Ε2-Κ7-8-9-εξώφυλλο

Λυμένο παράδειγμα 13 από «Ε2-Κ7-8-9-εξώφυλλο». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: Απλή (βασική) συνάρτηση είναι η f(x) = x 2 , με f ′(x) = 2x . Όμως η συνάρτηση f(x) = (2x + 1)2 είναι σύνθετη (αφού κάτω από το τετράγωνο δεν έχει απλό x, αλλά μια παράσταση του x), οπότε f ′(x) = 2(2x + 1)2−1 ⋅ (2x + 1)′ = 2(2x + 1) ⋅ 2 = 4(2x + 1) . Επίσης η συνάρτηση f(x) = ηµ2x = (ηµx)2 είναι σύνθετη (αφού κάτω από το τετράγωνο δεν έχει απλό x, αλλά μια παράσταση του x), οπότε - 114 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr Μαθη ματ ι κά Γ΄ Λυ κεί ο υ • Κ ΕΦΑ Λ Α Ι Ο 2 • Δ ι α φ ορ ι κός Λ ογ ι σμ ός 2η ΕΝΟΤΗΤΑ. Παραγωγίσιµες συναρτήσεις. Κανόνες παραγώγισης f ′(x) = 2(ηµx)2−1 ⋅ (ηµx)′ = 2ηµx ⋅ συνx = ηµ2x . Ακόμη, η συνάρτηση f(x) = ℓn2x = (ℓnx)2 είναι σύνθετη (αφού κάτω από το τετράγωνο δεν έχει απλό x, αλλά μια παράσταση του x), οπότε 1 2ℓnx f ′(x) = 2(ℓnx)2−1 ⋅ (ℓnx)′ = 2ℓnx ⋅ = . x x

Λυμένο παράδειγμα 14 από «Ε2-Κ7-8-9-εξώφυλλο». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: 1 Απλή (βασική) συνάρτηση είναι η f(x) = x , με f ′(x) = . 2 x Όμως η συνάρτηση f(x) = x 2 + 1 είναι σύνθετη (αφού κάτω από την ρίζα δεν έχει απλό x, αλλά μια παράσταση του x), οπότε 1 1 x f ′(x) = ⋅ (x 2 + 1)′ = ⋅ 2x = . 2 x2 + 1 2 x2 + 1 x2 + 1 Επίσης η συνάρτηση f(x) = ℓnx είναι σύνθετη (αφού κάτω από την ρίζα δεν έχει απλό x, αλλά μια παράσταση του x), οπότε 1 1 1 1 f ′(x) = ⋅ (ℓnx)′ = = ⋅ . 2 ℓnx 2 ℓnx x 2x ℓnx

Λυμένο παράδειγμα 15 από «Ε2-Κ7-8-9-εξώφυλλο». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: Απλή (βασική) συνάρτηση είναι η f(x) = ηµx , με f ′(x) = συνx . Όμως η συνάρτηση f(x) = ηµ2x είναι σύνθετη (αφού μέσα στο «ημ» δεν έχει απλό x, αλλά μια παράσταση του x), οπότε f ′(x) = συν2x ⋅ (2x)′ = συν2x ⋅ 2 = 2συν2x . Επίσης η συνάρτηση f(x) = ηµ(x 2 + 2x) είναι σύνθετη (αφού μέσα στο «ημ» δεν έχει απλό x, αλλά μια παράσταση του x), οπότε f ′(x) = συν(x 2 + 2x) ⋅ (x 2 + 2x)′ = συν(x 2 + 2x) ⋅ (2x + 2) = 2(x + 1) ⋅ συν(x 2 + 2x) . - 115 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr Μαθη ματ ι κά Γ΄ Λυ κεί ο υ • Κ ΕΦΑ Λ Α Ι Ο 2 • Δ ι α φ ορ ι κός Λ ογ ι σμ ός 2η ΕΝΟΤΗΤΑ. Παραγωγίσιµες συναρτήσεις. Κανόνες παραγώγισης

Λυμένο παράδειγμα 16 από «Ε2-Κ7-8-9-εξώφυλλο». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: Απλή (βασική) συνάρτηση είναι η f(x) = συνx , με f ′(x) = −ηµx . Όμως η συνάρτηση f(x) = συν2x είναι σύνθετη (αφού μέσα στο «συν» δεν έχει απλό x, αλλά μια παράσταση του x), οπότε f ′(x) = −ηµ2x ⋅ (2x)′ = −ηµ2x ⋅ 2 = −2ηµ2x . Επίσης η συνάρτηση f(x) = συν x είναι σύνθετη (αφού μέσα στο «συν» δεν έχει απλό x, αλλά μια παράσταση του x), οπότε ′ f ′(x) = −ηµ x ⋅ ( x ) = −ηµ x ⋅ 2 1x = − ηµ2 xx .

Λυμένο παράδειγμα 17 από «Ε2-Κ7-8-9-εξώφυλλο». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: Απλή (βασική) συνάρτηση είναι η f(x) = e x , με f ′(x) = e x . 2 Όμως η συνάρτηση f(x) = e x +1 είναι σύνθετη (αφού πάνω στο «e» δεν έχει απλό x, αλλά μια παράσταση του x), οπότε 2 2 2 f ′(x) = e x +1 ⋅ (x 2 + 1)′ = e x +1 ⋅ 2x = 2xe x +1 . ΠΡΟΣΟΧΗ ! Η συνάρτηση f(x) = e ℓnx , αν και είναι σύνθετη, εντούτοις δεν συμφέρει να παραγωγι- στεί με τον κανόνα της σύνθετης συνάρτησης, αφού είναι f(x) = e ℓnx = x , οπότε f ′(x) = (x)′ = 1 .

Λυμένο παράδειγμα 18 από «Ε2-Κ7-8-9-εξώφυλλο». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: 1 Απλή (βασική) είναι η συνάρτηση f(x) = ℓnx , με f ′(x) = . x Όμως η συνάρτηση f(x) = ℓn(2x + 3) είναι σύνθετη (αφού μέσα στο « ℓn » δεν έχει απλό x, αλλά μια παράσταση του x), οπότε 1 1 2 f ′(x) = ⋅ (2x + 3)′ = ⋅2 = . 2x + 3 2x + 3 2x + 3 Επίσης η συνάρτηση f(x) = ℓn(ηµx) είναι σύνθετη (αφού μέσα στο « ℓn » δεν έχει απλό x, αλλά μια παράσταση του x), οπότε - 116 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr Μαθη ματ ι κά Γ΄ Λυ κεί ο υ • Κ ΕΦΑ Λ Α Ι Ο 2 • Δ ι α φ ορ ι κός Λ ογ ι σμ ός 2η ΕΝΟΤΗΤΑ. Παραγωγίσιµες συναρτήσεις. Κανόνες παραγώγισης 1 1 συνx f ′(x) = ⋅ (ηµx)′ = ⋅ συνx = = σϕx . ηµx ηµx ηµx ΠΡΟΣΟΧΗ ! Η συνάρτηση f(x) = ℓnx 2 , αν και είναι σύνθετη, εντούτοις δεν συμφέρει να παραγωγι- στεί με τον κανόνα της σύνθετης συνάρτησης, αφού είναι f(x) = ℓnx 2 = 2ℓnx , οπότε 1 2 f ′(x) = 2 ⋅ = . x x

Λυμένο παράδειγμα 19 από «Ε2-Κ7-8-9-εξώφυλλο». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: 1 Απλή (βασική) συνάρτηση είναι η f(x) = εϕx , με f ′(x) = . συν2x Όμως η συνάρτηση f(x) = εϕ2x είναι σύνθετη (αφού μέσα στο «εφ» δεν έχει απλό x, αλλά μια παράσταση του x), οπότε 1 1 2 f ′(x) = 2 ⋅ (2x)′ = 2 ⋅2 = . συν 2x συν 2x συν2 2x

Λυμένο παράδειγμα 20 από «Ε2-Κ7-8-9-εξώφυλλο». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: −1 Απλή (βασική) συνάρτηση είναι η f(x) = σϕx , με f ′(x) = . ηµ2x Όμως η συνάρτηση f(x) = σϕ3x είναι σύνθετη (αφού μέσα στο «σφ» δεν έχει απλό x, αλλά μια παράσταση του x), οπότε −1 −1 −3 f ′(x) = 2 ⋅ (3x)′ = 2 ⋅ 3 = 2 . ηµ 3x ηµ 3x ηµ 3x

Λυμένο παράδειγμα 21 από «Ε2-Κ7-8-9-εξώφυλλο». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: Απλή (βασική) συνάρτηση είναι η f(x) = α x , α > 0 , με f ′(x) = α x ⋅ ℓnα . Όμως η συνάρτηση f(x) = 22x+1 είναι σύνθετη (αφού στον εκθέτη δεν έχει απλό x, αλλά μια παράσταση του x), οπότε f ′(x) = 22x+1 ⋅ ℓn2 ⋅ (2x + 1)′ = 22x+1 ⋅ ℓn2 ⋅ 2 = 22x+2 ⋅ ℓn2 . - 117 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr Μαθη ματ ι κά Γ΄ Λυ κεί ο υ • Κ ΕΦΑ Λ Α Ι Ο 2 • Δ ι α φ ορ ι κός Λ ογ ι σμ ός 2η ΕΝΟΤΗΤΑ. Παραγωγίσιµες συναρτήσεις. Κανόνες παραγώγισης Επίσης η συνάρτηση f(x) = (ηµθ) x είναι σύνθετη (αφού στον εκθέτη δεν έχει απλό x, αλλά μια παράσταση του x), οπότε (ηµθ) ⋅ ℓn (ηµθ) . x ′ f ′(x) = (ηµθ) ⋅ ℓn (ηµθ) ⋅ ( x ) = (ηµθ) ⋅ ℓn (ηµθ) ⋅ x 1 x = 2 x 2 x Στην εκθετική να προσέχεις το εξής! Στην βάση της έχεις αριθμό και στον εκθέτη μια παράσταση του x και δεν παραγωγί- ζεται σύμφωνα με τον κανόνα της δύναμης! Αυτό είναι ένα σύνηθες λάθος.

Λυμένο παράδειγμα 22 από «Ε2-Κ7-8-9-εξώφυλλο». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: Η απλή μορφή της f είναι f(x), που στην παραγώγιση δίνει f ′(x) . Όταν μέσα στην πα- ρένθεση, όμως, έχει παράσταση του x, τότε έχουμε σύνθετη μορφή της, η οποία παρα- γωγίζεται βάσει του τύπου ⎡ f (g(x))⎤ ′ = f ′ (g(x)) ⋅ g ′(x) . ⎣⎢ ⎦⎥ Για παράδειγμα: ′ 1 f ′(ℓnx) • είναι ⎡⎢ f(ℓnx)⎤⎥ = f ′(ℓnx) ⋅ (ℓnx)′ = f ′(ℓnx) ⋅ = . ⎣ ⎦ x x ′ • είναι ⎡⎢ f(x 2 )⎤⎥ = f ′(x 2 ) ⋅ (x 2 )′ = 2x ⋅ f ′(x 2 ) . ⎣ ⎦ ′ • είναι ⎡⎢ f(e2x )⎤⎥ = f ′(e2x ) ⋅ (e2x )′ = f ′(e2x ) ⋅ e2x ⋅ (2x)′ = 2e2x f ′(e2x ) . ⎣ ⎦ ′ • είναι ⎡⎢ f(ηµx)⎤⎥ = f ′(ηµx) ⋅ (ηµx)′ = f ′(ηµx) ⋅ συνx . ⎣ ⎦ Σε κάθε περίπτωση η f πρέπει να είναι παραγωγίσιμη, αλλιώς δεν μπορεί να εφαρμο- στεί ο κανόνας παραγώγισης. - 118 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Λυμένο παράδειγμα 23 από «Ε2-Κ7-8-9-εξώφυλλο». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: Ας θεωρήσουμε την συνάρτηση f(x) = (x 3 + 2x)(x 2 + 1) . Θα βρω την παράγωγό της με δύο τρόπους: με απευθείας εφαρμογή του κανόνα του γινομένου και με το «κόλπο». 1ος τρόπος f ′(x) = (x 3 + 2x)′ ⋅ (x 2 + 1) + (x 3 + 2x) ⋅ (x 2 + 1)′ = (3x 2 + 2)(x 2 + 1) + 2x(x 3 + 2x) = = 3x 4 + 3x 2 + 2x 2 + 2 + 2x 4 + 4x 2 = 5x 4 + 9x 2 + 2 . 2ος τρόπος f(x) = (x 3 + 2x)(x 2 + 1) = x 5 + x 3 + 2x 3 + 2x = x 5 + 3x 3 + 2x ⇒ f ′(x) = 5x 4 + 9x 2 + 2 . Η υπεροχή του «κόλπου» είναι παραπάνω από εμφανής. ❖ 2ο “κόλπο” Αν η f(x) είναι κλάσμα το οποίο στον αριθμητή έχει μια παράσταση του x και στον πα- ρονομαστή έχει αριθμό, τότε «κατέβασε» τον αριθμητή δεξιά από το κλάσμα. Τότε ο αριθμός που έχεις στον παρονομαστή θα «βγει» μπροστά σαν συντελεστής και μετά παραγωγίζεις με τον κανόνα ⎡ c ⋅ f(x)⎤ ′ = c ⋅ f ′(x) . ⎢⎣ ⎥⎦ Συντομότερα να το πω, παραγώγισε μόνο τον αριθμητή. - 119 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr Μαθη ματ ι κά Γ΄ Λυ κεί ο υ • Κ ΕΦΑ Λ Α Ι Ο 2 • Δ ι α φ ορ ι κός Λ ογ ι σμ ός 2η ΕΝΟΤΗΤΑ. Παραγωγίσιµες συναρτήσεις. Κανόνες παραγώγισης

Λυμένο παράδειγμα 24 από «Ε2-Κ7-8-9-εξώφυλλο». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: x2 Ας πάρουμε την συνάρτηση f(x) = . 2 Θα βρω την παράγωγό της με δύο τρόπους: με παραγώγιση σύμφωνα με τον κανόνα του πηλίκου και με το «κόλπο». 1ος τρόπος (x 2 )′ ⋅ 2 − x 2 ⋅ (2)′ 2x ⋅ 2 − x 2 ⋅ 0 4x f ′(x) = = = =x. 2 2 4 4 2ος τρόπος x2 1 1 1 f(x) = = x 2 ⇒ f ′(x) = ⋅ (x 2 )′ = ⋅ 2x = x , 2 2 2 2 δηλαδή ουσιαστικά παραγώγισα μόνο τον αριθμητή. Και πάλι, νομίζω, είναι προφανής η υπεροχή του «κόλπου». Να σημειωθεί ότι στον αριθμητή δεν έχει σημασία τι παράσταση του x (συνάρτηση) έχω. Στο παράδειγμα επέλεξα μια απλή συνάρτηση, ώστε να μην υπάρξουν πολλές πράξεις. ❖ 3ο “κόλπο” Αν η f(x) είναι κλάσμα, το οποίο στον αριθμητή έχει αριθμό και στον παρονομαστή δύναμη του x ή e x («απλό» ή «σύνθετο»), τότε πολλές φορές εξυπηρετεί να «ανεβά- σεις» τον παρονομαστή δίπλα στον αριθμητή (αλλάζοντας το πρόσημο του εκθέτη του παρονομαστή) και να παραγωγίσεις με τον κανόνα της δύναμης (απλής ή σύνθετης). Το «κόλπο» δεν προσφέρει κάποια οικονομία σε πράξεις, αν στον παρονομαστή δεν έχεις δύναμη του x ή e x , «απλό» ή «σύνθετο».

Λυμένο παράδειγμα 25 από «Ε2-Κ7-8-9-εξώφυλλο». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: 1 Ας πάρουμε την συνάρτηση f(x) = . ex Θα βρω την παράγωγό της με δύο τρόπους: εφαρμόζοντας τον κανόνα του πηλίκου και με το «κόλπο». - 120 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr Μαθη ματ ι κά Γ΄ Λυ κεί ο υ • Κ ΕΦΑ Λ Α Ι Ο 2 • Δ ι α φ ορ ι κός Λ ογ ι σμ ός 2η ΕΝΟΤΗΤΑ. Παραγωγίσιµες συναρτήσεις. Κανόνες παραγώγισης 1ος τρόπος (1)′ ⋅ e x − 1 ⋅ (e x )′ 0 ⋅ ex − ex − ex 1 f ′(x) = x 2 = x 2 = = − . (e ) (e ) (e x ) 2 ex 2ος τρόπος 1 1 f(x) = x = e−x ⇒ f ′(x) = e−x ⋅ (−x)′ = −e−x = − x . e e Και πάλι υπερέχει το «κόλπο». ❖ 4ο “κόλπο” Αν η f(x) έχει ℓn , τότε είναι πολύ πιθανό ο τύπος της να απλοποιείται με την βοήθεια ιδιοτήτων του λογάριθμου. Κάνε πρώτα αυτόν τον έλεγχο και, αν μπορεί να γίνει απλοποίηση του τύπου, στις περισσότερες περιπτώσεις θα κερδίσεις στις πράξεις, αφού θα έχεις ευκολότερες.

Λυμένο παράδειγμα 26 από «Ε2-Κ7-8-9-εξώφυλλο». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: Ας πάρουμε την συνάρτηση f(x) = ℓn(x 2e x ) . Θα βρω την παράγωγό της με δύο τρόπους: με τον κανόνα της σύνθετης συνάρτησης και με το «κόλπο». 1ος τρόπος 1 1 1 f ′(x) = ⋅ (x 2e x )′ = 2 x ⋅ ⎡⎢(x 2 )′ ⋅ e x + x 2 ⋅ (e x )′⎤⎥ = 2 x ⋅ (2xe x + x 2e x ) = 2 x xe xe ⎣ ⎦ xe 1 x+2 = ⋅ xe x ⋅ (2 + x) = . 2 x e x x 2ος τρόπος 1 2+ x f(x) = ℓn(x 2e x ) = ℓnx 2 + ℓne x = 2ℓnx + x ⇒ f ′(x) = 2 ⋅ +1 = . x x Δεν τίθεται θέμα σύγκρισης, έτσι; Να σημειωθεί ότι, αν δεν μπορεί να χρησιμοποιηθεί κάποια ιδιότητα των λογάριθμων για την απλοποίηση του τύπου της f(x), τότε το «κόλπο» δεν δουλεύει. - 121 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Λυμένο παράδειγμα 27 από «Ε2-Κ7-8-9-εξώφυλλο». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: Ας πάρουμε την συνάρτηση f(x) = 3 x . 1 3 Είναι f(x) = x = x , οπότε 3 1 2 1 3 −1 1 − 1 1 1 1 1 f ′(x) = x = x 3= ⋅ 2 = ⋅ = . 3 3 3 3 3 3 x2 3 ⋅ 3 2 x x Αυτό που αναφέρθηκε στο σχόλιο νωρίτερα είναι ότι δεν θα έπρεπε να αφήσεις την παράγωγο στην μορφή 2 1 −3 f ′(x) = x . 3 ΠΡΟΣΟΧΗ ! µ Στην ιδιότητα α ν = ν α µ πρέπει να είναι α > 0 , µ ∈ ! και ν ∈ ! * , αλλιώς δεν εφαρ- μόζεται! 1 Υπενθυμίζεται η κλασική μετατροπή, x =x . 2 - 122 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης ⎧⎪ 2 ⎪ x , αν x < 0 f(x) = ⎨ . ⎪⎪ συνx , αν x ≥ 0 ⎪⎩

Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης ⎧⎪ 3 ⎪ x , αν x ≤ 0 f(x) = ⎪⎨ 4 . ⎪⎪ x , αν x > 0 ⎩⎪

Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης f(x) = x x .

46. f(x) = x 5 + x − 5 .

47. f(x) = x 3 + ℓnx + 5 .

48. f(x) = x + συνx .

49. f(x) = ℓnx + ηµ .

50. f(x) = ηµx + ℓn5 .

51. f(x) = ℓnx + x − 7 .