ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ-Ερωτήσεις κατανόησης

Απάντηση κατανόησης – Πρόταση 1 από «ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ-Ερωτήσεις κατανόησης». Η ερώτηση βρίσκεται στο αντίστοιχο εκπαιδευτικό υλικό· εδώ διατίθεται η απάντηση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: Η ανίσωση ισοδύναμα γράφεται −x 2 + 2x + γ ≥ 0 ⇔ x 2 − 2x − γ ≤ 0 . Αφού είναι αδύνατη, δηλαδή το τριώνυμο δεν μπορεί να είναι μικρότερο ή ίσο του μη- δενός, συμπεραίνω ότι αυτό είναι θετικό για κάθε x ∈ ! , συνεπώς η διακρίνουσα του τριωνύμου είναι αρνητική. Ισχύει επομένως, Δ < 0 ⇔ (−2)2 − 4 ⋅1 ⋅ (−γ) < 0 ⇔ 4 + 4γ < 0 ⇔ 4γ < −4 ⇔ γ < −1 . Άρα, σωστή απάντηση είναι η Γ.

Απάντηση κατανόησης – Πρόταση 2 από «ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ-Ερωτήσεις κατανόησης». Η ερώτηση βρίσκεται στο αντίστοιχο εκπαιδευτικό υλικό· εδώ διατίθεται η απάντηση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: Αφού η ανίσωση αληθεύει για κάθε x ∈ ! , δηλαδή το τριώνυμο είναι θετικό για κάθε x ∈ ! , συμπεραίνω ότι η διακρίνουσά του είναι αρνητική. Ισχύει επομένως Δ < 0 ⇔ (−2)2 − 4 ⋅1 ⋅ γ < 0 ⇔ 4 − 4γ < 0 ⇔ 4γ > 4 ⇔ γ > 1 . Άρα, σωστή απάντηση είναι η Γ. - 53 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr Ά λγε β ρ α Α ΄Λ υκε ί ου Κεφάλαιο 4 • Ανισώσεις

Απάντηση κατανόησης – Πρόταση 3 από «ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ-Ερωτήσεις κατανόησης». Η ερώτηση βρίσκεται στο αντίστοιχο εκπαιδευτικό υλικό· εδώ διατίθεται η απάντηση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: Η ανίσωση ισοδύναμα γράφεται −2x 2 + 3λx − λ2 ≤ 0 ⇔ 2x 2 − 3λx + λ2 ≥ 0 . Αφού αληθεύει για κάθε x ∈ ! , δηλαδή το τριώνυμο είναι μεγαλύτερο ή ίσο του μηδε- νός για κάθε x ∈ ! , σημαίνει ότι η διακρίνουσά του είναι μικρότερη ή ίση του μηδε- νός. Ισχύει επομένως, Δ ≤ 0 ⇔ (−3λ) − 4 ⋅ 2 ⋅ λ2 ≤ 0 ⇔ 9λ2 − 8λ2 ≤ 0 ⇔ λ2 ≤ 0 , 2 από όπου προκύπτει λ2 = 0 ⇔ λ = 0 . Άρα, σωστή απάντηση είναι η Δ.

Απάντηση κατανόησης – Πρόταση 4 από «ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ-Ερωτήσεις κατανόησης». Η ερώτηση βρίσκεται στο αντίστοιχο εκπαιδευτικό υλικό· εδώ διατίθεται η απάντηση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: Η x − 1 δηλώνει την απόσταση του αριθμού x από το 1. Η x − 5 δηλώνει την απόσταση του αριθμού x από το 5. Επειδή το άθροισμα των αποστάσεων αυτών είναι ίσο με 4, δηλαδή όση είναι και η απόσταση των αριθμών 1 και 5, η εξίσωση θα αληθεύει μόνο όταν ο αριθμός x είναι μεταξύ του 1 και του 5, δηλαδή όταν 1 ≤ x ≤ 5 . Άρα, σωστή απάντηση είναι η Γ.

