Ε4-Π4-εξώφυλλο

Λυμένο παράδειγμα 106 από «Ε4-Π4-εξώφυλλο». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: Ας δούμε το ℓ = ℓ im x→−∞ ( 9x + 5x − 3 + x) , το οποίο εύκολα διαπιστώνεται ότι εμφανί- 2 ζει απροσδιοριστία +∞ − ∞ . Συνεχίζουμε ως εξής: ⎡ ⎛ ⎤ ⎛ ⎞⎟ x→−∞ ⎢ 2⎜ 5 3 ⎞⎟ ⎥ ⎜⎜ 5 3 ℓ = ℓ im ⎢ x ⎜⎜9 + − 2 ⎟ + x ⎥ = ℓ im ⎜ x ⋅ 9 + − 2 + x⎟⎟⎟ = ⎟ x→−∞ ⎢⎣ ⎝ x x ⎟⎠ ⎥⎦ x→−∞ ⎜⎜⎝ x x ⎟⎠ x =−x ⎛ ⎞⎟ ⎡ ⎛ ⎞⎟ ⎤ ⎜⎜ 5 3 ⎜⎜ 5 3 = ℓ im ⎜−x ⋅ 9 + − 2 + x⎟⎟ = ℓ im ⎢ x ⋅ ⎜− 9 + − 2 + 1⎟⎟⎟ ⎥⎥ = ⎟ ⎢ x→−∞ ⎜ x x ⎟⎠ x→−∞ ⎢ ⎜⎜⎝ x x ⎟⎠ ⎥ ⎜⎝ ⎣ ⎦ ( ) = (−∞) ⋅ − 9 + 0 − 0 + 1 = −2 ⋅ (−∞) = +∞ . - 365 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr Μαθη ματ ι κά Γ΄ Λυ κεί ο υ • Κ ΕΦΑ Λ Α Ι Ο 1 • Ό ρ ι ο -συνέχε ι α συνά ρτησης 4η ΕΝΟΤΗΤΑ. “Υπολογιστικά” θέµατα ορίων: όριο συνάρτησης στο άπειρο

