Ε1-Π2-εξώφυλλο

Λυμένο παράδειγμα 13 από «Ε1-Π2-εξώφυλλο». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: Για την συνάρτηση f(x) = x 2 + 1 , η οποία έχει πεδίο ορισμού το ! , δες πώς θα βρεις το σημείο της γραφικής της παράστασης, που έχει τετμημένη 1. Θέσε x = 1 στον τύπο της f. Θα είναι f(1) = 12 + 1 = 2 , οπότε το ζητούμενο σημείο είναι το A(1, 2) . β) Αν γνωρίζεις την τεταγμένη του σημείου (ας την ονομάσουμε β), τότε λύσε την εξίσωση f(x) = β .

Λυμένο παράδειγμα 14 από «Ε1-Π2-εξώφυλλο». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: Για την συνάρτηση f(x) = x 2 , η οποία έχει πεδίο ορισμού το ! , δες πώς θα βρεις το σημείο της γραφικής της παράστασης, που έχει τεταγμένη 1. Από την εξίσωση f(x) = 1 προκύπτει - 41 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr Μαθη ματ ι κά Γ΄ Λυ κεί ο υ • Κ ΕΦΑ Λ Α Ι Ο 1 • Ό ρ ι ο -συνέχε ι α συνά ρτησης 1η ΕΝΟΤΗΤΑ. Βασικά στοιχεία συναρτήσεων x 2 = 1 ⇔ x = ± 1 ⇔ x = 1 ή x = −1 , οπότε δύο είναι τα ζητούμενα σημεία, το A(1,1) και το B(−1,1) .

Λυμένο παράδειγμα 15 από «Ε1-Π2-εξώφυλλο». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: Αν ζητείται να δείξεις ότι το σημείο Α(1, 2) ανήκει στην γραφική παράσταση μιας συ- νάρτησης f, τότε πρέπει/αρκεί να δείξεις ότι f(1) = 2 . Την ίδια ακριβώς σχέση πρέπει να δείξεις ότι ισχύει, αν ζητείται να δειχθεί ότι η γρα- φική παράσταση της f διέρχεται από το σημείο A(1, 2) . ΠΡΟΣΟΧΗ ! Οι ακόλουθες προτάσεις ­ εκφράσεις είναι ισοδύναμες! α) «Η γραφική παράσταση διέρχεται από το σημείο...». β) «Το σημείο... είναι σημείο της γραφικής παράστασης της συνάρτησης». γ) «Το σημείο... ανήκει στην γραφική παράσταση της συνάρτησης».

Λυμένο παράδειγμα 16 από «Ε1-Π2-εξώφυλλο». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: ⎧⎪ x ⎪ e + 1 , αν x ≤ 0 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = ⎨ . ⎪⎪ ℓnx , αν x > 0 ⎩⎪ α) Αν πρέπει να βρεις το σημείο της γραφικής της παράστασης που έχει τετμημένη 2, τότε υπολόγισε την τιμή f(2). Είναι f(2) = ℓn2 , οπότε το ζητούμενο σημείο είναι το A(2 , ℓn2) . β) Αν πρέπει να βρεις το σημείο της με τετμημένη ­1, τότε υπολόγισε την τιμή f(­1). Είναι 1 1+ e f(−1) = e−1 + 1 = +1 = , e e ⎛ 1 + e ⎞⎟ οπότε το ζητούμενο σημείο είναι το B ⎜⎜⎜−1 , ⎟⎟ . ⎝ e ⎟⎠ γ) Αν πρέπει να δείξεις ότι το σημείο Γ(0 , 2) ανήκει στην C f (ισοδύναμα, ότι η C f διέρχεται από το Γ), τότε πρέπει να δείξεις ότι ισχύει f(0) = 2 . Πράγματι, είναι f(0) = e0 + 1 = 1 + 1 = 2 (χρησιμοποιήθηκε ο άνω τύπος, αφού το 0 ανήκει στο διάστημα που αυτός «δουλεύει»). ⎛1 ⎞ δ) Αν πρέπει να δείξεις ότι το σημείο Δ ⎜⎜⎜ , − 1⎟⎟⎟ ανήκει στην C f (ισοδύναμα, ότι η ⎝e ⎟⎠ ⎛1⎞ C f διέρχεται από το σημείο Δ), τότε πρέπει να δείξεις ότι ισχύει f ⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟ = −1 . ⎝ e ⎟⎠ ⎛1⎞ 1 Πράγματι, είναι f ⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟ = ℓn = ℓne−1 = −1 (χρησιμοποιήθηκε ο κάτω τύπος, αφού το e ⎝ ⎠ ⎟ e 1 ανήκει στο διάστημα που αυτός «δουλεύει»). e - 43 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr Μαθη ματ ι κά Γ΄ Λυ κεί ο υ • Κ ΕΦΑ Λ Α Ι Ο 1 • Ό ρ ι ο -συνέχε ι α συνά ρτησης 1η ΕΝΟΤΗΤΑ. Βασικά στοιχεία συναρτήσεων ε) Αν γνωρίζεις ότι το σημείο Δ(α , β) ανήκει στην C f (ισοδύναμα, ότι η C f διέρχεται από το σημείο Δ), τότε ξέρεις ότι ισχύει f(α) = β (τα α, β είναι τυχαίοι αριθμοί, ενώ το πώς θα αξιοποιήσεις την σχέση f(α) = β εξαρτάται από την άσκηση).

