Θεώρημα Μέσης Τιμής (Θ.Μ.Τ.) – Κατηγορία 40

f(3) Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο ⎡⎢1, 3⎤⎥ , παραγωγίσιμη στο (1, 3) , με f(1) = =1, ⎣ ⎦ 3 να δείξετε ότι υπάρχουν α , β ∈ (1, 3) , ώστε να ισχύει f ′(α) + f ′(β) = 2 , όπου 1<α <2<β<3.

Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο ⎡⎢1, α ⎤⎥ και παραγωγίσιμη στο (1, α) , με f(1) = 1 , ⎣ ⎦ f(α) = α . Να δείξετε ότι: α. υπάρχει ξ ∈ (1, α) τέτοιο, ώστε f(ξ) = 1 + α − ξ . β. υπάρχουν ξ1 , ξ 2 ∈ (1, α) τέτοια, ώστε f ′(ξ1 ) ⋅ f ′(ξ 2 ) = 1 . Πηγή: Θεόδωρος Παγώνης, «Μαθηματικά Γ΄ Κατεύθυνσης 2015-6», lisari.blogspot.gr

Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο ⎡⎢α , β⎤⎥ και παραγωγίσιμη στο (α , β) . Να δείξετε ότι ⎣ ⎦ υπάρχουν ξ1 , ξ 2 , ξ 3 ∈ (α , β) , με ξ1 ≠ ξ 2 , ώστε 2f ′(ξ) = f ′(ξ1 ) + f ′(ξ 2 ) . Πηγή: Θεόδωρος Παγώνης, «Μαθηματικά Γ΄ Κατεύθυνσης 2015-6», lisari.blogspot.gr

Δίνεται συνάρτηση f, παραγωγίσιμη στο ⎡⎢α , β⎤⎥ , με f(α) = 3β , f(β) = 3α . Να αποδείξετε ⎣ ⎦ ότι υπάρχουν ξ1 , ξ 2 ∈ (α , β) τέτοια, ώστε f ′(ξ1 ) + f ′(ξ 2 ) = −6 .

Δίνεται συνάρτηση f, παραγωγίσιμη στο ⎡⎢0 , 9⎤⎥ , με f(0) = f(9) . Να αποδείξετε ότι ⎣ ⎦ υπάρχουν ξ1 , ξ 2 , ξ 3 ∈ (0 , 9) τέτοια, ώστε f ′(ξ1 ) + f ′(ξ 2 ) + f ′(ξ 3 ) = 0 .

Δίνεται συνάρτηση f, παραγωγίσιμη στο ⎡⎢1,10⎤⎥ , με f(1) = 4 , f(10) = 9 . Να αποδείξετε ⎣ ⎦ ότι υπάρχουν ξ1 , ξ 2 , ξ 3 ∈ (1,10) τέτοια, ώστε 2f ′(ξ1 ) + 3f ′(ξ 2 ) + 4f ′(ξ 3 ) = 5 .

Δίνεται συνάρτηση f, παραγωγίσιμη στο ⎡⎢α , β⎤⎥ , με f(α) ⋅ f(β) < 0 . Να αποδειχθεί ότι ⎣ ⎦ υπάρχουν ξ1 , ξ 2 ∈ (α , β) , ξ1 ≠ ξ 2 , ώστε f ′(ξ1 ) ⋅ f ′(ξ 2 ) > 0 .

Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο ⎡⎢1, 5⎤⎥ , παραγωγίσιμη στο (1, 5) και ισχύει ⎣ ⎦ f(5) = f(1) + 14 . Να δείξετε ότι υπάρχουν ξ1 , ξ 2 ∈ (1, 5) , με ξ1 ≠ ξ 2 , ώστε f ′(ξ1 ) + f ′(ξ 2 ) = 7 .

Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο ⎡⎢α , β⎤⎥ και παραγωγίσιμη στο (α , β) . Να δείξετε ότι ⎣ ⎦ υπάρχουν ξ , ξ1 , ξ 2 ,∈ (α , β) , με ξ1 ≠ ξ 2 , ώστε 2f ′(ξ) = f ′(ξ1 ) + f ′(ξ 2 ) .

Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f : ! → ! , για την οποία ισχύουν f(4x) = 4f(x) και ⎛ 25 ⎞⎟ f ⎜⎜⎜ ⎟⎟ = 1 . Να δειχθεί ότι υπάρχουν πραγματικοί αριθμοί x1 , x 2 , x 3 ∈ (1, 4) τέτοιοι, ⎝ 100 ⎟⎠ ώστε f ′(x1 ) + f ′(x 2 ) + f ′(x 3 ) = 12 .

Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο ⎡⎢α , β⎤⎥ και παραγωγίσιμη στο (α , β) . Αν η ευθεία ⎣ ⎦ ε : 2x − y + 5 = 0 διέρχεται από τα σημεία Α (α , f(α)) , Β (β , f(β)) , να δείξετε ότι υπάρ- χουν ξ1 , ξ 2 , ξ 3 ∈ (α , β) τέτοια, ώστε f ′(ξ1 ) + f ′(ξ 2 ) + f ′(ξ 3 ) = 6 .

Η συνάρτηση f : ! → ! είναι παραγωγίσιμη, με f(10) = −10 , f(11) = 10 . Να δείξετε 1 1 1 ότι υπάρχουν x1 , x 2 ∈ (10 ,11) τέτοια, ώστε + = . f ′(x1 ) f ′(x 2 ) 10

Αν η συνάρτηση f ικανοποιεί τις υποθέσεις του θεωρήματος του Rolle στο διάστημα ⎡α , β⎤ , να αποδείξετε ότι υπάρχουν γ , δ ∈ (α , β) τέτοια, ώστε να ισχύει f ′(γ) + f ′(δ) = 0 . ⎣⎢ ⎦⎥