Λυμένο παράδειγμα 107 από «Ε4-Π4-εξώφυλλο». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: Ας δούμε το ℓ = ℓ im x→ +∞ ( 4x − 5x + 1 − x) , το οποίο εύκολα διαπιστώνεται ότι εμφανίζει 2 απροσδιοριστία +∞ − ∞ . Συνεχίζουμε ως εξής: ⎡ ⎛ ⎤ ⎛ ⎞⎟ x→ +∞ 5 1 ⎞⎟ ⎜ 5 1 ℓ = ℓ im ⎢ x ⎜⎜4 − + 2 ⎟⎟ − x ⎥⎥ = ℓ im ⎜⎜ x ⋅ 4 − + 2 − x⎟⎟⎟ = ⎢ 2⎜ x→ +∞ ⎢⎣ ⎝ x x ⎟⎠ ⎥⎦ x→ +∞ ⎜⎝⎜ x x ⎟⎠ x = x ⎛ ⎞⎟ ⎡ ⎛ ⎞⎟ ⎤ 5 1 5 1 = ℓ im ⎜⎜⎜x ⋅ 4 − ⎜ + 2 − x⎟⎟⎟ = ℓ im ⎢⎢ x ⋅ ⎜⎜ 4 − + 2 − 1⎟⎟⎟ ⎥⎥ = x→ +∞ ⎜⎜⎝ x x ⎟⎠ x→ +∞ ⎢ ⎜⎜⎝ x x ⎟⎠ ⎥ ⎣ ⎦ ( ) = (+∞) ⋅ 4 − 0 + 0 − 1 = (+∞) ⋅1 = +∞ . Αυτός είναι ο πρώτος τρόπος αντιμετώπισης. Χρησιμοποιείται όταν διαπιστωθεί αυτή η απροσδιοριστία και ο συντελεστής του x 2 στο τριώνυμο που είναι κάτω από την ρίζα (ή το τετράγωνο αυτού του συντελεστή) δεν είναι ίσος με τον συντελεστή του x του πρωτοβάθμιου πολυωνύμου που είναι έξω από την ρίζα (ή το τετράγωνο αυτού του συντελεστή). Όπως φάνηκε στα παραδείγματα 106 και 107 (και θα δεις και στις λυμένες ασκήσεις μετά), ακολουθείται η «μισή» πορεία που ακολουθήθηκε στην απροσδιοριστία «άπειρο διά άπειρο με ρίζες» παράγραφος 3), δηλαδή βγάζουμε κοινό παράγοντα το x 2 στο τριώνυμο που είναι μέσα στην ρίζα, μετά αυτό βγαίνει έξω από την ρίζα με απόλυτη τιμή, η οποία απλοποιείται ανάλογα με το πού τείνει το x. Τέλος, βγάζουμε το x κοινό παράγοντα από όλη την παράσταση και κάνουμε τον τελικό υπολογισμό. Όμως, αν εφαρμόσουμε την ίδια τακτική στο επόμενο όριο, δες τι θα συμβεί: ⎡ ⎛ ⎤ ⎛ ⎞⎟ 1 ⎞⎟ ( x + 1 + x) = +∞−∞ ⎢ 2⎜ ⎥ ⎜⎜ 1 ℓ = ℓ im 2 ℓ im ⎢ x ⎜⎜1 + 2 ⎟ + x ⎥ = ℓ im ⎜ x ⋅ 1 + 2 + x⎟⎟⎟ = ⎟ x→−∞ x→−∞ ⎢⎣ ⎝ x ⎟⎠ ⎥⎦ x→−∞ ⎜⎜⎝ x ⎟⎠ x→−∞ ⎛ ⎞⎟ ⎡ ⎛ ⎞⎟ ⎤ ⎜⎜ 1 ⎜⎜ 1 = ℓ im ⎜−x ⋅ 1 + 2 + x⎟⎟ = ℓ im ⎢ x ⋅ ⎜− 1 + 2 + 1⎟⎟⎟ ⎥⎥ = (−∞) ⋅ − 1 + 0 + 1 ⇒ x =−x x→−∞ ⎜⎜⎝ x ⎟ ⎢ ⎟⎠ x→−∞ ⎢ ⎜⎜⎝ x ⎟⎠ ⎥ ( ) ⎣ ⎦ ⇒ ℓ = (−∞) ⋅ 0 . Καταλήγουμε, όπως φαίνεται, σε άλλου είδους απροσδιοριστία. Αυτό σημαίνει ότι η τακτική αυτή δεν είναι σωστή, οπότε ας δούμε τι κάνουμε. - 366 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθη

Λυμένο παράδειγμα 108 από «Ε4-Π4-εξώφυλλο». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: ℓ = ℓ im ( x + 1 + x) = ℓ im 2 ( x + 1 + x)( x + 1 − x) = ℓ im x + 1 − x = +∞−∞ 2 2 2 2 x→−∞ x→−∞ 2 x→−∞ 2 x +1−x x +1−x 1 +∞ 1 = ℓ im = 0. x→−∞ x2 + 1 − x

