Ε9-Π2+Κ31-εξώφυλλο

Έστω η συνεχής συνάρτηση f : ! → ! , για την οποία ισχύει x < f(x) < x + 1 , για κάθε x∈!. f(x) α. Να βρεθεί το ℓ im . x→ +∞ x β. Να βρεθεί το σύνολο τιμών της συνάρτησης f. γ. Να δειχθεί ότι η εξίσωση f(x) = 2004x έχει μία, τουλάχιστον, ρίζα στο ! .

1 Να αποδειχθεί ότι η εξίσωση x + = x ⋅ συν(πx) έχει μία, τουλάχιστον, θετική ρίζα. x

Να δειχθεί ότι η εξίσωση 7x 2012 + 3x 2014 = 2 έχει δύο, τουλάχιστον, ρίζες στο διάστημα (−1,1) .

Να δειχθεί ότι η συνεχής συνάρτηση f : ! → ! , για την οποία ισχύει f 3 (x) + f 2 (x) + f(x) = xe x − συνx , για κάθε x ∈ ! , έχει μία, τουλάχιστον, ρίζα στο διάστημα (0 ,1) .

Να αποδειχθεί ότι η εξίσωση ℓnx + (x − α)2 = 0 , α ≠ 1 , έχει μία, τουλάχιστον, ρίζα στο διάστημα (0 ,1) .

Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο ! με f(x) + f(2 − x) = 0 , για κάθε x ∈ ! , να απο- δείξετε ότι η εξίσωση f(x) = 0 έχει μία, τουλάχιστον, ρίζα στο ! .

Για τις συναρτήσεις f(x), g(x) ισχύει g(x) = 1 + f 2 (x) , για κάθε x ∈ ! , και f(−2) ⋅ f(1) < 0 . Να δειχθεί ότι, αν το σύνολο τιμών της g είναι το B = ⎡⎢2 , + ∞) , τότε η f ⎣ δεν είναι συνεχής.

Έστω συνάρτηση f, ορισμένη στο ! και περιττή, με f(5) = 7 . Αν η εξίσωση f(x) = 6 είναι αδύνατη, να δείξετε ότι η f δεν είναι συνεχής.

Δίνεται η εξίσωση x 3 + αx 2 + β = 0 , όπου α , β ∈ ! , β > 0 , α + β + 1 < 0 . Να αποδειχθεί ότι έχει δύο, τουλάχιστον, ρίζες στο διάστημα (−1,1) .

Δίνεται η συνάρτηση f(x) = xe x+1 − x 2 + x + 1 . Να δειχθεί ότι υπάρχουν x1 , x 2 , x 3 ∈ ⎡⎢−1, 0⎤⎥ τέτοια, ώστε τα σημεία A(x1 ,− 1) , B(x 2 , 0) , Γ(x 3 ,1) να ανήκουν ⎣ ⎦ στην γραφική παράσταση της f.

Έστω η συνεχής συνάρτηση f : [1, 3] → ! , με ℓ im f(x) = 2 και f(1) ⋅ f(3) = 10 . Να δείξε- x→1 τε ότι η εξίσωση f(x) = 4 έχει μία, τουλάχιστον, ρίζα στο διάστημα (1, 3) .

Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f : ! → ! , για την οποία ισχύουν f (f(x)) − f(x) = 3 , f(1) = 4 . f(1) ⋅ x 3 + 2x − 1 α. Να υπολογίσετε το όριο ℓ im . x→−∞ f(4) ⋅ x 2 − x + 2 β. Θεωρούμε την συνάρτηση g(x) = x ⋅ f(x) − 30συν(πx) . Αποδείξτε ότι η C g τέμνει τον άξονα x΄x σε ένα, τουλάχιστον, σημείο, με τετμημένη στο διάστημα (4 , 7) . γ. Αποδείξτε ότι υπάρχει x 0 ∈ ⎡⎢1, 7⎤⎥ τέτοιο, ώστε 10f(x) = 2f(2) + 3f(3) + 5f(5) . ⎣ ⎦

