Ε6-ΑΣΚΗΣΕΙΣ-εξώφυλλο

Η θέση ενός κινητού, το οποίο κινείται κατά μήκος ενός άξονα, την χρονική στιγμή t sec δίνεται από τον τύπο f(t) = t 3 − 6t 2 + 15t + 11 , 0 ≤ t ≤ 5 . α. Να βρεθεί η αρχική ταχύτητα του κινητού. β. Ποια χρονική στιγμή η ταχύτητά του είναι 6 µον / s ; γ. Να βρεθεί η επιτάχυνση που έχει το κινητό την χρονική στιγμή t = 4 s , καθώς και η χρονική στιγμή που η επιτάχυνση είναι μηδέν. δ. Να βρείτε τα χρονικά διαστήματα στα οποία η ταχύτητα του κινητού αυξάνεται και αυτά στα οποία η ταχύτητα του κινητού μειώνεται.

Το διάστημα (σε μέτρα) που διανύει ένα κινητό σε χρόνο t (σε δευτερόλεπτα) δίνεται από την συνάρτηση S(t) = t 3 − 2t 2 + 4t , 0 ≤ t ≤ 5 . α. Να βρείτε τον ρυθμό μεταβολής της ταχύτητας του κινητού την χρονική στιγμή t. β. Να βρείτε την επιτάχυνση του κινητού την χρονική στιγμή t = 4 s . γ. Να αποδείξετε ότι το κινητό κινείται συνεχώς προς την ίδια κατεύθυνση και, στην συνέχεια, να υπολογίσετε το συνολικό διάστημα που θα διανύσει. δ. Να αποδείξετε ότι υπάρχουν δύο χρονικές στιγμές που η ταχύτητα παίρνει στην μία την ελάχιστη τιμή της και στην άλλη την μέγιστη τιμή της.

Δύο αυτοκίνητα Α και Β κινούνται κατά μήκος δύο κάθετων οδών ΓΑ και ΓΒ, απομα- κρυνόμενα από το Γ, με ταχύτητες 50 km / h και 100 km / h αντίστοιχα. Να βρείτε: α. μια συνάρτηση που να δίνει την απόσταση των δύο αυτοκινήτων σε σχέση με τις αποστάσεις των οχημάτων από το σημείο Γ. β. την απόσταση των δύο οχημάτων την χρονική στιγμή t 0 , κατά την οποία το Α όχη- μα απέχει από την διασταύρωση 800 m και το Β 600 m. γ. τον ρυθμό μεταβολής της απόστασης ΑΒ ως προς τον χρόνο, την παραπάνω χρονική στιγμή t 0 .

Ένα σημείο Α εκτελεί αρμονική ταλάντωση πάνω στον άξονα x΄x, με θέση x = 4 + 2ηµ(ωt) , και ένα δεύτερο σημείο Β στον άξονα y΄y, με θέση y = 2 + ηµ(ωt) . Να βρείτε τον ρυθμό μεταβολής του εμβαδού Ε του τριγώνου ΟΑΒ την χρονική στιγμή π t 0 = 4 s , όταν ω = . 2

Η πλευρά x ενός τετραγώνου μεταβάλλεται σε συνάρτηση με τον χρόνο t. Την χρονική στιγμή που είναι x = 10 cm , να βρείτε τον ρυθμό με τον οποίο μεταβάλλεται το εμβα- δόν του τετραγώνου, όταν ο ρυθμός αύξησης της περιμέτρου αυτού είναι 0, 3 cm / s .

Το μήκος ενός κύκλου αυξάνεται με ρυθμό 3 cm / s . Την χρονική στιγμή t 0 , κατά την οποία το εμβαδόν του κύκλου είναι 100π cm2 , να βρεθούν: α. η ακτίνα του κύκλου. β. ο ρυθμός μεταβολής της ακτίνας του κύκλου. γ. ο ρυθμός μεταβολής του εμβαδού του κύκλου.

Το ύψος ενός ισοσκελούς τριγώνου ΑΒΓ, με σταθερή βάση ΒΓ = 16 cm , μεταβάλλεται με ρυθμό 5 cm / s . Αν την χρονική στιγμή t 0 το σημείο Α απέχει από την πλευρά ΒΓ 6 cm , να βρεθούν: α. ο ρυθμός μεταβολής των ίσων πλευρών. β. ο ρυθμός μεταβολής του εμβαδού του τριγώνου.