Λυμένο παράδειγμα 109 από «Ε4-Π4-εξώφυλλο». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: ℓ = ℓ im ( x + x + 1 − x) = ℓ im 2 ( x + x + 1 − x )( x + x + 1 + x ) +∞−∞ 2 = 2 x→ +∞ x→ +∞ 2 x + x +1 + x x→ +∞ x2 + x + 1 − x2 x +1 x +1 = ℓ im = ℓ im = ℓ im = x→ +∞ 2 x + x +1 + x x→ +∞ ⎛ 1 1⎞ x→ +∞ 1 1 x =x x 2 ⎜⎜⎜1 + + 2 ⎟⎟⎟ + x x ⋅ 1+ + 2 + x ⎝ x x ⎟⎠ x x ⎛ 1⎞ x ⋅ ⎜⎜⎜1 + ⎟⎟⎟ 1+ 1 x +1 ⎝ x ⎠⎟ x = ℓ im = ℓ im = ℓ im = x→ +∞ 1 1 x→ +∞ ⎛ 1 1 ⎞⎟ x→ +∞ 1 1 ⎜ x ⋅ 1+ + 2 + x x ⋅ ⎜⎜ 1 + + 2 + 1⎟⎟⎟ 1+ + 2 +1 x x ⎜⎝ x x ⎟⎠ x x 1+ 0 1 = = . 1+ 0+ 0 +1 2 Αυτός είναι ο δεύτερος τρόπος αντιμετώπισης. Χρησιμοποιείται όταν διαπιστωθεί αυτή η απροσδιοριστία και ο συντελεστής του x 2 στο τριώνυμο που είναι κάτω από την ρίζα (ή το τετράγωνο αυτού του συντελεστή) είναι ίσος με τον συντελεστή του x του πρωτοβάθμιου πολυωνύμου που είναι έξω από την ρίζα (ή το τετράγωνο αυτού του συντελεστή). Όπως φάνηκε στα παραδείγματα 108 και 109 (και θα δεις και στις λυμένες ασκήσεις μετά), ακολουθείται η πορεία που ακολουθήθηκε στην απροσδιοριστία «άπειρο διά άπειρο με ρίζες» (παράγραφος 3), δηλαδή πολλαπλασιάζουμε και διαιρούμε με την συζυγή παράσταση, μετά βγάζουμε κοινό παράγοντα το x 2 στο τριώνυμο που είναι μέσα στην ρίζα, μετά αυτό βγαίνει έξω από την ρίζα με απόλυτη τιμή, η οποία απλο- ποιείται ανάλογα με το πού τείνει το x. Τέλος, βγάζουμε το x κοινό παράγοντα από όλη την παράσταση και κάνουμε τον τελικό υπολογισμό. - 367 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

⎡ ⎛ ⎤ ⎛ ⎞⎟ x→+∞ 1⎞ ( ) +∞−∞ ⎜ 1 ℓ = ℓ im 9x 2 + x − 2x = ℓ im ⎢⎢ x 2 ⎜⎜⎜9 + ⎟⎟⎟ − 2x ⎥⎥ = ℓ im ⎜⎜ x ⋅ 9 + − 2x⎟⎟⎟ = x→ +∞ x→ +∞ ⎢⎣ ⎝ x ⎟⎠ ⎥⎦ x→ +∞ ⎜⎜⎝ x ⎟⎠ x = x ⎛ ⎞⎟ ⎡ ⎛ ⎞⎟ ⎤ ⎜⎜ 1 ⎜⎜ 1 = ℓ im ⎜x ⋅ 9 + − 2x⎟⎟ = ℓ im ⎢ x ⋅ ⎜ 9 + − 2⎟⎟⎟ ⎥⎥ = (+∞) ⋅ x→ +∞ ⎜ ⎜⎝ x ⎟ ⎢ ⎟⎠ x→ +∞ ⎢ ⎜⎜⎝ x ⎟⎠ ⎥ ( 9 + 0 − 2) ⇒ ℓ = +∞ . ⎣ ⎦

⎡ ⎛ ⎤ ⎛ ⎞⎟ 5⎞ ( ) +∞−∞ ⎜ 5 ℓ = ℓ im x 2 + 5x + 2x = ℓ im ⎢⎢ x 2 ⎜⎜⎜1 + ⎟⎟⎟ + 2x ⎥⎥ = ℓ im ⎜⎜ x ⋅ 1 + + 2x⎟⎟⎟ = x→−∞ x→−∞ ⎢⎣ ⎝ x ⎟⎠ ⎥⎦ x→−∞ ⎜⎜⎝ x ⎟⎠ x→−∞ ⎛ ⎞⎟ ⎡ ⎛ ⎞⎟ ⎤ = ⎜ 5 ⎜ 5 ℓ im ⎜⎜−x ⋅ 1 + + 2x⎟⎟⎟ = ℓ im ⎢⎢ x ⋅ ⎜⎜− 1 + + 2⎟⎟⎟ ⎥⎥ = (−∞) ⋅ − 1 + 0 + 2 ⇒ x =− x x→−∞ ⎜ ⎝⎜ x ⎟⎠ x→−∞ ⎢ ⎜⎝⎜ x ⎟⎠ ⎥ ( ) ⎣ ⎦ ⇒ ℓ = −∞ .