Να αποδείξετε ότι οι παρακάτω εξισώσεις έχουν μία, τουλάχιστον, ρίζα στο αντίστοιχο διάστημα: ⎛π π ⎞⎟ x −1 ⎛1 ⎞ α. συνx = 3 − 2x στο ⎜⎜⎜ , ⎟⎟ . β. = εϕx στο ⎜⎜ , π ⎟⎟ . ⎝4 2 ⎟⎠ x − 2x 2 ⎜⎝ 2 2 ⎟⎟⎠

1 Να αποδείξετε ότι η εξίσωση − e x + 4 = 0 έχει τουλάχιστον μία ρίζα στο διάστημα x (0 , 2) .

Δίνονται οι συναρτήσεις f, g, συνεχείς στο ! , για τις οποίες ισχύει f 2 (x) − g 2 (x) = −5x και f(x) > g(x) , για κάθε x ∈ ! . Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f(x) + g(x) = 0 έχει τουλάχιστον μία ρίζα σε οποιοδήποτε διάστημα (α , β) , με α < 0 και β > 0 .

Δίνεται συνεχής συνάρτηση f : (0 , + ∞) → ! , για την οποία ισχύει 2ℓnx − x < f(x) < ℓn2x + x , για κάθε x > 0 . Να δείξετε ότι η εξίσωση f(x) = (e2 + 1) ⋅ ℓnx − x έχει τουλάχιστον μία λύση στο διά- στημα (1, e) .

Δίνεται συνεχής συνάρτηση f : ! → ! , για την οποία ισχύει x + 2 ≤ f(x) < e x+2 , για κάθε x ∈ ! . Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f(x) = e3x έχει τουλάχιστον μία ρίζα στο διάστημα (0 ,1) .

Έστω οι πραγματικοί αριθμοί α, β, γ, δ, με δ > 0 , α + β + γ + δ < 0 και α + γ > 0 . Να αποδείξετε ότι η εξίσωση αx 3 + βx 2 + γx + δ = 0 έχει τουλάχιστον δύο ρίζες στο διάστημα (−1,1) .

Έστω f συνάρτηση συνεχής στο διάστημα ⎡⎢0 ,1⎤⎥ , με f(0) = −1 , f(1) = 4 . Να δείξετε ότι ⎣ ⎦ η γραφική παράσταση της f έχει τουλάχιστον ένα κοινό σημείο με την ευθεία y = x .

Θεωρούμε την συνάρτηση f, συνεχή στο διάστημα ⎡⎢0 ,1⎤⎥ , για την οποία ισχύει ⎣ ⎦ 3x 2 ≤ f(x) + x ≤ 3x , για κάθε x ∈ ⎡⎢0 ,1⎤⎥ . ⎣ ⎦ Να δείξετε ότι η γραφική παράσταση της f έχει ένα, τουλάχιστον, κοινό σημείο με την ευθεία y = 4x − 1 στο διάστημα (0 ,1) .

Να αποδείξετε ότι η εξίσωση ℓnx + x = e−2x έχει τουλάχιστον μία ρίζα στο διάστημα (0 , + ∞) .

Δίνεται συνάρτηση f, συνεχής στο ! , με ℓ im f(x) = +∞ . Να δείξετε ότι η εξίσωση x→ +∞ 1 f(x) − = 0 έχει τουλάχιστον μία θετική ρίζα. x

Να αποδείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f(x) = x , g(x) = συν2x ⎛ π⎞ τέμνονται σε ένα, τουλάχιστον, σημείο του διαστήματος ⎜⎜⎜0 , ⎟⎟⎟ . ⎝ 4 ⎟⎠

Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) = εϕx + x − 1 τέμνει τον ⎛ π⎞ άξονα x΄x τουλάχιστον σε ένα σημείο με τετμημένη στο διάστημα ⎜⎜⎜0 , ⎟⎟⎟ . ⎝ 4 ⎟⎠