Εκθετική-Λογαριθμική-Παράγραφος 1-Κ4 (Α)

Για τις παρακάτω συναρτήσεις, να βρείτε την τιμή της παραμέτρου α, ώστε να έχουν πεδίο ορισμού όλο το ! . x x ⎛ 1 − 2α ⎞⎟ ⎛ α − 2 ⎞⎟ ( ). x α) f(x) = 4 − α 2 β) f(x) = ⎜⎜⎜ ⎟⎟ . γ) f(x) = ⎜⎜⎜ ⎟⎟ . ⎝ α + 2 ⎠⎟ ⎝ 1 − α ⎠⎟ Στην συνέχεια, βρείτε για κάθε μία από αυτές τις τιμές του α, για τις οποίες οι συ- ναρτήσεις είναι γνησίως αύξουσες.

x ⎛ α + 2 ⎞⎟ Δίνεται η συνάρτηση με τύπο f(x) = ⎜⎜⎜ ⎟⎟ . ⎝ 5 − α ⎟⎠ α. Να βρείτε για ποιες τιμές του α η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα και για ποιες είναι σταθερή. β. Να βρείτε το α, ώστε f(3) − 3 f(2) + f(1) = 3 . γ. Να βρείτε το x, ώστε να ισχύει f(2x) + f(x) = 2 .

x ⎛ 2α + 1⎞⎟ Δίνεται η συνάρτηση f, με τύπο f(x) = ⎜⎜⎜ ⎟⎟ . ⎝ 3 − α ⎟⎠ α. Να βρείτε τις τιμές του α, ώστε η συνάρτηση να έχει πεδίο ορισμού το ! . β. Να βρείτε τις τιμές του α, για τις οποίες ισχύει f(1) + f(2) + f(3) = 3 f(0) . γ. Αν για κάθε x > 0 ισχύει η σχέση f(x) > 1 , να υπολογίσετε τις τιμές του α.

( ) x Δίνεται η συνάρτηση f, με τύπο f(x) = 1 − α 2 , x ∈ ! . α. Να βρείτε την μονοτονία της συνάρτησης, για τις διάφορες τιμές του α. 1 β. Για α = 2 ( ) , να λύσετε την ανίσωση f 2x 3 + x 2 > f x 3 + x 2 + 7x − 6 . ( ) 2 ⎛1⎞ γ. Για α = − 3 , να λύσετε την ανίσωση f ⎜⎜⎜ x ⎟⎟⎟ < f 3−x . ⎝ 9 ⎟⎠ ( )

α. Να βρείτε τις τιμές του κ ∈ ! , για τις οποίες ορίζεται σε όλο το ! η συνάρτηση x ⎛ κ + 1 ⎞⎟ f(x) = ⎜⎜⎜ ⎟⎟ . ⎝ 2 − κ ⎟⎠ β. Για ποιες από τις τιμές του προηγούμενου ερωτήματος η συνάρτηση είναι: Ι. γνησίως αύξουσα; ΙΙ. γνησίως φθίνουσα; ( γ. Αν κ = 1 , να λύσετε την εξίσωση f 2ηµ2x + f 2συν2x = 5 . ) ( )

x ⎛ 1⎞ Δίνεται η συνάρτηση f(x) = ⎜⎜⎜1 − ⎟⎟⎟ , x ∈ ! . ⎝ e ⎟⎠ α. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα στο ! . ⎛ π⎞ 1 β. Να λύσετε την εξίσωση ηµ ⎜⎜⎜x + ⎟⎟⎟ − = f(1) − f(0) . ⎝ 4 ⎠⎟ e ⎛ π 3π ⎞⎟ γ. Να λύσετε την εξίσωση εϕx + f(0) = 0 , x ∈ ⎜⎜⎜ , ⎟⎟ . ⎝ 2 2 ⎟⎠