Απάντηση κατανόησης – Πρόταση 5 από «ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ-Ερωτήσεις κατανόησης». Η ερώτηση βρίσκεται στο αντίστοιχο εκπαιδευτικό υλικό· εδώ διατίθεται η απάντηση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: Από την εξίσωση προκύπτει, βάσει του ορισμού της απόλυτης τιμής, x −1 = x −1 ⇔ x −1 ≥ 0 ⇔ x ≥ 1, το οποίο σημαίνει ότι η εξίσωση έχει άπειρες λύσεις. Άρα, σωστή απάντηση είναι η Γ. - 54 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Απάντηση κατανόησης – Ισχυρισµός 1 από «ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ-Ερωτήσεις κατανόησης». Η ερώτηση βρίσκεται στο αντίστοιχο εκπαιδευτικό υλικό· εδώ διατίθεται η απάντηση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: Το τριώνυμο έχει διακρίνουσα Δ = λ2 − 4 ⋅1 ⋅ λ2 = −3λ2 < 0 , αφού είναι λ ≠ 0 (άρα λ2 > 0 ). Συνεπώς, είναι x 2 + λx + λ2 > 0 , για κάθε x ∈ ! . Άρα, ο ισχυρισμός είναι αληθής.

Απάντηση κατανόησης – Ισχυρισµός 2 από «ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ-Ερωτήσεις κατανόησης». Η ερώτηση βρίσκεται στο αντίστοιχο εκπαιδευτικό υλικό· εδώ διατίθεται η απάντηση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: Το τριώνυμο έχει διακρίνουσα Δ = (4λ) − 4 ⋅ λ2 ⋅ 5 = 16λ2 − 20λ2 = −4λ2 < 0 , 2 αφού είναι λ ≠ 0 (άρα λ2 > 0 ). Συνεπώς, είναι λ2x 2 + 4λx + 5 > 0 , για κάθε x ∈ ! . Άρα, ο ισχυρισμός είναι ψευδής.

Απάντηση κατανόησης – Ισχυρισµός 3 από «ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ-Ερωτήσεις κατανόησης». Η ερώτηση βρίσκεται στο αντίστοιχο εκπαιδευτικό υλικό· εδώ διατίθεται η απάντηση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: 1η ανίσωση x 2 (x − 1) ≥ 0 ⇔ x − 1 ≥ 0 ⇔ x ≥ 1 ή x = 0 , δηλαδή x ∈ ⎡⎢1, + ∞) ∪ {0} . ⎣ 2η ανίσωση x −1 ≥ 0 ⇔ x ≥ 1 , δηλαδή x ∈ ⎡⎢1, + ∞) . ⎣ Οι ανισώσεις εμφανώς δεν έχουν τις ίδιες λύσεις, άρα ο ισχυρισμός είναι ψευδής. - 55 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr Ά λγε β ρ α Α ΄Λ υκε ί ου Κεφάλαιο 4 • Ανισώσεις Η επίλυση της πρώτης ανίσωσης του ισχυρισμού 3 στηρίζεται στην θεωρία και μεθοδο- λογία της παραγράφου 4.3 του σχολικού βιβλίου, η οποία είναι εκτός ύλης (δυστυχώς). Επομένως, η απάντηση του ισχυρισμού 3 να μην ληφθεί υπόψη (δίνεται για λόγους πληρότητας στις απαντήσεις των ερωτήσεων κατανόησης του σχολικού βιβλίου).

Απάντηση κατανόησης – Ισχυρισµός 4 από «ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ-Ερωτήσεις κατανόησης». Η ερώτηση βρίσκεται στο αντίστοιχο εκπαιδευτικό υλικό· εδώ διατίθεται η απάντηση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: 1η ανίσωση x 2 (x − 1) ≤ 0 ⇔ x − 1 ≤ 0 ⇔ x ≤ 1 . 2η ανίσωση x −1 ≤ 0 ⇔ x ≤ 1 . Οι ανισώσεις εμφανώς έχουν τις ίδιες λύσεις, άρα ο ισχυρισμός είναι αληθής. Η επίλυση της πρώτης ανίσωσης του ισχυρισμού 4 στηρίζεται στην θεωρία και μεθοδο- λογία της παραγράφου 4.3 του σχολικού βιβλίου, η οποία είναι εκτός ύλης (δυστυχώς). Επομένως, η απάντηση του ισχυρισμού 4 να μην ληφθεί υπόψη (δίνεται για λόγους πληρότητας στις απαντήσεις των ερωτήσεων κατανόησης του σχολικού βιβλίου).

