Συνέπειες Θεωρήματος Μέσης Τιμής – Κατηγορία 45

Να βρεθεί η συνάρτηση f, όταν f ′(x) = 12x 2 − 4x + 5 , x ∈ ! , f(0) = 7 . Πηγή: Θεόδωρος Παγώνης, «Μαθηματικά Γ΄ Κατεύθυνσης 2015-6», lisari.blogspot.gr

Αν για την συνάρτηση f ισχύει f ′(x) = 2συν2x , f(0) = 0 , να βρείτε τον τύπο της. Πηγή: Θεόδωρος Παγώνης, «Μαθηματικά Γ΄ Κατεύθυνσης 2015-6», lisari.blogspot.gr

Να βρεθεί η συνάρτηση f, όταν f ′(x) ⋅ e x = συνx − ηµx , x ∈ ! , f(π) = 0 . Πηγή: Θεόδωρος Παγώνης, «Μαθηματικά Γ΄ Κατεύθυνσης 2015-6», lisari.blogspot.gr

Να βρεθεί η συνάρτηση f, όταν f ′(x) = 3(2x + 1)(x 2 + x + 1)2 , x ∈ ! , f(0) = 6 . Πηγή: Θεόδωρος Παγώνης, «Μαθηματικά Γ΄ Κατεύθυνσης 2015-6», lisari.blogspot.gr

Να βρεθεί η παραγωγίσιμη συνάρτηση f : (1, + ∞) → ! , αν ισχύει f(x) + x ℓnx = 0 , για κάθε x ∈ (1, + ∞) , f ′(x) και η εφαπτομένη της C f στο σημείο της A (e , f(e)) είναι κάθετη στην ευθεία ε : x − y = 2007 . Πηγή: Θεόδωρος Παγώνης, «Μαθηματικά Γ΄ Κατεύθυνσης 2015-6», lisari.blogspot.gr

Να βρεθεί η συνάρτηση f, όταν ισχύει f(x) ⋅ f ′(x) = e2x , f(x) > 0 , για κάθε x ∈ ! , και f(0) = 1 . Πηγή: Θεόδωρος Παγώνης, «Μαθηματικά Γ΄ Κατεύθυνσης 2015-6», lisari.blogspot.gr

Να βρεθεί η συνάρτηση f, όταν ισχύει f ′(x) = x ⋅ e−f(x) , για κάθε x ∈ ! , και f(0) = 0 . Πηγή: Θεόδωρος Παγώνης, «Μαθηματικά Γ΄ Κατεύθυνσης 2015-6», lisari.blogspot.gr

Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f : ! → ! * , για την οποία ισχύουν 3x 2 + x + 2 f(−1) = −4 , f(1) = 3 και f ′(x) = , για κάθε x ≠ 0 . x2 Να βρείτε τον τύπο της. Πηγή: Θεόδωρος Παγώνης, «Μαθηματικά Γ΄ Κατεύθυνσης 2015-6», lisari.blogspot.gr

Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f : ! → ! , για την οποία ισχύει f(2) = 11 και (x − 1) ⋅ f ′(x) = 2x 2 + 3x − 5 , για κάθε x ∈ ! . Να βρείτε τον τύπο της. Πηγή: Θεόδωρος Παγώνης, «Μαθηματικά Γ΄ Κατεύθυνσης 2015-6», lisari.blogspot.gr

Η συνάρτηση f : ! → ! είναι παραγωγίσιμη και ισχύει f(x + y) + f(x + 2y) = 2f(x) + 3y , για κάθε x , y ∈ ! . 1 Αν η C f εφάπτεται στην C g , όπου g(x) = 5 − , στο σημείο Α(1, γ) , τότε: x α) να δείξετε ότι είναι f ′(x) = 1 , για κάθε x ∈ ! . β) να βρείτε τον τύπο της f.

Έστω παραγωγίσιμη συνάρτηση f : (0 , + ∞) → ! , με f(1) = 2 και x ⋅ f ′(x) = f(x) , για κάθε x > 0 . f(x) α. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g(x) = είναι σταθερή στο (0 , + ∞) . x β. Να βρείτε τους τύπους των f, g.

Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση f : (0 , + ∞) → ! , με x ⋅ f ′(x) = 2f(x) , για κάθε x > 0 . ⎡ f(x) ⎤ ′ α. Να αποδείξετε ότι ⎢ 2 ⎥ = 0 , για κάθε x > 0 . ⎢ x ⎥ ⎣ ⎦ β. Αν f(1) = 2013 , τότε να βρείτε τον τύπο της f.