x ⎛ συνθ ⎞⎟ π Δίνεται η συνάρτηση f(x) = ⎜⎜⎜ ⎟⎟ , x ∈ ! , 0 < θ < . ⎝ 1 + ηµθ ⎠⎟ 2 α. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα στο ! . ⎛π θ⎞ β. Να αποδείξετε ότι f(1) = εϕ ⎜⎜⎜ − ⎟⎟⎟ . ⎝4 2 ⎠⎟ 2 γ. Να λύσετε την εξίσωση f(x) + f(−x) = . συνθ

x ⎛ 3 − 2α ⎞⎟ Δίνεται η συνάρτηση f(x) = ⎜⎜⎜ ⎟⎟ . ⎝ α − 3 ⎟⎠ Να βρεθούν οι τιμές του α, αν γνωρίζουμε ότι f(x) > 1 , για κάθε x > 0 .

x ⎛ 3 − λ ⎞⎟ Δίνεται η εκθετική συνάρτηση f(x) = ⎜⎜⎜ ⎟⎟ . ⎝ 1 + λ ⎟⎠ α. Να βρείτε τις τιμές του λ. β. Για ποιες τιμές του λ η f(x) είναι γνησίως αύξουσα; γ. Να βρείτε τις τιμές του λ, ώστε η f να είναι γνησίως φθίνουσα. 3−λ δ. Αν λ = 2 , να λύσετε την ανίσωση f x 2 + x − 1 > ( ) 1+ λ .

Δίνονται οι συναρτήσεις 1 x 1 f(x) = 2 ( ) e + e−x , g(x) = e x − e−x . 2 ( ) Να δειχθεί ότι η f είναι άρτια, η g περιττή και ότι f 2 (x) − g 2 (x) = 1 , για κάθε x ∈ ! . Επίσης, να δείξετε ότι: α) f(α + β) = f(α) ⋅ f(β) + g(α) ⋅ g(β) . β) g(α − β) = g(α) ⋅ f(β) − g(β) ⋅ f(α) .

Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f(x) = (e x − 1)(2x − 4)(x 2 + 2x) .

( ) x Δίνεται η γνησίως αύξουσα στο ! συνάρτηση f(x) = λ3 − λ − 5 . α. Να βρείτε τις δυνατές τιμές της παραμέτρου λ. ( ) β. Να λύσετε την ανίσωση f 7 ⋅ 3x+1 + 5x+3 < f 3x+4 + 5x+2 . ( ) γ. Να βρείτε την τιμή του λ, για την οποία η γραφική παράσταση της f διέρχεται από το σημείο A(1,19) . δ. Αν λ = 3 , να λύσετε την εξίσωση f(x) + f(−x) = 2 .

( ) x Δίνεται η συνάρτηση f(x) = λ2 − 4λ + 4 . α. Να βρείτε τις τιμές του λ, για τις οποίες η f είναι γνησίως αύξουσα. β. Να βρείτε το λ, ώστε η γραφική της παράσταση να διέρχεται από το σημείο Α(1, 9) . γ. Αν λ ∈ (2 , 3) , να λύσετε την ανίσωση f x 2 > f (5x − 6) . ( ) δ. Αν λ = 4 , να λύσετε την ανίσωση 2 f(x) + 3 ⋅ 9x − 5 ⋅ 6x ≤ 0 .

Για την συνάρτηση f(x) = α x , α > 0 , ισχύει ότι 4 f(3) + 11 f(2) + 5 f(1) = 2 . α. Να βρείτε τον αριθμό α. ⎛3⎞ ⎛ 1 ⎞ β. Να βάλετε σε αύξουσα σειρά τις τιμές 1 , f ⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟ , f ⎜⎜⎜− ⎟⎟⎟ , f ⎝ 5 ⎟⎠ ⎝ 3 ⎟⎠ ( 5) . ⎛ 1⎞ ⎛ 3⎞ γ. Να λύσετε την ανίσωση f ⎜⎜⎜− ⎟⎟⎟ ⋅ x 3 + ⎡⎢ f(−1) + f(0)⎤⎥ ⋅ x 2 − 14x < f ⎜⎜⎜− ⎟⎟⎟ . ⎝ 2 ⎟⎠ ⎣ ⎦ ⎝ 2 ⎟⎠