Λυμένο παράδειγμα 17 από «Ε1-Π2-εξώφυλλο». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: Aν ζητείται να βρεις τα κοινά σημεία της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f(x) = x 2 − 1 , η οποία έχει πεδίο ορισμού το ! , με τον άξονα x΄x, τότε λύσε την εξίσω- ση f(x) = 0 . Είναι f(x) = 0 ⇔ x 2 − 1 = 0 ⇔ x 2 = 1 ⇔ x = ± 1 ⇔ x = 1 ή x = −1 . Απάντησε ότι η γραφική παράσταση της f έχει κοινά σημεία με τον άξονα x΄x τα A(1, 0) και B(−1, 0) . - 44 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr Μαθη ματ ι κά Γ΄ Λυ κεί ο υ • Κ ΕΦΑ Λ Α Ι Ο 1 • Ό ρ ι ο -συνέχε ι α συνά ρτησης 1η ΕΝΟΤΗΤΑ. Βασικά στοιχεία συναρτήσεων ΠΡΟΣΟΧΗ ! Δεν είναι απαραιτήτως όλες οι λύσεις της εξίσωσης f(x) = 0 δεκτές! Στο ποιες είναι και ποιες όχι συμμετέχει το πεδίο ορισμού της f (που σημαίνει ότι μπορεί να υπάρξει λύση της εξίσωσης f(x) = 0 που να μην ανήκει στο πεδίο ορισμού της f, οπότε φυσικά αυτή η λύση απορρίπτεται). Γι’ αυτό, η εύρεση του πεδίου ορι- σμού της συνάρτησης πρέπει να είναι το πρώτο που πρέπει να γίνει στην άσκηση.

Λυμένο παράδειγμα 18 από «Ε1-Π2-εξώφυλλο». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: Aν έχεις μια συνάρτηση f και ζητείται να δειχθεί ότι το σημείο Α(3 , 0) είναι κοινό ση- μείο της γραφικής της παράστασης με τον άξονα x΄x (ή σημείο τομής με τον x΄x), τότε πρέπει να δείξεις ότι ισχύει f(3) = 0 (ξαναλέω ότι, στην περίπτωση που ζητείται να δειχθεί ότι είναι σημείο επαφής, η σχέση f(3) = 0 δεν είναι αρκετή).

