ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ-Π1

Λυμένο παράδειγμα 15 από «ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ-Π1». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: Να αποδείξετε ότι το πολυώνυμο P(x) = (x − 3)2 + (3x + 1)2 − 10(x − 1)(x + 1) είναι σταθερό.

Λυμένο παράδειγμα 16 από «ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ-Π1». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: Να αποδείξετε ότι (α − β)(α + β)(α 2 + β2 )(α 4 + β4 ) = α 8 − β8 . - 16 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr Ά λγε β ρ α Α ΄Λ υκε ί ου Κεφάλαιο 2 • Οι πραγµατικοί αριθµοί

Λυμένο παράδειγμα 17 από «ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ-Π1». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: 2x x2 − 1 Αν Α = 2 και Β = 2 , να αποδείξετε ότι Α2 + Β2 = 1 . x +1 x +1

Λυμένο παράδειγμα 18 από «ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ-Π1». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: Αν α, β πραγματικοί αριθμοί, με α ≠ 0 , να αποδείξετε ότι η εξίσωση αx 2 − x + 1 − α = 0 έχει μία, τουλάχιστον, λύση.

Λυμένο παράδειγμα 19 από «ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ-Π1». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: Δίνεται η εξίσωση (α + γ)x 2 − 2βx + α − γ = 0 , όπου α, β, γ είναι τα μήκη των πλευρών τριγώνου ΑΒΓ. Αν η εξίσωση έχει μία διπλή λύση, να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο.

Να αποδείξετε ότι ισχύει (α + β)2 = α 2 + 2αβ + β2 , για κάθε α , β ∈ ! . - 17 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr Ά λγε β ρ α Α ΄Λ υκε ί ου Κεφάλαιο 2 • Οι πραγµατικοί αριθµοί

Δίνονται οι πραγματικοί αριθμοί α και β, για τους οποίους ισχύει α 2β + αβ2 = α + β . Να αποδείξετε ότι οι α, β είναι αντίθετοι ή αντίστροφοι.

Να αποδείξετε ότι (α 2 + β2 )(x 2 + y2 ) = (αx + βy)2 + (αy − βx)2 , για κάθε α , β , x , y ∈ ! .

Να εξετάσετε αν ισχύει α 2 > α , για κάθε α > 0 .

Να αποδείξετε ότι (α 2 + β2 )(x 2 + y2 ) = (αx + βy)2 + (αy − βx)2 , για κάθε α , β , x , y ∈ ! .

Να αποδείξετε ότι (α 2 + β2 )(x 2 + y2 ) = (αx + βy)2 + (αy − βx)2 , για κάθε α , β , x , y ∈ ! .

Να αποδείξετε ότι (α 2 + β2 )(x 2 + y2 ) = (αx + βy)2 + (αy − βx)2 , για κάθε α , β , x , y ∈ ! .

Λύση σχολικού βιβλίου – Α1/52 από «ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ-Π1». Η εκφώνηση βρίσκεται στο αντίστοιχο σχολικό βιβλίο· εδώ διατίθεται η λύση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: Πρόκειται για άσκηση επανάληψης Β΄ και Γ΄ Γυμνασίου (ιδιότητες δυνάμεων). i. Είναι −3 3 4 ⎤ ⎛ x3 ⎞ ⎛ y−1 ⎞ ⎡ Α = ⎢ x 2 y3 ⋅ xy3 ⎥ : ⎜⎜⎜ −1 ⎟⎟⎟ ( ) ( ) ( ) y−3 x9 : ⎜⎜⎜ 3 ⎟⎟⎟ = y6 : 9 = y6 ⋅ −3 ⇒ −2 −4 −6 4 12 = x y ⋅x y ⎢⎣ ⎥⎦ ⎜⎝ y ⎟⎠ ⎜⎝ x ⎟⎠ x y ⇒ Α = x9 ⋅ y9 . Χρησιμοποίησα την μέθοδο της ευθείας απόδειξης: ξεκίνησα από το αριστερό μέλος της ζητούμενης σχέσης (η αρχική μορφή της παρά- στασης Α), έκανα πράξεις και κατέληξα στο δεξί της μέλος ( Α = x 9 y 9 ). 1 ii. Είναι Α = x 9 ⋅ y 9 = (xy) , οπότε για x = 2010 , y = 9 θα είναι 2010 9 ⎛ 1 ⎞⎟⎟ Α = ⎜⎜⎜ 2010 ⋅ 9 ⎟⎟ = 1 ⇒ Α = 1 . ⎜⎝ 2010 ⎠⎟