Δίνεται η συνάρτηση f(x) = (α + 2) − 5α x+1 + 20 , α > 0 , x της οποίας η γραφική παράσταση διέρχεται από το σημείο Μ(2 ,− 4) . α. Να βρείτε τον αριθμό α. β. Να λύσετε την ανίσωση f(x) ≤ 4 . γ. Να λύσετε το σύστημα ⎧⎪ 3 ⎫⎪ ⎪⎪ x y ⎡ ⎤ ⎪⎪ ⎪⎪ 2 ⋅ 2 = ⎣⎢ f(1)⎦⎥ 2 ⎪⎪ ⎨ ⎬. ⎪⎪ x 1 ⎪ ⎪⎪ 2 + 2 = 3 ⋅ ⎡⎢ f(3)⎤⎥ 2 ⎪⎪⎪ y ⎩⎪ ⎣ ⎦ ⎭⎪

4x − 3 ⋅ 2x+1 + 8 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = . 2x−2 + 4 α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της. β) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = 2 .

Δίνεται η συνάρτηση f(x) = 3 16 − 2x + 2 ⋅ 3x − 18 . α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της. 2 β. Να λύσετε την ανίσωση 2 ⋅ 8x − 11 ⋅ 4x + 13 ⋅ 2x ≥ ⎡⎢ f(3)⎤⎥ 3 . ⎣ ⎦ x+2 2−x γ. Να λύσετε την εξίσωση ⎡⎢ f(2)⎤⎥ = ⎡⎢ f(4)⎤⎥ . ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Δίνεται το πολυώνυμο Ρ(x) = 2λ ⋅ x 3 + 3x 2 − 18x + 2 ⋅ 4λ − 2λ+1 . Η διαίρεση του Ρ(x) με το x + 1 αφήνει υπόλοιπο 23. α. Να βρείτε την τιμή του λ ∈ ! . β. Να λύσετε την εξίσωση Ρ(x) = −7x + 10 . γ. Αν α είναι η μικρότερη ρίζα και β η μεγαλύτερη ρίζα της εξίσωσης του (β), να λύ- σετε το σύστημα ⎧⎪ 2 ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎨ (β − α) ⋅ 3 − (4β) ⋅ 5 = 25 ⎬ . x 3 x−y ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎩⎪ 3x ⋅ 5y − α ⋅ 5x = 24 ⋅ 5y ⎪⎭⎪

Η γραφική παράσταση της συνάρτησης 2 ηµ2x 81συν x f(x) = 81 + − 36λ 9 τέμνει τον άξονα y΄y στο σημείο με τεταγμένη 4. α. Να βρείτε την τιμή του λ ∈ ! . β. Να λύσετε την εξίσωση f(x) = 0 . γ. Να λύσετε την εξίσωση x ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ 84 ⎥ 32x+1 + 72x+1 = 10 ⋅ ⎢⎢ ⎥ . ⎛ π ⎞⎟ ⎥ ⎢ f ⎜⎜ ⎟ ⎥ ⎢ ⎜ 4 ⎟⎟ ⎥ ⎣⎢ ⎝ ⎠ ⎦⎥

Το πολυώνυμο 1 ( ) λ− Ρ(x) = x 3 − 4λ−2 + 1 x 2 + 5x + 4 2 + 4λ−1 − 10 έχει παράγοντα το πολυώνυμο x + 2 . α. Να βρείτε την τιμή του λ ∈ ! . 1 x+ x β. Να λύσετε την εξίσωση 5 ⋅ 6 − 4 2 = λ2x+1 . 2 2 γ. Να λύσετε την εξίσωση λ ηµ x + λ συν x = 4 . ⎧⎪ x y ⎫⎪ δ. Να λύσετε το σύστημα ⎪⎨ 22−x− λ y= λ ⎪⎬ . ⎪⎪ 2 + λ = 2 ⎪⎪ ⎩ ⎭