Λυμένο παράδειγμα 19 από «Ε1-Π2-εξώφυλλο». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: ⎧⎪ 2 ⎪⎪ 2x , αν x ≤ 1 Δίνεται συνάρτηση f(x) = ⎪⎨ 2 . ⎪⎪ , αν x > 1 ⎪⎩⎪ x α) Αν πρέπει να βρεις τα κοινά σημεία της C f με τον άξονα x΄x, τότε λύσε την εξίσω- ση f(x) = 0 σε κάθε διάστημα που δίνεται στον τύπο της f. • Για x ≤ 1 . Είναι f(x) = 0 ⇔ 2x 2 = 0 ⇔ x = 0 (διπλή ρίζα). Άρα η C f έχει κοινό σημείο με τον άξονα x΄x το O(0 , 0) . 2 2 • Για x > 1 . Είναι f(x) = 0 ⇔ = 0 , αδύνατη, αφού είναι > 0 για κάθε x > 1 . x x Αυτό σημαίνει ότι η C f δεν έχει κοινά σημεία με τον x΄x στο διάστημα αυτό. β) Αν ζητείται να δείξεις ότι το σημείο O(0 , 0) είναι κοινό σημείο της C f με τον x΄x, τότε πρέπει/αρκεί να δείξεις ότι ισχύει f(0) = 0 (που αποδεικνύεται πολύ εύκολα, χρησιμοποιώντας τον άνω τύπο). γ) Αν γνωρίζεις/δίνεται ότι το σημείο Β(β , 0) είναι κοινό σημείο της C f με τον x΄x, τότε γράψε ότι ισχύει f(β) = 0 (το β είναι τυχαίος αριθμός εδώ). Εξέτασε αν είναι β ≤ 1 ή β > 1 , ώστε να πάρεις τον σχετικό τύπο και να αξιοποιήσεις την σχέση f(β) = 0 (το πώς θα την αξιοποιήσεις εξαρτάται από την άσκηση). - 46 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Λυμένο παράδειγμα 20 από «Ε1-Π2-εξώφυλλο». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: Για την συνάρτηση f(x) = x 2 + 1 , η οποία έχει πεδίο ορισμού το ! , αν πρέπει να βρεις πού τέμνει η γραφική της παράσταση τον άξονα y΄y, τότε πρέπει να υπολογίσεις την τιμή f(0). Είναι f(0) = 02 + 1 = 1 , οπότε απάντησε ότι η γραφική της παράσταση τέμνει τον άξο- να y΄y στο σημείο Α(0 ,1) .

Λυμένο παράδειγμα 21 από «Ε1-Π2-εξώφυλλο». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: Αν έχεις μια συνάρτηση f και ζητείται να δείξεις ότι η γραφική της παράσταση τέμνει τον άξονα y΄y στο σημείο Α(0 , 2) , τότε πρέπει να δείξεις ότι ισχύει f(0) = 2 (πώς θα το δείξεις εξαρτάται από την άσκηση).

Λυμένο παράδειγμα 22 από «Ε1-Π2-εξώφυλλο». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: ⎧⎪ 2 ⎪⎪ x − 3x + 2 , αν x < 1 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = ⎪⎨ x −1 . ⎪⎪ 2 ⎪⎩⎪ 3x − 4 , αν x > 1 α) Αν πρέπει να βρεις το σημείο τομής της C f με τον y΄y, τότε υπολόγισε την τιμή f(0). 02 − 3 ⋅ 0 + 2 Είναι f(0) = = −2 , που σημαίνει ότι η C f τέμνει τον άξονα y΄y στο ση- 0 −1 μείο A(0 ,− 2) (χρησιμοποιήθηκε ο άνω τύπος, αφού το 0 ανήκει στο διάστημα που αναφέρεται σε αυτόν). β) Αν πρέπει να δείξεις ότι το σημείο A(0 ,− 2) είναι το σημείο τομής της C f με τον άξονα y΄y, τότε πρέπει να δείξεις ότι ισχύει f(0) = −2 . 02 − 3 ⋅ 0 + 2 Πράγματι, είναι f(0) = = −2 , οπότε αποδεικνύεται το ζητούμενο. 0 −1 γ) Αν γνωρίζεις ότι το σημείο Β(0 , β) είναι το σημείο τομής της C f με τον y΄y (το β εί- ναι τυχαίος αριθμός εδώ), τότε γνωρίζεις ότι ισχύει f(0) = β . Βέβαια, εδώ πρέπει να εξετάσεις αν είναι β < 1 ή β > 1 , ώστε να πάρεις τον σχετικό τύπο. Το πώς θα αξιο- ποιήσεις την σχέση f(0) = β εξαρτάται από την άσκηση. - 48 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Λυμένο παράδειγμα 23 από «Ε1-Π2-εξώφυλλο». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: Για την συνάρτηση f(x) = x 2 − 1 , η οποία έχει πεδίο ορισμού το ! , αν ζητείται να βρεις τα διαστήματα στα οποία η γραφική της παράσταση είναι πάνω από τον άξονα x΄x, τότε πρέπει να λύσεις την ανίσωση f(x) > 0 . Είναι f(x) > 0 ⇔ x 2 − 1 > 0 ⇔ x < −1 ή x > 1 . Απάντησε ότι η γραφική παράσταση της f είναι πάνω από τον x΄x στο διάστημα (−∞ ,− 1) και στο διάστημα (1, + ∞) . β) Αν ζητείται να αποδείξεις ότι η γραφική παράσταση της f είναι πάνω από τον άξονα x΄x σε ένα διάστημα (α , β) , τότε πρέπει/αρκεί να αποδείξεις ότι f(x) > 0 , για κάθε x ∈ (α , β) . γ) Αν γνωρίζεις ότι η γραφική παράσταση της f είναι πάνω από τον άξονα x΄x σε ένα διάστημα (α , β) , τότε ισχύει f(x) > 0 , για κάθε x ∈ (α , β) . - 49 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr Μαθη ματ ι κά Γ΄ Λυ κεί ο υ • Κ ΕΦΑ Λ Α Ι Ο 1 • Ό ρ ι ο -συνέχε ι α συνά ρτησης 1η ΕΝΟΤΗΤΑ. Βασικά στοιχεία συναρτήσεων Αν η συνάρτηση είναι διπλού τύπου, τότε όλα όσα αναφέρθηκαν γίνονται με τον ίδιο ακριβώς τρόπο.