Λύση σχολικού βιβλίου – Α2/52 από «ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ-Π1». Η εκφώνηση βρίσκεται στο αντίστοιχο σχολικό βιβλίο· εδώ διατίθεται η λύση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: Πρόκειται για άσκηση επανάληψης Β΄ και Γ΄ Γυμνασίου. Είναι 2 ⎡ −1 ⎤ 2 2 ⎛ x 2 y−2 ⎞ Α = ⎢ xy−1 : x 3 y 7 ⎥ = ⎡⎢ x 2 y−2 : x−3 y−7 ⎤⎥ = ⎜⎜⎜ −3 −7 ⎟⎟⎟ = x 2−(−3) ⋅ y−2−(−7) = x 5 y5 = ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 2 2 2 ⎢⎣ ⎥⎦ ⎣ ⎦ ⎜⎝ x y ⎟⎠ 2 ⎡ 5⎤ = ⎢(xy) ⎥ ⇒ Α = (xy) . 10 ⎢⎣ ⎥⎦ Φυσικά, πρώτα πρέπει να κάνω πράξεις και να απλοποιήσω την παράσταση Α και με- τά να θέσω τις τιμές των x, y που δίνονται. - 27 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr Ά λγε β ρ α Α ΄Λ υκε ί ου Κεφάλαιο 2 • Οι πραγµατικοί αριθµοί Επομένως, για x = 0, 4 και y = −2, 5 θα είναι 10 10 ⎛ 4 25 ⎞⎟ Α = ⎡⎢0, 4 ⋅ (−2, 5)⎤⎥ = ⎜⎜⎜− ⎟⎟ = (−1) ⇒ Α = 1 . 10 ⋅ ⎣ ⎦ ⎝ 10 10 ⎟⎠

Λύση σχολικού βιβλίου – Α3/52 από «ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ-Π1». Η εκφώνηση βρίσκεται στο αντίστοιχο σχολικό βιβλίο· εδώ διατίθεται η λύση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: Πρόκειται για άσκηση επανάληψης Γ΄ Γυμνασίου. i. Είναι 10012 − 9992 = (1001 − 999)(1001 + 999) = 2 ⋅ 2000 = 4000 . ii. Είναι ( ) 2 99 ⋅101 = (100 − 1)(100 + 1) = 1002 − 12 = 102 − 1 = 104 − 1 = 10000 − 1 = 9999 . iii. Είναι (7, 23) − (4, 23) = (7, 23 + 4, 23)(7, 23 − 4, 23) = 11, 46 ⋅ 3 , 2 2 οπότε (7, 23) − (4, 23) 2 2 11, 46 ⋅ 3 = =3. 11, 46 11, 46