⎡ ⎤ ⎛ ⎛ 25 ⎞⎟ ⎥ 25 ⎞⎟⎟ ( ) = −∞+∞ ℓ = ℓ im 3x + 16x + 25x 2 ⎢ 2⎜ ℓ im ⎢3x + x ⎜⎜16 + ⎟⎟ ⎥ = ℓ im ⎜⎜⎜3x + x ⋅ 16 + ⎟= x→−∞ x→−∞ ⎢⎣ ⎝ x ⎟⎠ ⎥ x→−∞ ⎜⎝⎜ x ⎟⎟⎠ ⎦ ⎛ ⎡ ⎛ ⎤ x→−∞ 25 ⎞⎟⎟ 25 ⎞⎟⎟ ⎥ = ⎜ ℓ im ⎜⎜3x − x ⋅ 16 + x =− x x→−∞ ⎜⎜⎝ ⎢ ⎜ ⎟⎟ = ℓ im ⎢ x ⋅ ⎜⎜3 − 16 + x ⎟⎠ x→−∞ ⎢ ⎜⎜⎝ ⎟⎟ ⎥ = (−∞) ⋅ 3 − 16 + 0 ⇒ x ⎟⎠ ⎥ ( ) ⎣ ⎦ ⇒ ℓ = +∞ . - 369 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr Μαθη ματ ι κά Γ΄ Λυ κεί ο υ • Κ ΕΦΑ Λ Α Ι Ο 1 • Ό ρ ι ο -συνέχε ι α συνά ρτησης 4η ΕΝΟΤΗΤΑ. “Υπολογιστικά” θέµατα ορίων: όριο συνάρτησης στο άπειρο

⎡ ⎛ ⎤ 1 ⎞⎟ ⎛ 1 ⎞⎟ ⎥ ( x + x − 2x + 1) = +∞−∞ ℓ = ℓ im 2 2 ⎢ 2⎜ ⎟ 2⎜ ⎟ ℓ im ⎢ x ⎜⎜1 + ⎟ − x ⎜⎜2 + 2 ⎟ ⎥ = x→−∞ x→−∞ ⎢⎣ ⎝ x ⎟⎠ ⎝ x ⎟⎠ ⎥ ⎦ ⎛ 1 1 ⎞⎟ x→−∞ ⎛ 1 1 ⎞⎟ ⎜ ⎜ = ℓ im ⎜⎜ x ⋅ 1 + − x ⋅ 2 + 2 ⎟⎟⎟ = ℓ im ⎜⎜−x ⋅ 1 + + x ⋅ 2 + 2 ⎟⎟⎟ = x→−∞ ⎜ x x ⎟⎠ x =− x x→−∞ ⎜⎜⎝ x x ⎟⎠ ⎜⎝ ⎡ ⎛ ⎤ 1 ⎞⎟⎟ ⎥ x→−∞ ⎢ ⎜⎜ 1 = ℓ im ⎢ x ⋅ ⎜ 2 + 2 − 1 + ⎟⎟ ⎥ = (−∞) ⋅ ⎢⎣ ⎜⎝⎜ x x ⎟⎠ ⎥ ( 2 + 0 − 1 + 0 ) = ( 2 − 1) ⋅ (−∞) ⇒ ⎦ ⇒ ℓ = −∞ , αφού είναι 2 −1 > 0 ⇔ 2 > 1 ⇔ 2 > 1 ⇔ 2 > 1 .