Απάντηση κατανόησης – Ισχυρισµός 5 από «ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ-Ερωτήσεις κατανόησης». Η ερώτηση βρίσκεται στο αντίστοιχο εκπαιδευτικό υλικό· εδώ διατίθεται η απάντηση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: 1η ανίσωση Πρέπει να είναι x + 1 ≠ 0 ⇔ x ≠ −1 . Από την ανίσωση έχω τότε 2x − 1 2x − 1 2x − 1 − (x + 1) 2x − 1 − x − 1 >1⇔ −1 > 0 ⇔ >0⇔ >0⇔ x +1 x +1 x +1 x +1 x −2 ⇔ > 0 ⇔ (x − 2)(x + 1) > 0 ⇔ x ∈ (−∞ ,− 1) ∪ (2 , + ∞) . x +1 2η ανίσωση 2x − 1 > x + 1 ⇔ x > 2 ⇔ x ∈ (2 , + ∞) . Οι δύο ανισώσεις εμφανώς δεν έχουν τις ίδιες λύσεις, άρα ο ισχυρισμός είναι ψευδής. - 56 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr Ά λγε β ρ α Α ΄Λ υκε ί ου Κεφάλαιο 4 • Ανισώσεις Η επίλυση της πρώτης ανίσωσης του ισχυρισμού 5 στηρίζεται στην θεωρία και μεθοδο- λογία της παραγράφου 4.3 του σχολικού βιβλίου, η οποία είναι εκτός ύλης (δυστυχώς). Επομένως, η απάντηση του ισχυρισμού 5 να μην ληφθεί υπόψη (δίνεται για λόγους πληρότητας στις απαντήσεις των ερωτήσεων κατανόησης του σχολικού βιβλίου).

Απάντηση κατανόησης – Ισχυρισµός 6 από «ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ-Ερωτήσεις κατανόησης». Η ερώτηση βρίσκεται στο αντίστοιχο εκπαιδευτικό υλικό· εδώ διατίθεται η απάντηση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: 1η ανίσωση Πρέπει να είναι (x − 2) ≠ 0 ⇔ x − 2 ≠ 0 ⇔ x ≠ 2 . 2 Από την ανίσωση έχω τότε x −1 ≥ 0 ⇔ (x − 1)(x − 2) ≥ 0 ⇔ x ≥ 1 . 2 (x − 2) 2 Επειδή πρέπει x ≠ 2 , τελικά προκύπτει x ∈ ⎡⎢1, 2) ∪ (2 , + ∞) . ⎣ 2η ανίσωση x − 1 ≥ 0 ⇔ x ≥ 1 ⇔ x ∈ ⎡⎢1, + ∞) . ⎣ Οι δύο ανισώσεις εμφανώς δεν έχουν τις ίδιες λύσεις, άρα ο ισχυρισμός είναι ψευδής. Η επίλυση της πρώτης ανίσωσης του ισχυρισμού 6 στηρίζεται στην θεωρία και μεθοδο- λογία της παραγράφου 4.3 του σχολικού βιβλίου, η οποία είναι εκτός ύλης (δυστυχώς). Επομένως, η απάντηση του ισχυρισμού 6 να μην ληφθεί υπόψη (δίνεται για λόγους πληρότητας στις απαντήσεις των ερωτήσεων κατανόησης του σχολικού βιβλίου). - 57 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr Ά λγε β ρ α Α ΄Λ υκε ί ου Κεφάλαιο 4 • Ανισώσεις