Λύση σχολικού βιβλίου – Α4/52 από «ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ-Π1». Η εκφώνηση βρίσκεται στο αντίστοιχο σχολικό βιβλίο· εδώ διατίθεται η λύση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: Πρόκειται για άσκηση επανάληψης Γ΄ Γυμνασίου. i. Είναι (α + β) − (α − β) = α + β + 2αβ − (α + β − 2αβ) = α + β + 2αβ − α − β + 2αβ = 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 = 4αβ . Χρησιμοποίησα την μέθοδο της ευθείας απόδειξης: ξεκίνησα από το αριστερό μέλος της ζητούμενης σχέσης, έκανα πράξεις και κατέληξα στο δεξί της μέλος. - 28 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr Ά λγε β ρ α Α ΄Λ υκε ί ου Κεφάλαιο 2 • Οι πραγµατικοί αριθµοί Δεύτερος τρόπος Είναι (α + β) − (α − β) = (α + β + α − β ) ⎡⎢⎣α + β − (α − β)⎤⎥⎦ = 2α ( α + β − α + β) = 2α ⋅ 2β = 2 2 = 4αβ . Στηρίχθηκα στην βασικότατη ταυτότητα, x 2 − y2 = (x + y)(x − y) . ii. Ονομάζω Α την ζητούμενη παράσταση. Η Α έχει την μορφή (α + β) − (α − β) , δηλαδή της παράστασης του αριστερού μέλους 2 2 999 1000 της σχέσης που απέδειξα στο (i), για α = , β= . 1000 999 Επομένως, βάσει αυτού που απέδειξα στο (i), θα είναι 999 1000 Α = 4αβ = 4 ⋅ ⋅ ⇒ Α=4 . 1000 999

Λύση σχολικού βιβλίου – Α5/52 από «ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ-Π1». Η εκφώνηση βρίσκεται στο αντίστοιχο σχολικό βιβλίο· εδώ διατίθεται η λύση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: Πρόκειται για άσκηση επανάληψης Γ΄ Γυμνασίου. i. Είναι ( ) α 2 − (α − 1)(α + 1) = α 2 − α 2 − 1 = α 2 − α 2 + 1 = 1 . Χρησιμοποίησα την μέθοδο της ευθείας απόδειξης: ξεκίνησα από το αριστερό μέλος της ζητούμενης σχέσης, έκανα πράξεις και κατέληξα στο δεξί της μέλος. ii. Για α = 1, 3265 , είναι α − 1 = 1, 3265 − 1 = 0, 3265 και α + 1 = 1, 3265 + 1 = 2, 3265 . Λόγω του (i) επομένως, η παράσταση του (ii) έχει την μορφή της παράστασης του αρι- στερού μέλους της (i), οπότε η τιμή της θα είναι ίση με 1. - 29 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr Ά λγε β ρ α Α ΄Λ υκε ί ου Κεφάλαιο 2 • Οι πραγµατικοί αριθµοί

Λύση σχολικού βιβλίου – Α6/52 από «ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ-Π1». Η εκφώνηση βρίσκεται στο αντίστοιχο σχολικό βιβλίο· εδώ διατίθεται η λύση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: Αν ν είναι ένας φυσικός αριθμός, τότε ο επόμενός του (οπότε και οι δύο αριθμοί θα εί- ναι διαδοχικοί) είναι ο ν + 1. Έτσι, ζητείται να δείξω ότι ισχύει (ν + 1) − ν = ν + (ν + 1) ⇔ (ν + 1) − ν = 2ν + 1 . 2 2 2 2 Είναι (ν + 1) − ν = ν + 1 + 2ν − ν = 2ν + 1 . 2 2 2 2 Κατάλαβες ότι όλη η άσκηση στηρίχθηκε στην «μετάφραση»; • «Δύο διαδοχικών φυσικών αριθμών»: δηλαδή του ν και του ν + 1. • «Η διαφορά των τετραγώνων (του μικρότερου από τον μεγαλύτερο)»: (ν + 1)2 − ν2 . • «Ισούται με το άθροισμά τους»: = ν + (ν + 1) = 2ν + 1 .

Λύση σχολικού βιβλίου – Α7/52 από «ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ-Π1». Η εκφώνηση βρίσκεται στο αντίστοιχο σχολικό βιβλίο· εδώ διατίθεται η λύση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: Αρκεί να δείξω ότι είναι 2ν + 2ν+1 + 2ν+2 = 7 ⋅ κ , όπου κ ∈ ! . Πάλι «μετάφραση»: τι μορφή έχουν τα πολλαπλάσια του 7; 7κ, βεβαίως! Το ίδιο ισχύει για τα πολλαπλάσια οποιουδήποτε αριθμού. Είναι 2ν + 2ν+1 + 2ν+2 = 2ν + 2ν ⋅ 21 + 2ν ⋅ 22 = 2ν + 2 ⋅ 2ν + 4 ⋅ 2ν = 7 ⋅ 2ν = 7 ⋅ κ , όπου κ = 2ν ∈ ! . - 30 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr Ά λγε β ρ α Α ΄Λ υκε ί ου Κεφάλαιο 2 • Οι πραγµατικοί αριθµοί

