Μονοτονία (και ακρότατα) συνάρτησης – Κατηγορία 54

Να βρείτε το πρόσημο της συνάρτησης f(x) = 2(x + 1) ⋅ ℓn(x + 1) − x 2 − 2x − 5 , x ≥ 0 .

Να βρείτε το πρόσημο της συνάρτησης f(x) = 1 + x − x 2 − e x , x > 0 .

Να βρείτε το πρόσημο της συνάρτησης f(x) = e x + 3x 6 + 2x 2 − x − 1 .

1 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = 3e2x−1 + 2 , με x ≥ . 2 α. Να μελετήσετε την μονοτονία της f. β. Να βρείτε το σύνολο τιμών της. γ. Να βρείτε την f −1 .

Πρόσεξέ την πάρα πολύ! Δίνεται η συνάρτηση f(x) = e x + e2x − 2 , x ∈ ! . α. Να μελετήσετε την f ως προς την μονοτονία. ⎛ 1 ⎞⎟ ⎛⎜ 1 ⎞⎟ β. Να βρείτε το πρόσημο των αριθμών f ⎜⎜⎜− ⎟⎟ , f ⎜ ⎟⎟ . ⎝ 100 ⎟⎠ ⎜⎝ 100 ⎟⎠ ( ) ( ) ( ) γ. Να συγκρίνετε τους αριθμούς f 10 5 , f 20 10 , f 30 15 .

Δίνεται συνάρτηση f, δύο φορές παραγωγίσιμη στο ⎡⎢α , β⎤⎥ , για την οποία ισχύουν ⎣ ⎦ f(α) = f(β) = 0 , f ′′(x) < 0 , για κάθε x ∈ (α , β) . Να αποδείξετε ότι f(x) > 0 , για κάθε x ∈ (α , β) .

Πρόσεξέ την πάρα πολύ! Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x + x 2 + 1 . Να μελετηθεί ως προς την μονοτονία, να βρε- θεί το σύνολο τιμών της και η συνάρτηση f −1 , αν αυτή υπάρχει.

Δίνεται η συνάρτηση f(x) = 3 − x − 2 . Να μελετηθεί ως προς την μονοτονία, να βρε- θεί το σύνολο τιμών της και η συνάρτηση f −1 , αν αυτή υπάρχει.

Δίνεται η συνάρτηση f(x) = e x+2 − 5 . Να μελετηθεί ως προς την μονοτονία, να βρεθεί το σύνολο τιμών της και η συνάρτηση f −1 , αν αυτή υπάρχει.

Δίνεται η συνάρτηση f(x) = 4 − ℓn(1 + e x ) . Να μελετηθεί ως προς την μονοτονία, να βρεθεί το σύνολο τιμών της και η συνάρτηση f −1 , αν αυτή υπάρχει.

e2x − 1 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = 2x . Να μελετηθεί ως προς την μονοτονία, να βρεθεί e +1 το σύνολο τιμών της και η συνάρτηση f −1 , αν αυτή υπάρχει.

1− x Δίνεται η συνάρτηση f(x) = ℓn . Να μελετηθεί ως προς την μονοτονία, να βρεθεί 1+ x το σύνολο τιμών της και η συνάρτηση f −1 , αν αυτή υπάρχει.

Η συνάρτηση f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο ⎡⎢0 , α ⎤⎥ και ισχύουν ⎣ ⎦ f(0) = f ′(0) = 0 , f ′′(x) < 0 , για κάθε x ∈ (0 , α) . α. Να μελετήσετε την μονοτονία της συνάρτησης ⎧⎪ f(x) ⎪⎪ , αν x ∈ (0 , α ⎤⎥ g(x) = ⎪⎨ x ⎦ . ⎪⎪ ⎪⎩⎪ 0 , αν x = 0 β. Να δείξετε ότι α ⋅ f(x) > x ⋅ f(α) , για κάθε x ∈ (0 , α) .

Οι συναρτήσεις f , g : ⎡⎢0 , + ∞) → ! είναι παραγωγίσιμες και ισχύει ⎣ f ′(x) = g ′(x) + ηµ2x + e x , για κάθε x ∈ ⎡⎢0 , + ∞) . ⎣ Να δείξετε ότι f(0) + g(x) < g(0) + f(x) , για κάθε x ∈ (0 , + ∞) .

Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x ℓnx − x + 1 . α. Να μελετήσετε την f ως προς την μονοτονία και τα ακρότατα. β. Να λύσετε την εξίσωση f(x) = 0 . γ. Αν ισχύει f(α + β) = −f(3α + 4β) , να βρείτε τους α , β ∈ ! .

Δίνεται συνάρτηση f, δύο φορές παραγωγίσιμη στο ⎡⎢0 , x 0 ⎤⎥ , x 0 > 0 , για την οποία ισχύει ⎣ ⎦ f(x) f ′′(x) < 0 , για κάθε x ∈ ⎡⎢0 , x 0 ⎤⎥ , και f(0) = 0 . Να δείξετε ότι η συνάρτηση h(x) = ⎣ ⎦ x είναι γνησίως φθίνουσα στο (0 , x 0 ⎤⎥ . ⎦

Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f, με την f ′ γνησίως αύξουσα στο ⎡⎢0 , + ∞) . Αν είναι ⎣ f(x) f(0) = 0 , να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g(x) = e2x + + ℓn2x είναι γνησίως x αύξουσα στο (0 , + ∞) .

Πρόσεξέ την πάρα πολύ! Δίνεται συνάρτηση f, δύο φορές παραγωγίσιμη στο ⎡⎢0 ,1⎤⎥ , για την οποία ισχύουν ⎣ ⎦ f ′′(x) > e x − 2 , για κάθε x ∈ ⎡⎢0 ,1⎤⎥ , και f ′(0) = 2 . ⎣ ⎦ α. Να αποδείξετε ότι f(0) − f(1) < 0 . β. Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο ⎡⎢0 ,1⎤⎥ . ⎣ ⎦

Έστω συνάρτηση f : ! → ! , δύο φορές παραγωγίσιμη, με f(x) > 0 και 2 f ′′(x) ⋅ f(x) − ⎡⎢ f ′(x)⎤⎥ > 0 , για κάθε x ∈ ! . ⎣ ⎦ f ′(x) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g(x) = είναι γνησίως αύξουσα. f(x)

Αν η συνάρτηση f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο ! , με f ′(2) = 0 και f ′′(x) > 0 , για κάθε x ∈ ! , να αποδειχθεί ότι η f είναι γνησίως φθίνουσα, για x ∈ (−∞ , 2⎤⎥ , και ⎦ γνησίως αύξουσα, για x ∈ ⎢2 , + ∞) . ⎡ ⎣