Λυμένο παράδειγμα 24 από «Ε1-Π2-εξώφυλλο». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: ⎧⎪ 2 ⎪ 2x + 3 , αν x ≥ 1 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = ⎨ . ⎪⎪ x + 4 , αν x < 1 ⎪⎩ α) Αν ζητείται να βρεις πότε η C f είναι πάνω από τον x΄x, τότε: • για x ≥ 1 είναι: f(x) > 0 ⇔ 2x 2 + 3 > 0 ⇔ x ∈ ! . Αυτό σημαίνει ότι η C f είναι πάνω από τον x΄x σε όλο το διάστημα ⎡⎢1, + ∞) . ⎣ • για x < 1 είναι: f(x) > 0 ⇔ x + 4 > 0 ⇔ x > −4 . Λαμβάνοντας υπόψη ότι είναι x < 1 , απάντησε ότι η C f είναι πάνω από τον x΄x στο διάστημα (−4 ,1) . β) Αν πρέπει να αποδείξεις ότι η C f είναι πάνω από τον x΄x στο διάστημα (3 , 4) , τότε πρέπει να αποδείξεις ότι ισχύει f(x) > 0 , για κάθε x ∈ (3 , 4) (εδώ θα χρησιμοποιήσεις τον άνω τύπο, αφού στο διάστημα (3 , 4) «δουλεύει» αυτός). Η απόδειξη γίνεται πολύ εύκολα στο συγκεκριμένο παράδειγμα. γ) Αν γνωρίζεις ότι η C f είναι πάνω από τον x΄x σε κάποιο διάστημα (α , β) , τότε γνω- ρίζεις ότι ισχύει f(x) > 0 , για κάθε x ∈ (α , β) (τα α και β είναι τυχαίοι αριθμοί στο συγκεκριμένο παράδειγμα, οπότε πρέπει να εξετάσεις αν το (α , β) περιέχεται στο ⎡1, + ∞) ή στο (−∞ ,1) ). ⎢⎣