Απάντηση κατανόησης – Ισχυρισµός 7 από «ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ-Ερωτήσεις κατανόησης». Η ερώτηση βρίσκεται στο αντίστοιχο εκπαιδευτικό υλικό· εδώ διατίθεται η απάντηση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: 1η ανίσωση Πρέπει να είναι (x − 2) ≠ 0 ⇔ x − 2 ≠ 0 ⇔ x ≠ 2 . 2 Από την ανίσωση έχω τότε x −1 ≥ 0 ⇔ (x − 1)(x − 2) ≥ 0 ⇔ x ≥ 1 . 2 (x − 2) 2 Επειδή πρέπει x ≠ 2 , τελικά προκύπτει x ∈ ⎡⎢1, 2) ∪ (2 , + ∞) . ⎣ 2η ανίσωση (x − 1)(x − 2) ≥ 0 ⇔ x ≥ 1 ⇔ x ∈ ⎡⎣⎢1, + ∞) . 2 Οι δύο ανισώσεις δεν έχουν τις ίδιες λύσεις εμφανώς, άρα ο ισχυρισμός είναι ψευδής. Η επίλυση της πρώτης ανίσωσης του ισχυρισμού 7 στηρίζεται στην θεωρία και μεθοδο- λογία της παραγράφου 4.3 του σχολικού βιβλίου, η οποία είναι εκτός ύλης (δυστυχώς). Επομένως, η απάντηση του ισχυρισμού 7 να μην ληφθεί υπόψη (δίνεται για λόγους πληρότητας στις απαντήσεις των ερωτήσεων κατανόησης του σχολικού βιβλίου).

Απάντηση κατανόησης – Ισχυρισµός 8 από «ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ-Ερωτήσεις κατανόησης». Η ερώτηση βρίσκεται στο αντίστοιχο εκπαιδευτικό υλικό· εδώ διατίθεται η απάντηση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: 1η ανίσωση Πρέπει να είναι x −1 ≠ 0 ⇔ x ≠ 1 . Από την ανίσωση έχω τότε x ≠1 x −2 ≥ 0 ⇔ (x − 2)(x − 1) ≥ 0 ⇔ x ∈ (−∞ ,1⎤⎥ ∪ ⎡⎢2 , + ∞) ⇔ x ∈ (−∞ ,1) ∪ ⎡⎢2 , + ∞) . x −1 ⎦ ⎣ ⎣ 2η ανίσωση (x − 2)(x − 1) ≥ 0 ⇔ x ∈ (−∞ ,1⎤⎦⎥ ∪ ⎡⎣⎢2 , + ∞) . Οι δύο ανισώσεις εμφανώς δεν έχουν τις ίδιες λύσεις, άρα ο ισχυρισμός είναι ψευδής. - 58 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr Ά λγε β ρ α Α ΄Λ υκε ί ου Κεφάλαιο 4 • Ανισώσεις Η επίλυση της πρώτης ανίσωσης του ισχυρισμού 8 στηρίζεται στην θεωρία και μεθοδο- λογία της παραγράφου 4.3 του σχολικού βιβλίου, η οποία είναι εκτός ύλης (δυστυχώς). Επομένως, η απάντηση του ισχυρισμού 8 να μην ληφθεί υπόψη (δίνεται για λόγους πληρότητας στις απαντήσεις των ερωτήσεων κατανόησης του σχολικού βιβλίου).