Λύση σχολικού βιβλίου – Β1/53 από «ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ-Π1». Η εκφώνηση βρίσκεται στο αντίστοιχο σχολικό βιβλίο· εδώ διατίθεται η λύση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: Πρόκειται για άσκηση επανάληψης Γ΄ Γυμνασίου. i. Είναι ( (α − 1) ) 2 α 3 − 2α 2 + α α α 2 − 2α + 1 = = = α −1 . α (α − 1) 2 α −α α −1 ii. Είναι (α − α) + 2α − 2 = α (α − 1) + 2(α − 1) = (α − 1) (α + 2) = α + 2 . 2 α2 − 1 (α − 1)(α + 1) (α − 1) (α + 1) α +1

Λύση σχολικού βιβλίου – Β2/53 από «ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ-Π1». Η εκφώνηση βρίσκεται στο αντίστοιχο σχολικό βιβλίο· εδώ διατίθεται η λύση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: Πρόκειται για άσκηση επανάληψης Γ΄ Γυμνασίου. i. Είναι ⎞ α (α + 1) (α − 1) ⋅ 2 2 2 2 2 ⎛ ⎞ 3 2 ⎛ 2 α2 ⎜⎜α − 1 ⎟⎟ ⋅ α + α = ⎜⎜ α − 1 ⎟⎟ ⋅ = = ⎜⎝ ⎟ ⎜ ⎟ ( ) ⎝⎜ α ⎟⎠ (α + 1) α ⎟⎠ α + 1 3 (α + 1) 3 2 α2 (α + 1) (α − 1) 2 2 2 ⎡ (α + 1)(α − 1) ⎤ = ⎣⎢ ⎦⎥ = = (α − 1) . 2 (α + 1) 2 (α + 1) 2 ii. Είναι α2 + α + 1 α2 − 1 α2 + α + 1 (α + 1) (α − 1) ⋅ 3 = ⋅ = 1. α +1 α −1 α +1 (α − 1) α2 + α + 1 ( ) - 31 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr Ά λγε β ρ α Α ΄Λ υκε ί ου Κεφάλαιο 2 • Οι πραγµατικοί αριθµοί

Λύση σχολικού βιβλίου – Β3/53 από «ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ-Π1». Η εκφώνηση βρίσκεται στο αντίστοιχο σχολικό βιβλίο· εδώ διατίθεται η λύση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: Πρόκειται για άσκηση επανάληψης Γ΄ Γυμνασίου. i. Είναι −2 −2 2 ⎛1 1 ⎞⎟ ⎛ y + x ⎞⎟ ⎛ xy ⎞⎟ (x + y) ⋅ (x + y ) −2 = (x + y) ⎜⎜⎜ + = (x + y) ⎜⎜⎜ = (x + y) ⎜⎜⎜ 2 2 2 2 −1 −1 ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟⎟ = ⎝x y ⎟⎠ ⎝ xy ⎟⎠ ⎝ x + y ⎟⎠ x2 y2 = (x + y) ⋅ 2 = x2 y2 . (x + y) 2 ii. Είναι 1 1 y−x −1 x −y −1 x − y xy y−x xy ( y − x) xy ( y − x) = = = = = = 1 1 ( y − x) ( y + x) −2 −2 x −y y2 − x2 y2 − x2 y2 − x2 2 − 2 x y x2y2 xy xy = . x+y Επομένως, x + y x−1 − y−1 x+y xy xy ⋅ −2 = ⋅ = . x−y x −y −2 x−y x+y x−y