Λυμένο παράδειγμα 25 από «Ε1-Π2-εξώφυλλο». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: Για την συνάρτηση f(x) = x 2 − 1 , η οποία έχει πεδίο ορισμού το ! , αν ζητείται να βρεις τα διαστήματα στα οποία η γραφική της παράσταση είναι κάτω από τον άξονα x΄x, τότε πρέπει να λύσεις την ανίσωση f(x) < 0 . Είναι f(x) < 0 ⇔ x 2 − 1 < 0 ⇔ x ∈ (−1,1) . Απάντησε ότι η γραφική παράσταση της f είναι κάτω από τον x΄x στο διάστημα (−1,1) . β) Αν ζητείται να αποδείξεις ότι η γραφική παράσταση της f είναι κάτω από τον άξο- να x΄x σε ένα διάστημα (α , β) , τότε πρέπει/αρκεί να αποδείξεις ότι f(x) < 0 , για κάθε x ∈ (α , β) . γ) Αν γνωρίζεις ότι η γραφική παράσταση της f είναι κάτω από τον άξονα x΄x σε ένα διάστημα (α , β) , τότε ισχύει f(x) < 0 , για κάθε x ∈ (α , β) . Αν η συνάρτηση είναι διπλού τύπου, τότε όλα όσα αναφέρθηκαν γίνονται με τον ίδιο ακριβώς τρόπο. Προς αποφυγή περιττής και κουραστικής επανάληψης, το παράδειγμα 24 εύκολα προσαρμόζεται στις ανάγκες της περίπτωσης 2 που μελετήθηκε. - 51 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Λυμένο παράδειγμα 26 από «Ε1-Π2-εξώφυλλο». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: Για την συνάρτηση f(x) = x 2 − 1 θα μελετήσουμε την σχετική θέση της γραφικής της παράστασης ως προς τον άξονα x΄x. Είναι Df = ! , αφού η f είναι πολυωνυμική συνάρτηση. Δες και τους δύο τρόπους που προαναφέρθηκαν. Α΄ τρόπος Από την ανίσωση f(x) > 0 έχω x 2 − 1 > 0 ⇔ x < −1 ή x > 1 . Άρα η C f είναι πάνω από τον άξονα x΄x στο διάστημα (−∞ ,− 1) και στο (1, + ∞) . Ανάλογα, από την ανίσωση f(x) < 0 προκύπτει x ∈ (−1,1) , οπότε η C f είναι κάτω από τον άξονα x΄x στο διάστημα (−1,1) . - 52 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr Μαθη ματ ι κά Γ΄ Λυ κεί ο υ • Κ ΕΦΑ Λ Α Ι Ο 1 • Ό ρ ι ο -συνέχε ι α συνά ρτησης 1η ΕΝΟΤΗΤΑ. Βασικά στοιχεία συναρτήσεων Β΄ τρόπος Το πρόσημο της f (δηλαδή του τριωνύμου), κατά τα γνωστά (πίνακας προσήμου τριω- νύμου, Άλγεβρα Α΄ Λυκείου), δίνει τα ακόλουθα: • x 2 − 1 > 0 ⇔ x < −1 ή x > 1 , δηλαδή η C f είναι πάνω από τον άξονα x΄x στο διάστημα (−∞ ,− 1) και στο (1, + ∞) . • x 2 − 1 < 0 ⇔ x ∈ (−1,1) , δηλαδή η C f είναι κάτω από τον άξονα x΄x στο διάστημα (−1,1) . Αν η συνάρτηση είναι διπλού τύπου, τότε όλα όσα αναφέρθηκαν γίνονται με τον ίδιο ακριβώς τρόπο.

Λυμένο παράδειγμα 27 από «Ε1-Π2-εξώφυλλο». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: 1 Για τις συναρτήσεις f(x) = x 2 , g(x) = ζητείται να βρεθούν τα κοινά σημεία των x γραφικών τους παραστάσεων. Τότε: 1) βρες το πεδίο ορισμού καθεμιάς και την τομή τους. Η f έχει πεδίο ορισμού το Df = ! , ενώ η g το Dg = ! * . Είναι Df ∩ Dg = ! ∩ ! * = ! * , οπότε η εξίσωση f(x) = g(x) θα λυθεί στο ! * . 2) λύσε την εξίσωση f(x) = g(x). 1 Είναι f(x) = g(x) ⇔ x 2 = ⇔ x3 = 1 ⇔ x = 3 1 ⇔ x = 1 . x Είναι f(1) = 12 = 1 , οπότε το κοινό σημείο των δύο γραφικών παραστάσεων είναι το M(1,1) (θα μπορούσες να θέσεις x = 1 και στον τύπο της g βέβαια). ΠΡΟΣΟΧΗ ! Όλες οι λύσεις της εξίσωσης f(x) = g(x) δεν γίνονται δεκτές απαραιτήτως! Για το ποιες είναι δεκτές και ποιες όχι, πρέπει πρώτα να βρεθεί η τομή των πεδίων ορισμού των f και g (αυτό θα είναι και το σύνολο στο οποίο αναζητώνται οι λύσεις της εξίσωσης f(x) = g(x)) και μετά να λυθεί η εξίσωση! Προφανώς, αν υπάρχουν λύσεις που δεν ανήκουν στο παραπάνω σύνολο, απορρίπτο- νται.

Λυμένο παράδειγμα 28 από «Ε1-Π2-εξώφυλλο». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: Αν δίνονται δύο συναρτήσεις f και g και ζητείται να δειχθεί ότι το σημείο Α(2 , 3) είναι κοινό σημείο των γραφικών τους παραστάσεων, τότε πρέπει να δειχθεί ότι ισχύουν f(2) = 3 και g(2) = 3 . - 54 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr Μαθη ματ ι κά Γ΄ Λυ κεί ο υ • Κ ΕΦΑ Λ Α Ι Ο 1 • Ό ρ ι ο -συνέχε ι α συνά ρτησης 1η ΕΝΟΤΗΤΑ. Βασικά στοιχεία συναρτήσεων Αν ζητούνταν να δειχθεί ότι το σημείο με τετμημένη 2 είναι κοινό των γραφικών τους παραστάσεων, τότε θα έπρεπε να δειχθεί ότι ισχύει f(2) = g(2) .

Λυμένο παράδειγμα 29 από «Ε1-Π2-εξώφυλλο». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: 1 Για τις συναρτήσεις f(x) = x 2 , g(x) =ζητείται να βρεθεί πότε η γραφική παράστα- x ση της f είναι πάνω από την γραφική παράσταση της g. 1) Βρες το πεδίο ορισμού καθεμιάς και πού αυτά συναληθεύουν. Η f έχει πεδίο ορισμού το Df = ! , ενώ η g το Dg = ! * . Είναι Df ∩ Dg = ! ∩ ! * = ! * , οπότε η ανίσωση f(x) > g(x) θα λυθεί στο ! * . 2) Λύσε την ανίσωση f(x) > g(x). Είναι 1 1 x3 − 1 f(x) > g(x) ⇔ x 2 > ⇔ x2 − > 0 ⇔ > 0 ⇔ x(x 3 − 1) > 0 ⇔ x x x ⇔ x(x − 1)(x 2 + x + 1) > 0 . Το τριώνυμο x 2 + x + 1 έχει διακρίνουσα 12 − 4 ⋅1 ⋅1 = −3 , οπότε x 2 + x + 1 > 0 , για κάθε x ∈ ! . Τότε έχω την ανίσωση x(x − 1) > 0 , από όπου προκύπτει x < 0 ή x > 1 . Άρα η γραφική παράσταση της f είναι πάνω από της g στο διάστημα (−∞ , 0) και στο (1, + ∞) .

Λυμένο παράδειγμα 30 από «Ε1-Π2-εξώφυλλο». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: Για τις συναρτήσεις f(x) = x 2 , g(x) = x 2 − x + 1 ας βρούμε την σχετική θέση των γρα- φικών τους παραστάσεων. Είναι Df = ! , Dg = ! και Df ∩ Dg = ! . Δες και τους δύο τρόπους που προαναφέρθηκαν. Α΄ τρόπος Από την ανίσωση f(x) − g(x) > 0 έχω f(x) > g(x) ⇔ x 2 > x 2 − x + 1 ⇔ x > 1 , οπότε η C f είναι πάνω από την C g στο διάστημα (1, + ∞) . Με όμοιο τρόπο, από την ανίσωση f(x) − g(x) < 0 προκύπτει x < 1 , που σημαίνει ότι η C f είναι κάτω από την C g στο διάστημα (−∞ ,1) . Β΄ τρόπος Είναι f(x) − g(x) = x 2 − (x 2 − x + 1) = x 2 − x 2 + x − 1 = x − 1 . Εύκολα προκύπτει ότι x − 1 > 0 ⇔ x > 1 και x − 1 < 0 ⇔ x < 1 , οπότε: • η C f είναι πάνω από την C g στο διάστημα (1, + ∞) . • η C f είναι κάτω από την C g στο διάστημα (−∞ ,1) . - 58 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Λυμένο παράδειγμα 31 από «Ε1-Π2-εξώφυλλο». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: Αν ζητείται να βρεις τα κοινά σημεία της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f(x) = x 2 και της ευθείας ε : x + y − 2 = 0 , τότε: 1) το πεδίο ορισμού της f είναι το ! και η εξίσωση της ευθείας πρέπει να έρθει στην κατάλληλη μορφή, δηλαδή ε : y = −x + 2 . - 59 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr Μαθη ματ ι κά Γ΄ Λυ κεί ο υ • Κ ΕΦΑ Λ Α Ι Ο 1 • Ό ρ ι ο -συνέχε ι α συνά ρτησης 1η ΕΝΟΤΗΤΑ. Βασικά στοιχεία συναρτήσεων 2) λύσε την εξίσωση f(x) = −x + 2 . Είναι x 2 = −x + 2 ⇔ x 2 + x − 2 = 0 ⇔ x = 1 ή x = −2 . 3) θέσε x = 1 στην εξίσωση της (ε). Θα είναι y = −1 + 2 = 1 , οπότε ένα κοινό σημείο είναι το A(1,1) . Θέσε x = −2 στην εξίσωση της (ε) και θα έχεις y = −(−2) + 2 = 4 , οπότε δεύτερο κοινό σημείο είναι το B(−2 , 4) .