Απάντηση κατανόησης – Ισχυρισµός 9 από «ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ-Ερωτήσεις κατανόησης». Η ερώτηση βρίσκεται στο αντίστοιχο εκπαιδευτικό υλικό· εδώ διατίθεται η απάντηση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: 1η ανίσωση Πρέπει να είναι x −1 ≠ 0 ⇔ x ≠ 1 . Από την ανίσωση έχω τότε x −2 < 0 ⇔ (x − 2)(x − 1) < 0 ⇔ x ∈ (1, 2) . x −1 2η ανίσωση (x − 2)(x − 1) < 0 ⇔ x ∈ (1, 2) . Οι δύο ανισώσεις εμφανώς έχουν τις ίδιες λύσεις, άρα ο ισχυρισμός είναι αληθής. Η επίλυση της πρώτης ανίσωσης του ισχυρισμού 9 στηρίζεται στην θεωρία και μεθοδο- λογία της παραγράφου 4.3 του σχολικού βιβλίου, η οποία είναι εκτός ύλης (δυστυχώς). Επομένως, η απάντηση του ισχυρισμού 9 να μην ληφθεί υπόψη (δίνεται για λόγους πληρότητας στις απαντήσεις των ερωτήσεων κατανόησης του σχολικού βιβλίου).

Απάντηση κατανόησης – Ισχυρισµός 10 από «ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ-Ερωτήσεις κατανόησης». Η ερώτηση βρίσκεται στο αντίστοιχο εκπαιδευτικό υλικό· εδώ διατίθεται η απάντηση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: 1η ανίσωση Πρέπει να είναι ⎧⎪ x − 1 ≠ 0 ⎫⎪ ⎧⎪ ⎫ ⎪⎨ ⎪⎬ ⇔ ⎪⎨ x ≠ 1 ⎪⎪⎬ . ⎪⎪ x + 1 ≠ 0 ⎪⎪ ⎪⎩⎪ x ≠ −1 ⎪⎭⎪ ⎩ ⎭ Από την ανίσωση έχω τότε (x + 1) − (x − 1)(x + 2) < 0 ⇔ 2 x +1 x+2 x +1 x+2 < ⇔ − <0⇔ x −1 x +1 x −1 x +1 (x − 1)(x + 1) ⇔ ( x 2 + 1 + 2x − x 2 + 2x − x − 2 ) < 0 ⇔ x + 1 + 2x − (x + x − 2) < 0 ⇔ 2 2 (x − 1)(x + 1) (x − 1)(x + 1) - 59 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr Ά λγε β ρ α Α ΄Λ υκε ί ου Κεφάλαιο 4 • Ανισώσεις x 2 + 1 + 2x − x 2 − x + 2 x+3 ⇔ <0⇔ 2 < 0 ⇔ (x + 3) x 2 − 1 < 0 . ( ) (x − 1)(x + 1) x −1 Το πρόσημο του γινομένου φαίνεται στον ακόλουθο πίνακα: x −∞ −3 −1 1 +∞ x+3 - + + + x2 − 1 + + - + Γινόμενο - + - + Από τον πίνακα, για την ανίσωση προκύπτει x ∈ (−∞ ,− 3) ∪ (−1,1) . 2η ανίσωση (x + 1) < (x − 1)(x + 1) ⇔ x + 1 + 2x < x − 1 ⇔ 2x < −2 ⇔ x < −1 ⇔ x ∈ (−∞ ,− 1) . 2 2 2 Οι δύο ανισώσεις εμφανώς δεν έχουν τις ίδιες λύσεις, άρα ο ισχυρισμός είναι ψευδής. Η επίλυση της πρώτης ανίσωσης του ισχυρισμού 10 στηρίζεται στην θεωρία και μεθο- δολογία της παραγράφου 4.3 του σχολικού βιβλίου, η οποία είναι εκτός ύλης (δυστυ- χώς). Επομένως, η απάντηση του ισχυρισμού 10 να μην ληφθεί υπόψη (δίνεται για λόγους πληρότητας στις απαντήσεις των ερωτήσεων κατανόησης του σχολικού βιβλίου). - 60 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Απάντηση κατανόησης – Ομάδα ΙΙΙ, σελίδα 120 από «ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ-Ερωτήσεις κατανόησης». Η ερώτηση βρίσκεται στο αντίστοιχο εκπαιδευτικό υλικό· εδώ διατίθεται η απάντηση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: • Α΄ ομάδα, τριώνυμο 1 ( Είναι −2x 2 + 6x − 4 = −2 x 2 − 3x + 2 . ) Το τριώνυμο της παρένθεσης έχει διακρίνουσα Δ = (−3)2 − 4 ⋅1 ⋅ 2 = 9 − 8 = 1 , οπότε έχει δύο άνισες ρίζες, τις 3± 1 3±1 x1, 2 = = ⇔ x1 = 2 , x 2 = 1 , 2 ⋅1 2 οπότε είναι x 2 − 3x + 2 = (x − 2)(x − 1) , συνεπώς −2x 2 + 6x − 4 = −2 (x − 1)(x − 2) . Έτσι, το τριώνυμο 1 αντιστοιχίζεται με την μορφή Δ της Β΄ ομάδας. • Α΄ ομάδα, τριώνυμο 2 Το τριώνυμο έχει διακρίνουσα Δ = (−3)2 − 4 ⋅1 ⋅ 2 = 9 − 8 = 1 , οπότε έχει δύο άνισες ρίζες, τις 3± 1 3±1 x1, 2 = = ⇔ x1 = 2 , x 2 = 1 , 2 ⋅1 2 οπότε είναι x 2 − 3x + 2 = (x − 2)(x − 1) , Έτσι, το τριώνυμο 2 αντιστοιχίζεται με την μορφή Α της Β΄ ομάδας. - 61 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr Ά λγε β ρ α Α ΄Λ υκε ί ου Κεφάλαιο 4 • Ανισώσεις • Α΄ ομάδα, τριώνυμο 3 Είναι ( ) −x 2 + 3x − 2 = − x 2 − 3x + 2 = −(x − 1)(x − 2) , όπως προέκυψε νωρίτερα για το τριώνυμο 2. Έτσι, το τριώνυμο 3 αντιστοιχίζεται με την μορφή Β της Β΄ ομάδας. • Α΄ ομάδα, τριώνυμο 4 Είναι ( ) 2x 2 − 6x + 4 = − 2x 2 − 6x + 4 = − ⎡⎢−2 (x − 1)(x − 2)⎤⎥ = 2 (x − 1)(x − 2) , ⎣ ⎦ όπως προέκυψε νωρίτερα για το τριώνυμο 1. Έτσι, το τριώνυμο 4 αντιστοιχίζεται με την μορφή Γ της Β΄ ομάδας. - 62 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Απάντηση κατανόησης – Συλλογισµός 1 από «ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ-Ερωτήσεις κατανόησης». Η ερώτηση βρίσκεται στο αντίστοιχο εκπαιδευτικό υλικό· εδώ διατίθεται η απάντηση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: Το λάθος βρίσκεται στο πρώτο βήμα, (2x − 6)(x − 1) > 0 ⇔ 2x − 6 > 0 και x − 1 > 0 και είναι το εξής: Δεν ισχύει η κατεύθυνση “ ⇒ ”, δηλαδή από το (2x − 6)(x − 1) > 0 δεν προκύπτει ότι θα είναι 2x − 6 > 0 και x − 1 > 0 , αφού και στην περίπτωση που είναι 2x − 6 < 0 και x − 1 < 0 , τότε πάλι είναι (2x − 6)(x − 1) > 0 .

Απάντηση κατανόησης – Συλλογισµός 2 από «ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ-Ερωτήσεις κατανόησης». Η ερώτηση βρίσκεται στο αντίστοιχο εκπαιδευτικό υλικό· εδώ διατίθεται η απάντηση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: Το λάθος βρίσκεται στο πρώτο βήμα, 4 x< ⇔ x2 < 4 , x όπου έγινε απαλοιφή του παρονομαστή. Πρώτον, δεν τέθηκε ο περιορισμός x ≠ 0 . Δεύτερον, δεν γνωρίζουμε τι πρόσημο έχει το x με το οποίο θέλουμε να πολλαπλασιά- σουμε τα μέλη της ανίσωσης (και αυτό πρέπει να το ξέρουμε, πριν πολλαπλασιάσουμε τα μέλη, αν μπορούμε να το κάνουμε κιόλας!). - 63 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr