Εφαπτομένη γραφικής παράστασης συνάρτησης – Κατηγορία 32

Αν Α, Β είναι τα σημεία τομής των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων f(x) = e x , g(x) = ℓnx με τον κατακόρυφο και τον οριζόντιο άξονα, αντίστοιχα, του συστήματος συντεταγμένων, να δειχθεί ότι οι εφαπτομένες των C f , C g στα Α, Β είναι μεταξύ τους παράλληλες.

f(x) − x 2 Μια συνάρτηση f είναι συνεχής στο x 0 = 1 και ισχύει ℓ im = 7 . Να αποδείξετε x→1 x −1 ότι η εφαπτομένη της C f στο σημείο Α (1, f(1)) είναι κάθετη στην ευθεία x + 9y + 5 = 0 .

1 Δίνεται συνάρτηση f : (0 , + ∞) → ! , με f(x) = . Να αποδειχθεί ότι, το εμβαδόν του x τριγώνου που σχηματίζουν οι ημιάξονες Ox, Oy και η εφαπτομένη της C f στο x 0 = α , α > 0 , είναι ανεξάρτητο του α.

Πρόσεξέ την πάρα πολύ! Να βρεθούν οι εφαπτομένες των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων 1 2 1 f(x) = x 2 + 2 , g(x) = − x + , 8 2 που τέμνονται στον άξονα y΄y και είναι κάθετες μεταξύ τους.

Για την παραγωγίσιμη στο ! συνάρτηση f ισχύει f(2 + x) − f(2 − x) = −2x , για κάθε x ∈ ! . Να δείξετε ότι η εφαπτομένη της C f στο σημείο (2 , f(2)) είναι κάθετη στην ευ- θεία ε : y = x .

Θεωρούμε την συνάρτηση f, που είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο ! , με f ′(x) ≠ 0 , για κάθε x ∈ ! . Να δείξετε ότι η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της συνάρτη- f(x) σης g(x) = , στο σημείο που η C g τέμνει τον άξονα x΄x, σχηματίζει με αυτόν γω- f ′(x) νία 45o .

Πρόσεξέ την πάρα πολύ! Δίνεται η συνάρτηση f(x) = 2α ⋅ ℓnx , όπου x > 0 , α ∈ ! . Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της C f στο σημείο της M (1, f(1)) και να δείξετε ότι αυτή διέρχεται από σταθερό σημείο, για κάθε α ∈ ! .

Έστω συνάρτηση f, παραγωγίσιμη στο ! , για την οποία ισχύει f(ℓnx) = x ℓnx − x , x > 0 . α. Να δείξετε ότι η γραφική παράσταση της f ′ διέρχεται από την αρχή των αξόνων. β. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της C f στο σημείο με τετμημένη 0. γ. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου, το οποίο σχηματίζεται από την εφαπτο- μένη της C f στο σημείο της με τετμημένη 1, και τους άξονες x΄x, y΄y.

Θεωρούμε την συνάρτηση f, με f(x) = x 4 − 2x 2 + λ , λ ∈ ! . α. Να δείξετε ότι υπάρχουν τρία σημεία Α, Β, Γ της C f , στα οποία οι εφαπτόμενές της είναι παράλληλες στον άξονα x΄x. β. Να δείξετε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ έχει εμβαδόν ανεξάρτητο του λ.

Πρόσεξέ την πάρα πολύ! Να δείξετε ότι οι εφαπτόμενες των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων f(x) = x 3 − 2x + 2 , g(x) = x 3 − 3x + 2 , στα σημεία Κ (x 0 , f(x 0 )) , Λ (x 0 , g(x 0 )) αντίστοιχα, τέμνονται στον άξονα y΄y. Να βρείτε, αν υπάρχει, τιμή του x 0 , ώστε η γωνία των εφαπτομένων αυτών να είναι 90o .

Πρόσεξέ την πάρα πολύ! Να δειχθεί ότι η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης λ(x 2 − 1) f(x) = x στο σημείο της A (2 , f(2)) , διέρχεται από σταθερό σημείο, όταν είναι λ ≠ 0 .

Θεωρούμε την συνάρτηση f : ! → ! , με f(x) = αx 2 + βx + γ , όπου α , β , γ ∈ ! και α ≠ 0 . Να βρείτε, αν υπάρχουν, τις τιμές των α, β, γ, για τις οποίες η C f τέμνει τον άξονα x΄x στο σημείο με τετμημένη −1 και η κλίση της στο σημείο της (1,− α) ισούται με 1.

Πρόσεξέ την πάρα πολύ! Η συνάρτηση f είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο ! , με f(!) = ! και f 3 (x) + 3f(x) − 6x + 2 = 0 , για κάθε x ∈ ! . α. Να δείξετε ότι η f αντιστρέφεται και να βρείτε την αντίστροφή της. β. Να δείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των f , f −1 έχουν κοινή εφαπτομένη στο σημείο τους με τετμημένη x 0 = 1 .

x+α Δίνεται η συνάρτηση f(x) = , α ∈ ! , και Μ σημείο της C f , στο οποίο η εφαπτο- ex μένη είναι παράλληλη στον άξονα x΄x. Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο του Μ, όταν το α διατρέχει το ! .

Πρόσεξέ την πάρα πολύ! 1 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = , x ≠ 0 . Να αποδείξετε ότι: x α. από κάθε σημείο Μ(α , 0) , α ≠ 0 , του άξονα x΄x, διέρχεται μόνο μία εφαπτομένη της C f , η οποία και να βρεθεί. β. αν η εφαπτομένη της C f , σε ένα σημείο Κ (ξ , f(ξ)) , τέμνει τους άξονες x΄x και y΄y στα σημεία Α και Β αντίστοιχα, τότε: Ι. το Κ είναι το μέσο του ΑΒ. ΙΙ. το εμβαδόν του τριγώνου ΟΑΒ είναι σταθερό.

Πρόσεξέ την πάρα πολύ! f(x) f(x) − 3 Αν ℓ im = 2 και ℓ im = −8 , να βρεθεί η πολυωνυμική συνάρτηση 2 x→ +∞ x − 3x + 2 x→ 0 x f, όταν η εφαπτομένη της C f στο σημείο x 0 = 2 είναι παράλληλη στον άξονα x΄x.

Πρόσεξέ την πάρα πολύ! Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x 4 − 2α 2x 2 − 1 , α ∈ ! * . Να δείξετε ότι: α. υπάρχουν τρία σημεία της C f , στα οποία οι εφαπτομένες είναι παράλληλες στον άξονα x΄x. β. τα σημεία αυτά είναι κορυφές τριγώνου και ότι, αν α = ±1 , το τρίγωνο είναι ορθο- γώνιο.

Πρόσεξέ την πάρα πολύ! Δίνονται οι συναρτήσεις f(x) = e x , g(x) = e−x . Η εφαπτομένη της C f στο σημείο Α (x 0 , f(x 0 )) τέμνει τον άξονα x΄x στο σημείο Γ και η εφαπτομένη της C g στο B (x 0 , g(x 0 )) τέμνει τον άξονα x΄x στο σημείο Δ. Να δείξετε ότι: α) (ΓΔ) = 2 . β) το τρίγωνο ΑΓΔ είναι ισοσκελές.

Πρόσεξέ την πάρα πολύ! Δίνεται η συνάρτηση f(x) = αx 2 + βx + γ , α ∈ ! * . Να αποδειχθεί ότι, αν η εξίσωση f(x) = 0 έχει δύο άνισες ρίζες x1 , x 2 , τότε για να είναι κάθετες μεταξύ τους οι εφα- πτομένες της C f στα σημεία Κ (x1 , 0) και Λ (x 2 , 0) , πρέπει να είναι Δ = 1 , όπου Δ = β2 − 4αγ .

Δίνονται οι συναρτήσεις f , g : ! → ! , όπου η g είναι παραγωγίσιμη στο ! και για τις οποίες ισχύουν f(x) ⋅ g(x) = 1 , g ′(x) = −g(x) και g(x) ≠ 0 , για κάθε x ∈ ! . α. Να αποδείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο ! . β. Αν (ε1 ) , (ε2 ) είναι εφαπτόμενες των γραφικών παραστάσεων των f, g στα σημεία Α (κ , f(κ)) , B (κ , g(κ)) , οι οποίες τέμνουν τον άξονα x΄x στα σημεία Μ και Ν αντί- στοιχα, να αποδείξετε ότι: Ι. ε1 ⊥ ε2 . ΙΙ. (ΜΝ) = σταθερό.

Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x ℓnx − αx , x > 0 , α ∈ " . α. Να βρείτε τα σημεία Μ της C f , στα οποία οι εφαπτομένες είναι παράλληλες στον άξονα x΄x. β. Να αποδείξετε ότι τα παραπάνω σημεία Μ κινούνται σε μια σταθερή ευθεία, όταν το α διατρέχει το ! .