ = ℓ im(ℓnα) ⇒ ℓ = −∞ . α→ 0+ - 386 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr Μαθη ματ ι κά Γ΄ Λυ κεί ο υ • Κ ΕΦΑ Λ Α Ι Ο 1 • Ό ρ ι ο -συνέχε ι α συνά ρτησης 4η ΕΝΟΤΗΤΑ. “Υπολογιστικά” θέµατα ορίων: όριο συνάρτησης στο άπειρο

+∞−∞ ⎡ (3x)2 ⎤⎥ ℓ = ℓ im ⎡⎢2ℓn3x − ℓn(x 2 + 1)⎤⎥ = ⎡ 2 2 ⎤ ⎢ ℓ im ℓn(3x) − ℓn(x + 1)⎥ = ℓ im ⎢ ℓn 2 = x→ +∞ ⎣ ⎦ x→ +∞ ⎣⎢ ⎦ x→ +∞ ⎢ x + 1 ⎥⎦⎥ ⎣ ⎛ 9x 2 ⎞⎟⎟ ⎜ = ℓ im ⎜⎜ℓn 2 ⎟. ⎝ x + 1⎟⎠ x→ +∞ ⎜ Είναι 9x 2 9 x2 α = ℓ im = ℓ im = 9, x→ +∞ x 2 + 1 x→ +∞ x2 οπότε ℓ = ℓn9 .

+∞−∞ ℓ = ℓ im ⎡⎢3ℓnx − ℓn(2x 2 − x + 1)⎤⎥ = ℓ im ⎡⎢ ℓnx 3 − ℓn(2x 2 − x + 1)⎤⎥ = x→ +∞ ⎣ ⎦ x→ +∞ ⎣ ⎦ ⎛ x3 ⎞⎟ = ℓ im ⎜⎜⎜ℓn 2 ⎟⎟ . x→ +∞ ⎜ ⎝ 2x − x + 1⎟⎠ Είναι x3 x3 x α = ℓ im = ℓ im = ℓ im = +∞ , 2 x→ +∞ 2x − x + 1 x→ +∞ 2 x→ +∞ 2 x2 άρα ℓ = ℓ im (ℓnα) ⇒ ℓ = +∞ . α→ +∞

+∞−∞ ⎛ e x ⎞⎟⎟ ℓ = ℓ im ⎡⎢ x − ℓn(2 + e x+3 )⎤⎥ = ⎡ x x+3 ⎤ ⎜ ℓ im ℓne − ℓn(2 + e )⎥ = ℓ im ⎜⎜ℓn . x→ +∞ ⎣ ⎦ x→ +∞ ⎣⎢ ⎦ x→ +∞ ⎜⎝ 2 + e x+3 ⎟⎟⎠ Είναι +∞ x e +∞ ex ex 1 α = ℓ im = ℓ im = ℓ im = ℓ im = x→ +∞ 2 + e x+3 x→ +∞ 2 + e x ⋅ e3 x→ +∞ x ⎜ ⎛ 1 3⎟ ⎞ x→ +∞ 2 ⋅ e −x + e3 e ⋅ ⎜⎜2 ⋅ x + e ⎟⎟ ⎝ e ⎠⎟ 1 = 3 = e−3 . 2⋅0+ e Επομένως, είναι ℓ = ℓne−3 ⇒ ℓ = −3 . - 387 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr Μαθη ματ ι κά Γ΄ Λυ κεί ο υ • Κ ΕΦΑ Λ Α Ι Ο 1 • Ό ρ ι ο -συνέχε ι α συνά ρτησης 4η ΕΝΟΤΗΤΑ. “Υπολογιστικά” θέµατα ορίων: όριο συνάρτησης στο άπειρο Από τις ιδιότητες των λογάριθμων, υπενθυμίζεται ότι ℓne x = x .

+∞−∞ ℓ = ℓ im ⎡⎢2ℓn(x 2 + 1) − ℓn(x 2 − 3x)⎤⎥ = ℓ im ⎡⎢ ℓn(x 2 + 1)2 − ℓn(x 2 − 3x)⎤⎥ = x→−∞ ⎣ ⎦ x→−∞ ⎣ ⎦ ⎡ (x 2 + 1)2 ⎤ ⎛ 4 2 ⎞ = ℓ im ⎢⎢ ℓn 2 ⎥ = ℓ im ⎜⎜ℓn x + 2x + 1⎟⎟⎟ . x→−∞ ⎢⎣ x − 3x ⎥⎥⎦ x→−∞ ⎜⎜⎝ x 2 − 3x ⎟⎠ Είναι x 4 + 2x 2 + 1 x4 α = ℓ im 2 = ℓ im = ℓ im x 2 = +∞ , x→−∞ x − 3x x→−∞ x 2 x→−∞ άρα ℓ = ℓ im (ℓnα) ⇒ ℓ = +∞ . α→ +∞