Λύση σχολικού βιβλίου – Β4/53 από «ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ-Π1». Η εκφώνηση βρίσκεται στο αντίστοιχο σχολικό βιβλίο· εδώ διατίθεται η λύση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: Πρόκειται για άσκηση επανάληψης Γ΄ Γυμνασίου. Είναι ⎛ x 3 + y3 ⎞⎟ ⎛ x 2 ⎜⎜ ⎞⎟ (x + y) (x − xy + y ) x − y (x − y) 2 2 2 ⎟⎟ : ⎜⎜ − y ⎟⎟ = : = ⎜⎜ x 2 − y2 ⎟ ⎜⎜ x − y ⎟⎠ ⎝ ⎠ ⎝ (x + y) (x − y) x−y x 2 − xy + y2 x 2 − xy + y2 x 2 − xy + y2 x−y = : = ⋅ =1. x−y x−y x−y x 2 − xy + y2 Σχόλιο Επειδή το αποτέλεσμα προέκυψε να είναι σταθερός αριθμός, η άσκηση θα μπορούσε να διατυπωθεί και με τους ακόλουθος τρόπους (και η λύση θα ήταν ακριβώς η ίδια): - 32 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr Ά λγε β ρ α Α ΄Λ υκε ί ου Κεφάλαιο 2 • Οι πραγµατικοί αριθµοί α) Να αποδείξετε ότι η παράσταση Α = ... είναι σταθερή και να βρείτε την τιμή της. β) Να αποδείξετε ότι η παράσταση Α = ... είναι ανεξάρτητη των x, y. (Α είναι η παράσταση του αριστερού μέλους της ζητούμενης σχέσης).

Λύση σχολικού βιβλίου – Β5/53 από «ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ-Π1». Η εκφώνηση βρίσκεται στο αντίστοιχο σχολικό βιβλίο· εδώ διατίθεται η λύση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: i. Έστω α β γ = = = κ, β γ α με κ > 0 , αφού α, β, γ είναι πλευρές τριγώνου (δηλαδή είναι α , β , γ > 0 ). Αυτό που έκανα παραπάνω, είναι μία πολύ χαρακτηριστική κίνηση όταν δίνεται ανα- λογία με τρία κλάσματα (εφαρμόζεται και σε αναλογία μεταξύ δύο κλασμάτων όμως). Θα δεις πώς την αξιοποιώ, στην συνέχεια. Τότε είναι: α • = κ ⇔ α = κβ . β β • = κ ⇔ β = κγ . γ γ • = κ ⇔ γ = κα . α Έτσι: α >0 α = κβ = κ ⋅ κγ = κ2 γ = κ2 ⋅ κα = κ3α ⇒ α = κ3α ⇒ 1 = κ3 ⇒ κ = 1 . :α Τότε είναι α = 1 ⋅ β ⇔ α = β και β = 1 ⋅ γ ⇔ β = γ , δηλαδή α = β = γ , οπότε το τρίγωνο είναι ισοσκελές. Δεύτερος τρόπος Από τις ιδιότητες των αναλογιών, έχω ότι α β γ α+β+γ = = = = 1, β γ α β+ γ+α δηλαδή είναι - 33 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr Ά λγε β ρ α Α ΄Λ υκε ί ου Κεφάλαιο 2 • Οι πραγµατικοί αριθµοί α β = 1 ⇔ α = β και =1⇔β= γ, β γ συνεπώς α = β = γ , άρα το τρίγωνο είναι ισόπλευρο. ii. Έστω α − β = β − γ = γ − α = λ . Τότε ισχύουν ⎧⎪ α − β = λ και ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎨ ⎪ β − γ = λ και ⎬ . ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ γ − α = λ ⎪⎪ ⎩ ⎭ Προσθέτω κατά μέλη τις παραπάνω ισότητες και έχω ότι 0 = 3λ ⇔ λ = 0 . Άρα είναι α − β = 0 ⇔ α = β και β − γ = 0 ⇔ β = γ , δηλαδή α = β = γ , οπότε το τρίγωνο είναι ισόπλευρο.