Λυμένο παράδειγμα 32 από «Ε1-Π2-εξώφυλλο». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: Για την συνάρτηση f(x) = x 2 και την ευθεία ε : y = 5x − 6 ας μελετήσουμε την σχετική τους θέση. Η f έχει πεδίο ορισμού το ! (είναι βασική συνάρτηση), ενώ η (ε) είναι γραμμένη στην κατάλληλη μορφή. Α΄ τρόπος Από την ανίσωση f(x) > 5x − 6 προκύπτει x 2 > 5x − 6 ⇔ x 2 − 5x + 6 > 0 ⇔ x < 2 ή x > 3 . Άρα η C f είναι πάνω από την (ε) στο διάστημα (−∞ , 2) και στο (3 , + ∞) . - 63 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr Μαθη ματ ι κά Γ΄ Λυ κεί ο υ • Κ ΕΦΑ Λ Α Ι Ο 1 • Ό ρ ι ο -συνέχε ι α συνά ρτησης 1η ΕΝΟΤΗΤΑ. Βασικά στοιχεία συναρτήσεων Ανάλογα, από την ανίσωση f(x) < 5x − 6 προκύπτει x ∈ (2 , 3) , που σημαίνει ότι η C f είναι κάτω από την (ε) στο διάστημα (2 , 3) . Β΄ τρόπος Είναι f(x) − (5x − 6) = x 2 − 5x + 6 . Για το πρόσημο αυτού του τριωνύμου (κατά τα γνωστά από την Άλγεβρα) προκύπτει ότι είναι: • x 2 − 5x + 6 > 0 , για κάθε x < 2 ή x > 3 , που σημαίνει ότι η C f είναι πάνω από την (ε) στο διάστημα (−∞ , 2) και στο (3 , + ∞) . • x 2 − 5x + 6 < 0 , για κάθε x ∈ (2 , 3) , που σημαίνει ότι η C f είναι κάτω από την (ε) στο διάστημα (2 , 3) . - 64 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Πρόσεξέ την πάρα πολύ! Να βρεθούν τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων f(x) = αx 2 − x + 1 , g(x) = 2αx − 1 , α ∈ ! .

Έστω οι συναρτήσεις f(x) = x 3 + x − 2 , g(x) = x 2 + 5x − 6 . α. Να βρεθούν τα σημεία τομής των C f , C g . β. Να βρεθούν τα σημεία τομής των C f , C g με τους άξονες. γ. Να βρεθούν τα διαστήματα στα οποία η C f βρίσκεται πάνω από την C g . δ. Να βρεθούν τα διαστήματα στα οποία η C g βρίσκεται κάτω από τον x΄x.

Έστω οι συναρτήσεις f(x) = ℓog(5 − x) , g(x) = 1 − ℓogx . α. Εξετάστε αν η C f τέμνει τους άξονες. β. Εξετάστε αν οι C f , C g έχουν κοινά σημεία.

Να βρεθούν τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) = x + 2 βρίσκεται πάνω από την γραφική παράσταση της συνάρτησης g(x) = x .