Άσκηση 388

Βοηθητική μεταγραφή

Πρόσεξέ την πάρα πολύ! Έστω οι συναρτήσεις f, g, οι οποίες είναι συνεχείς στο ⎡⎢α , β⎤⎥ και παραγωγίσιμες στο ⎣ ⎦ (α , β) , ώστε g′(x) ≠ 0 , για κάθε x ∈ (α , β) . α. Να δείξετε ότι g(α) ≠ g(β) . β. Να βρεθεί ο κ ∈ ! , ώστε η συνάρτηση F(x) = f(x) − κ ⋅ g(x) να ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του θεωρήματος του Rolle στο ⎡⎢α , β⎤⎥ . ⎣ ⎦ γ. Να δείξετε ότι υπάρχει ένα, τουλάχιστον, x 0 ∈ (α , β) , ώστε να ισχύει f ′(x 0 ) f(β) − f(α) = . g ′(x 0 ) g(β) − g(α)

Η αυτόματη μεταγραφή είναι βοηθητική και μπορεί να μην αποδίδει με ακρίβεια όλους τους μαθηματικούς τύπους και τα σύμβολα. Η σάρωση παραμένει η πηγή αναφοράς.

Εκφώνηση

Αναλυτική λύση