Δίνεται συνάρτηση f : ! → ! , δύο φορές παραγωγίσιμη και τέτοια, ώστε f ′′(x) + f(x) = 0 , για κάθε x ∈ ! . 2 2 α. Να δείξετε ότι υπάρχει c ∈ ! τέτοιο, ώστε ⎡⎢ f ′(x)⎤⎥ + ⎡⎢ f(x)⎤⎥ = c . ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ β. Ποιος είναι ο τύπος της συνάρτησης f, αν f ′(99) = f(99) = 0 ;

Πρόσεξέ την πάρα πολύ! Δίνονται οι παραγωγίσιμες συναρτήσεις f , g : ! → ! , με f(x) − f ′(x) = g(x) − g ′(x) , για κάθε x ∈ ! . Αν h(x) = f(x) − g(x) , τότε: α. να δείξετε ότι h′ = h . β. αν f(2013) = g(2013) , τότε να δείξετε ότι οι συναρτήσεις f, g είναι ίσες.

Αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο ! , με f ′(0) = 2 , και ισχύουν f(y + x) = f(y) ⋅ f(x) ⋅ e2yx και f(x) ≠ 0 , για κάθε x , y ∈ ! , τότε: α. να αποδείξετε ότι f(0) = 1 . β. να αποδείξετε ότι η C f βρίσκεται στο πρώτο και δεύτερο τεταρτημόριο. γ. να αποδείξετε ότι ισχύει f ′(x) = 2f(x) ⋅ (x + 1) , για κάθε x ∈ ! . f(x) δ. να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g(x) = 2 είναι σταθερή στο ! . e x +2x ε. να βρεθεί ο τύπος της f.

Πρόσεξέ την πάρα πολύ! Δίνονται οι παραγωγίσιμες στο ! συναρτήσεις f, g, με f(x) ≠ 0 , g(x) ≠ 0 , για κάθε x ∈ ! , f(0) = g(0) = 1 και 1 1 f ′(x) = , g ′(x) = − . g(x) f(x) α. Να δείξετε ότι f(x) ⋅ g(x) = 1 , για κάθε x ∈ ! . β. Να βρείτε τους τύπους των f, g.

⎛ π π ⎞⎟ Να βρεθεί συνάρτηση f, ορισμένη στο διάστημα ⎜⎜⎜− , ⎟⎟ , η οποία ικανοποιεί τις ⎝ 2 2 ⎟⎠ σχέσεις f(0) = 1992 και f ′(x) ⋅ συνx + f(x) ⋅ ηµx = f(x) ⋅ συνx .

Αν f(1) = 1 , να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f στις παρακάτω περιπτώσεις: 1 α) f ′(x) = , x >0. β) x ⋅ f ′(x) + f(x) = 3x 2 + 2x + 1 , x > 0 . x x +1 γ) e−x f ′(x) − e−x f(x) = , x >0. x

Σε κάθε περίπτωση, να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f: ex α) e−x ⎡⎢ f ′(x) − f(x)⎤⎥ = x , x > 0 , f(1) = 1 . ⎣ ⎦ e +1 β) f ′′(x) + f ′(x) = 2e x , x ∈ ! , f(1) = 1 , f ′(1) = 2e − 1 .

Να βρείτε την συνάρτηση f, για την οποία ισχύει f ′′(x) = 6x + 4 , για κάθε x ∈ ! , και η γραφική της παράσταση, στο σημείο A(0 , 3) , έχει κλίση 2 .

Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση f : (0 , + ∞) → ! , για την οποία ισχύουν x ⋅ f ′(x) − 2f(x) = x , για κάθε x ∈ (0 , + ∞) , και f(1) = 0 . Να βρείτε τον τύπο της.

Έστω συνάρτηση f, παραγωγίσιμη στο ! , ώστε να ισχύει 2f ′(x) = e x − f(x) , για κάθε 1 + ex x ∈ ! , και f(0) = 0 . Να δείξετε ότι f(x) = ℓn . 2

Έστω συνάρτηση f, δύο φορές παραγωγίσιμη στο (0 , + ∞) , με f(1) = 2 , f ′(1) = 3 και x 2f ′′(x) − x ⋅ f ′(x) + f(x) = 0 , για κάθε x > 0 . ⎡ f(x) ⎤ ′ α. Να δείξετε ότι f ′′(x) = ⎢ ⎥ , για κάθε x > 0 . ⎢ x ⎥ ⎣ ⎦ β. Να βρείτε τον τύπο της f.

Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f : (0 , + ∞) → ! , για την οποία ισχύουν f(x) > 0 και f ′(x) + 2x ⋅ f(x) = 0 , για κάθε x > 0 , ενώ η γραφική της παράσταση διέρχεται από το σημείο A(1,1) . Να δείξετε ότι η f ′ είναι συνεχής στο (0 , + ∞) και να βρείτε την συνάρτηση f.