Σε ένα οξυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ, με ΑΒ = ΑΓ = 10 cm , η πλευρά ΒΓ αυξάνεται με ρυθμό 2 3 cm / s . Αν x = ΒΓ και θ είναι η γωνία ΑΒΓ, να βρεθεί: α. το εμβαδόν Ε του τριγώνου συναρτήσει των x, θ. β. το x συναρτήσει της γωνίας θ. γ. ο ρυθμός μεταβολής της γωνίας θ, την χρονική στιγμή t 0 που το τρίγωνο ΑΒΓ γίνεται ισόπλευρο. δ. ο ρυθμός μεταβολής του εμβαδού Ε, την χρονική στιγμή t 0 που το τρίγωνο γίνεται ισόπλευρο.

Αν σε ένα ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ η περίμετρος αυξάνεται με ρυθμό 3 cm / s , να βρεθεί: α. με τι ρυθμό μεταβάλλεται η πλευρά του τριγώνου. β. με τι ρυθμό μεταβάλλεται το εμβαδόν του τριγώνου, όταν αυτό είναι ίσο με 3 cm2 .

Ένα μπαλόνι σχήματος σφαίρας φουσκώνει με ρυθμό μεταβολής της ακτίνας 2 cm / s . Να βρείτε με τι ρυθμό αυξάνεται ο όγκος του και με τι ρυθμό αυξάνεται η επιφάνειά του, όταν η ακτίνα του είναι 1 cm . Δίνεται ότι το εμβαδόν της σφαιρικής επιφάνειας και ο όγκος της σφαίρας, συναρτήσει της ακτίνας r της σφαίρας, υπολογίζονται, αντίστοιχα, από τους τύπους 4 3 Ε = 4πr 2 και V = πr . 3

Η επιφάνεια ενός κύβου μεταβάλλεται με ρυθμό α cm2 / s . Να βρείτε τον ρυθμό μετα- βολής του όγκου του κύβου, όταν η επιφάνειά του είναι β cm2 / s . Δίνεται ότι ο όγκος κύβου ακμής x είναι V = x 3 .

10 Το ύψος του νερού σε ένα κυλινδρικό δοχείο, ανεβαίνει με ρυθμό cm / s . Αν η π ακτίνα της βάσης του δοχείου είναι 8 cm , να υπολογίσετε τον ρυθμό με τον οποίο αυξάνεται ο όγκος του νερού. Δίνεται ότι ο όγκος του κυλίνδρου, με ακτίνα βάσης r και ύψος h, είναι V = πr 2h .

Κωνική δεξαμενή, με διάμετρο βάσης και ύψος ίσα με 6 μέτρα, γεμίζει από την κορυ- φή της με σταθερή παροχή νερού ίση με 8π m3 / min . Να βρείτε τον ρυθμό μεταβολής της ακτίνας της στάθμης του νερού, όταν η ακτίνα αυτή γίνει 2 m . 1 2 Δίνεται ότι ο όγκος του κώνου, με ακτίνα βάσης ρ και ύψος υ, είναι V = πρ υ . 3

Έστω Ε το εμβαδόν του τριγώνου που ορίζουν τα σημεία Α(x , 0) , B(0 , e x ) και Ο(0 , 0) , με x > 0 . Αν το x μεταβάλλεται με ρυθμό 3 cm / s , να βρείτε τον ρυθμό μεταβολής του Ε, όταν x = 4 cm .

Ένα σώμα κινείται σε κυκλική τροχιά με εξίσωση x 2 + y2 = 4 . Καθώς περνάει από το ( ) σημείο Α −1, 3 , η τετμημένη του ελαττώνεται με ρυθμό 6 m / s . Να βρείτε τον ρυθ- μό μεταβολής της τεταγμένης του, την χρονική στιγμή που το σώμα περνάει από το Α. Το σώμα περνάει από το Α ακολουθώντας την θετική φορά κίνησης ή όχι;

Ένας πεζοπόρος ξεκινάει από το σημείο Α ενός κυκλικού δρόμου ακτίνας 4 km και βαδίζει με σταθερή ταχύτητα 2 km / h . Να βρείτε τον ρυθμό μεταβολής του μήκους της διαδρομής και της αντίστοιχης χορδής, ως προς τον χρόνο t, κατά την χρονική π στιγμή t 0 που η επίκεντρη γωνία διαγραφής είναι ίση με . 3

Σημείο Μ κινείται στην ευθεία με εξίσωση y = 4x + 1 . Αν η τετμημένη του Μ αυξάνε- ται με ρυθμό 2 cm / s , να βρείτε τον ρυθμό μεταβολής της απόστασης του Μ από το σημείο A(4 , 0) , την χρονική στιγμή που το Μ έχει τετμημένη 4.

Σημείο Μ κινείται στην ευθεία ε : 3x + 2y = 6 . Αν κατά την χρονική στιγμή t = 0 βρί- σκεται στο σημείο A(2 , 0) και την χρονική στιγμή t η τεταγμένη του είναι 3t 2 , να βρεί- τε τον ρυθμό μεταβολής της τεταγμένης του, όταν το σημείο βρεθεί πάνω στον άξονα y΄y.

Στο διπλανό σχήμα δίνεται ένα καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων και τα σημεία A(0 , 3) και B(6 , 0) . α. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας ΑΒ. β. Ένα σημείο Μ κινείται στο ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ (ξεκινώντας από το Α), ώστε η τετμημένη του να αυξάνεται κατά 2 cm / s . Έστω, επίσης, Κ και Λ οι προβολές του Μ στους άξονες x΄x και y΄y αντίστοιχα. Να βρείτε τον ρυθμό μεταβολής του εμβαδού του OΚΜΛ, την χρονική στιγμή που: Ι. το ΟΚ είναι τετραπλάσιο του ΟΛ. ΙΙ. το ΟΚΜΛ είναι τετράγωνο.

Μια μεταβλητή ορθή γωνία ΑΟΒ τέμνει την παραβολή με εξίσωση y = x 2 στα σημεία Α και Β. Η τετμημένη x A του Α μεταβάλλεται με ρυθμό 3 cm / s . Να βρεθούν: α. οι συντεταγμένες των σημείων Α και Β ως συνάρτηση του x Α . β. ο ρυθμός μεταβολής του εμβαδού του τριγώνου ΑΟΒ, την χρονική στιγμή που είναι x A = 2 cm .

Έστω η συνάρτηση f(x) = 1 + ℓnx και το σημείο Α, που η εφαπτομένη (ε) σε αυτό διέρχεται από το σημείο B(0 ,1) . α. Να βρείτε την εξίσωση της (ε). β. Αν ένα σημείο Μ κινείται κατά μήκος της C f και, καθώς περνάει από το Α, η τετμημένη του x ελαττώνεται κατά 4 cm / s , να βρείτε τον ρυθμό μεταβολής της τεταγμένης του την χρονική στιγμή που το κινητό περνάει από το σημείο Α.

Σημείο Μ κινείται στην γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) = (x − 1)3 . Η τετμη- μένη του Μ κινείται με σταθερό ρυθμό 1 πάνω στον ημιάξονα Ox, παίρνοντας μόνο θετικές τιμές. Να βρείτε: α. μία σχέση που να συνδέει την γωνία θ που σχηματίζει η εφαπτόμενη ευθεία της γραφικής παράστασης της f στο Μ με τον άξονα x΄x και την τετμημένη x του ση- μείου Μ. β. τον ρυθμό μεταβολής της γωνίας θ, την χρονική στιγμή που η εφαπτόμενη ευθεία στο Μ είναι παράλληλη στην ευθεία ε : 3x − y + 2 = 0 .

Το κόστος παραγωγής K(x) και η τιμή πώλησης Π(x) x μονάδων ενός προϊόντος δίνο- νται από τις συναρτήσεις 1 3 3 2 K(x) = x 2 , Π(x) = x − x + 6x + 500 3 2 αντίστοιχα. Να βρεθούν: α. η συνάρτηση P(x) που δίνει το κέρδος από την πώληση x μονάδων του προϊόντος. β. πότε το οριακό κέρδος μηδενίζεται και πότε είναι θετικό.

Έστω x2 K(x) = + 10x − 50 100 το συνολικό κόστος x μονάδων ενός προϊόντος εβδομαδιαία, σε χιλιάδες ευρώ, με 0 ≤ x ≤ 200 . α. Να βρεθεί η συνάρτηση του μέσου κόστους. β. Να βρεθεί το οριακό κόστος. γ. Να συγκρίνετε τους ρυθμούς μεταβολής του συνολικού και του μέσου κόστους, όταν παράγονται 10 προϊόντα κάθε εβδομάδα. δ. Αν επιπλέον δίνεται η συνάρτηση των συνολικών εισπράξεων από την πώληση x μονάδων του προϊόντος εβδομαδιαία και είναι η x2 E(x) = 2x 3 + − 14x , 100 να βρείτε τις ελάχιστες μονάδες παραγόμενου προϊόντος, πάνω από τις οποίες έχουμε θετικό οριακό κέρδος.