⎡ ⎛ ⎤ 3 ⎞⎟ ⎛ 1 ⎞⎟ ⎥ ( 4x − 3x − x + 1) = +∞−∞ ℓ = ℓ im 2 2 ⎢ 2⎜ ⎟ 2⎜ ⎟ ℓ im ⎢ x ⎜⎜4 − ⎟ − x ⎜⎜1 + 2 ⎟ ⎥ = x→ +∞ x→ +∞ ⎢⎣ ⎝ x ⎟⎠ ⎝ x ⎟⎠ ⎥ ⎦ ⎛ 3 1 ⎞⎟⎟ x→+∞ ⎛ 3 1 ⎞⎟⎟ ⎜⎜ ⎜⎜ = ℓ im ⎜ x ⋅ 4 − − x ⋅ 1 + 2 ⎟⎟ = ℓ im ⎜x ⋅ 4 − − x ⋅ 1 + 2 ⎟⎟ = x→ +∞ ⎜ x x ⎟⎠ x = x x→ +∞ ⎜⎜⎝ x x ⎟⎠ ⎜⎝ ⎡ ⎛ ⎤ 1 ⎞⎟ x→ +∞ ⎢⎣ ⎜⎜⎝ ⎜ 3 = ℓ im ⎢⎢ x ⋅ ⎜⎜ 4 − − 1 + 2 ⎟⎟⎟ ⎥⎥ = (+∞) ⋅ x x ⎟⎠ ⎥ ( 4 − 0 − 1 + 0 ) ⇒ ℓ = +∞ . ⎦

ℓ = ℓ im ( 4x − 3 + 2x) = ℓ im 2 ( 4x − 3 + 2x)( 4x − 3 − 2x) = +∞−∞ 2 2 x→−∞ x→−∞ 2 4x − 3 − 2x −3 2 2 +∞ 4x − 3 − 4x −3 = ℓ im = ℓ im ⇒ ℓ =0 . x→−∞ 2 x→−∞ 2 4x − 3 − 2x 4x − 3 − 2x - 370 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr Μαθη ματ ι κά Γ΄ Λυ κεί ο υ • Κ ΕΦΑ Λ Α Ι Ο 1 • Ό ρ ι ο -συνέχε ι α συνά ρτησης 4η ΕΝΟΤΗΤΑ. “Υπολογιστικά” θέµατα ορίων: όριο συνάρτησης στο άπειρο

(4x + 16x − x + 1 )(4x − 16x − x + 1 ) 2 2 ( ) −∞+∞ 2 ℓ = ℓ im 4x + 16x − x + 1 = ℓ im = x→−∞ x→−∞ 4x − 16x 2 − x + 1 16x 2 − (16x 2 − x + 1) 16x 2 − 16x 2 + x − 1 = ℓ im = ℓ im = x→−∞ x→−∞ 4x − 16x 2 − x + 1 4x − 16x 2 − x + 1 x→−∞ x −1 x −1 = ℓ im = ℓ im = x→−∞ ⎛ 1 1⎞ x→−∞ 1 1 x =− x 4x − x ⎜⎜⎜16 − + 2 ⎟⎟⎟ 2 4x − x ⋅ 16 − + 2 ⎝ x x ⎠⎟ x x ⎛ 1⎞ x ⋅ ⎜⎜⎜1 − ⎟⎟⎟ x −1 ⎝ x ⎠⎟ = ℓ im = ℓ im = x→−∞ 1 1 x→−∞ ⎛ 1 1 ⎞⎟ ⎜ 4x + x ⋅ 16 − + 2 x ⋅⎜⎜4 + 16 − + 2 ⎟⎟⎟ x x ⎜⎝ x x ⎟⎠ 1 1− x 1− 0 1 = ℓ im = ⇒ ℓ= . x→−∞ 1 1 4 + 16 − 0 + 0 8 4 + 16 − + 2 x x

( 2x − 3 − 2x + 1 )( 2x − 3 + 2x + 1 ) 2 2 2 2 ( 2x − 3 − 2x + 1 ) +∞−∞ 2 2 ℓ = ℓ im = ℓ im = x→−∞ x→−∞ 2x 2 − 3 + 2x 2 + 1 2x 2 − 3 − (2x 2 + 1) 2x 2 − 3 − 2x 2 − 1 −4 = ℓ im = ℓ im = ℓ im ⇒ x→−∞ 2 2 x→−∞ 2 2 x→−∞ 2x − 3 + 2x + 1 2x − 3 + 2x + 1 2x − 3 + 2x 2 + 1 2 −4 +∞ ⇒ ℓ=0 . - 371 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr Μαθη ματ ι κά Γ΄ Λυ κεί ο υ • Κ ΕΦΑ Λ Α Ι Ο 1 • Ό ρ ι ο -συνέχε ι α συνά ρτησης 4η ΕΝΟΤΗΤΑ. “Υπολογιστικά” θέµατα ορίων: όριο συνάρτησης στο άπειρο

(3x − 9x − x + 1 )(3x + 9x − x + 1 ) 2 2 ( ) +∞−∞ 2 ℓ = ℓ im 3x − 9x − x + 1 = ℓ im = x→ +∞ x→ +∞ 3x + 9x 2 − x + 1 9x 2 − (9x 2 − x + 1) 9x 2 − 9x 2 + x − 1 x −1 = ℓ im = ℓ im = ℓ im = x→ +∞ 3x + 9x 2 − x + 1 x→ +∞ 3x + 9x 2 − x + 1 x→ +∞ ⎛ 1 1⎞ 3x + x 2 ⎜⎜⎜9 − + 2 ⎟⎟⎟ ⎝ x x ⎟⎠ x→+∞ x −1 x −1 = ℓ im = ℓ im = x→ +∞ x→ +∞ 1 1 x =x 1 1 3x + x ⋅ 9 − + 2 3x + x ⋅ 9 − + 2 x x x x ⎛ 1⎞ x ⋅ ⎜⎜⎜1 − ⎟⎟⎟ 1 1− ⎝ x ⎠⎟ x 1− 0 = ℓ im = ℓ im = ⇒ x→ +∞ ⎛ 1 1 ⎞⎟ x→ +∞ 1 1 3+ 9−0+0 ⎜ x ⋅ ⎜⎜3 + 9 − + 2 ⎟⎟⎟ 3+ 9− + 2 ⎜⎝ x x ⎟⎠ x x 1 ⇒ ℓ= . 6

( x − x − x + 2 )( x − x + x + 2 ) 2 2 2 2 ( x −x − x +2 ) +∞−∞ 2 2 ℓ = ℓ im = ℓ im = x→ +∞ x→ +∞ x2 − x + x2 + 2 x 2 − x − (x 2 + 2) x2 − x − x2 − 2 −x − 2 = ℓ im = ℓ im = ℓ im = x→ +∞ x→ +∞ x→ +∞ x2 − x + x2 + 2 x2 − x + x2 + 2 x2 − x + x2 + 2 x→+∞ −(x + 2) x+2 = ℓ im = − ℓ im = x→ +∞ ⎛ 1⎞ ⎛ 2⎞ x→ +∞ 1 2 x =x x 2 ⎜⎜⎜1 − ⎟⎟⎟ + x 2 ⎜⎜⎜1 + 2 ⎟⎟⎟ x ⋅ 1− + x ⋅ 1+ 2 ⎝ x ⎠⎟ ⎝ x ⎠⎟ x x ⎛ 2⎞ x ⋅ ⎜⎜⎜1 + ⎟⎟⎟ x+2 ⎝ x ⎠⎟ = − ℓ im = − ℓ im = x→ +∞ 1 2 x→ +∞ ⎛ 1 2 ⎞⎟ ⎜ x ⋅ 1− + x ⋅ 1+ 2 x ⋅ ⎜⎜ 1 − + 1 + 2 ⎟⎟⎟ x x ⎜⎝ x x ⎟⎠ - 372 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr Μαθη ματ ι κά Γ΄ Λυ κεί ο υ • Κ ΕΦΑ Λ Α Ι Ο 1 • Ό ρ ι ο -συνέχε ι α συνά ρτησης 4η ΕΝΟΤΗΤΑ. “Υπολογιστικά” θέµατα ορίων: όριο συνάρτησης στο άπειρο 2 1+ x 1+ 0 1 = − ℓ im =− ⇒ ℓ=− . x→ +∞ 1 2 1− 0 + 1+ 0 2 1− + 1+ 2 x x - 373 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr