Θεώρημα του Rolle – Κατηγορία 34

Δίνεται συνάρτηση f, συνεχής στο διάστημα ⎡⎢1, 2⎤⎥ και παραγωγίσιμη στο διάστημα ⎣ ⎦ (1, 2) , με f(2) − f(1) = ℓn2 . Να δείξετε ότι υπάρχει ξ ∈ (1, 2) τέτοιο, ώστε 2ξ 2 − 3ξ + 1 f ′(ξ) = . ξ

Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο ⎡⎢−α , α ⎤⎥ , α > 0 , και περιττή. Να δείξετε ότι ⎣ ⎦ υπάρχει ξ ∈ (−α , α) τέτοιο, ώστε να ισχύει α ⋅ f ′(ξ) = f(α) . Πηγή: Θεόδωρος Παγώνης, «Μαθηματικά Γ΄ Κατεύθυνσης 2015-6», lisari.blogspot.gr.

Δίνεται η συνάρτηση f, η οποία είναι παραγωγίσιμη στο ⎡⎢0 ,1⎤⎥ , με f(0) = 0 και ⎣ ⎦ f(x) ≠ 0 , για κάθε x ≠ 0 . Να δείξετε ότι υπάρχει x 0 ∈ (0 ,1) τέτοιο, ώστε f ′(x 0 ) f ′(1 − x 0 ) = . f(x 0 ) f(1 − x 0 ) Πηγή: Θεόδωρος Παγώνης, «Μαθηματικά Γ΄ Κατεύθυνσης 2015-6», lisari.blogspot.gr.

Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση f : ⎡⎢α , β⎤⎥ → ! , με f(x) > 0 , για κάθε x ∈ ⎡⎢α , β⎤⎥ , ώστε ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ f(β) ℓn = β − α . Να δειχθεί ότι: f(α) α. η συνάρτηση g(x) = e−x f(x) ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του θεωρήματος του Rolle στο ⎡⎢α , β⎤⎥ . ⎣ ⎦ β. υπάρχει x 0 ∈ (α , β) , ώστε f ′(x 0 ) = f(x 0 ) .

Έστω οι συναρτήσεις f, g, συνεχείς στο ⎡⎢α , β⎤⎥ και παραγωγίσιμες στο (α , β) . Αν είναι ⎣ ⎦ g(x) ≠ 0 , για κάθε x ∈ ⎡⎢α , β⎤⎥ , και g ′(x) ≠ 0 , για κάθε x ∈ (α , β) , και ισχύει ⎣ ⎦ f(β) f(α) f ′(γ) f(γ) = , να αποδείξετε ότι υπάρχει γ ∈ (α , β) , ώστε = . g(β) g(α) g ′(γ) g(γ)

Πρόσεξέ την πάρα πολύ! Έστω συνάρτηση f : ⎡⎢α , β⎤⎥ → ! , με 0 < α < β , ώστε η ευθεία που ενώνει τα σημεία ⎣ ⎦ Α (α , f(α)) και Β (β , f(β)) της C f να διέρχεται από την αρχή των αξόνων. Να δείξετε ότι: f(α) f(β) α. ισχύει = . α β β. αν η f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο ⎡⎢α , β⎤⎥ , με f ′′(x) ≠ 0 , για κάθε x ∈ ⎡⎢α , β⎤⎥ , ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ τότε υπάρχει ακριβώς μία ευθεία (ε) που εφάπτεται της C f και η οποία περνάει από την αρχή των αξόνων.

Έστω οι παραγωγίσιμες συναρτήσεις f , g : ! → ! , με g(0) = g(1) = 0 . Να δείξετε ότι: α. για την συνάρτηση h(x) = g(x) ⋅ e−f(x) ικανοποιούνται οι προϋποθέσεις του θεωρή- ματος του Rolle στο διάστημα ⎡⎢0 ,1⎤⎥ . ⎣ ⎦ β. υπάρχει x 0 ∈ (0 ,1) , ώστε g ′(x 0 ) = g(x 0 ) ⋅ f ′(x 0 ) .

Πρόσεξέ την πάρα πολύ! Έστω οι συναρτήσεις f, g, οι οποίες είναι συνεχείς στο ⎡⎢α , β⎤⎥ και παραγωγίσιμες στο ⎣ ⎦ (α , β) , ώστε g′(x) ≠ 0 , για κάθε x ∈ (α , β) . α. Να δείξετε ότι g(α) ≠ g(β) . β. Να βρεθεί ο κ ∈ ! , ώστε η συνάρτηση F(x) = f(x) − κ ⋅ g(x) να ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του θεωρήματος του Rolle στο ⎡⎢α , β⎤⎥ . ⎣ ⎦ γ. Να δείξετε ότι υπάρχει ένα, τουλάχιστον, x 0 ∈ (α , β) , ώστε να ισχύει f ′(x 0 ) f(β) − f(α) = . g ′(x 0 ) g(β) − g(α)

Πρόσεξέ την πάρα πολύ! Δίνεται συνάρτηση f, συνεχής στο ⎡⎢α , β⎤⎥ και παραγωγίσιμη στο (α , β) , με f(α) = 2β , ⎣ ⎦ f(β) = 2α . Να δείξετε ότι υπάρχει ξ ∈ (α , β) , ώστε η εφαπτομένη της C f στο σημείο (ξ , f(ξ)) να είναι παράλληλη στην ευθεία ε : y + 2x = e . 2

Πρόσεξέ την πάρα πολύ! Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση f : ! → ! , με f(2) = 0 . Να δείξετε ότι υπάρχει ξ ∈ ! , ώστε η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο Μ (ξ , f(ξ)) να τέμνει τον x΄x στο Ρ(2ξ , 0) .

⎡ π 3π ⎤ Θεωρούμε συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής και μη μηδενική στο ⎢ , ⎥ και πα- ⎢2 2 ⎥ ⎣ ⎦ ⎛ π 3π ⎞⎟ ⎛ π 3π ⎞⎟ ραγωγίσιμη στο ⎜⎜⎜ , ⎟⎟ . Να αποδείξετε ότι υπάρχει x 0 ∈ ⎜⎜ , ⎟ ⎜⎝ 2 2 ⎟⎟⎠ τέτοιο, ώστε ⎝ 2 2 ⎟⎠ f ′(x 0 ) = f(x 0 ) ⋅ εϕx 0 .

Δίνεται συνάρτηση f, συνεχής στο ⎡⎢α , β⎤⎥ και παραγωγίσιμη στο (α , β) , με α > 0 , και ⎣ ⎦ f(α) f(β) = . Να αποδείξετε ότι υπάρχει ξ ∈ (α , β) , ώστε ξ ⋅ f ′(ξ) = f(ξ) . α β

Πρόσεξέ την πάρα πολύ! Η συνάρτηση f : ⎡⎢1, 4⎤⎥ → ! είναι δύο φορές παραγωγίσιμη και ισχύουν f(1) = 2 και ⎣ ⎦ f(4) = 8 . Να αποδείξετε ότι υπάρχει εφαπτομένη της C f , που διέρχεται από την αρχή των αξόνων.