ΠΡΟΟΔΟΙ-Π1

Λυμένο παράδειγμα 1 από «ΠΡΟΟΔΟΙ-Π1». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: Στην ακολουθία α ν = 2ν2 − 3 , μέσω αυτής της σχέσης έχουμε τον ν-οστό ή γενικό όρο. Έτσι: • θέτοντας ν = 1 βρίσκουμε τον πρώτο όρο της, α1 = 2 ⋅12 − 3 = 2 − 3 ⇔ α1 = −1 , • θέτοντας ν = 2 βρίσκουμε τον δεύτερο όρο της, α 2 = 2 ⋅ 22 − 3 = 8 − 3 ⇔ α 2 = 5 , • θέτοντας ν = 5 βρίσκουμε τον πέμπτο όρο της, α 5 = 2 ⋅ 52 − 2 = 50 − 2 ⇔ α 5 = 48 , κ.ο.κ.

Λυμένο παράδειγμα 2 από «ΠΡΟΟΔΟΙ-Π1». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: Στην ακολουθία α1 = 2 , α ν+1 = α 2ν + 1 έχουμε τον πρώτο της όρο α1 , ενώ από την δεύ- τερη σχέση έχουμε τον αναδρομικό της τύπο. Με αυτά τα δύο δεδομένα, λέμε ότι «η ακολουθία ορίζεται αναδρομικά». Έτσι: • θέτοντας ν = 1 έχουμε ν + 1 = 1 + 1 = 2 και θα προκύψει ο δεύτερος όρος της: α 2 = α12 + 1 = 22 + 1 = 5 . • θέτοντας ν = 2 έχουμε ν + 1 = 2 + 1 = 3 και θα προκύψει ο τρίτος όρος της: α 3 = α 22 + 1 = 52 + 1 = 26 . Εδώ φαίνεται και μια αδυναμία αυτού του τρόπου ορισμού μιας ακολουθίας. Αν δεν έχουμε βρει τον δεύτερο όρο α 2 , τότε για τον τρίτο όρο πρέπει να κάνουμε τα ακόλουθα: ( ) ( ) 2 2 α 3 = α 22 + 1 = (α 2 ) + 1 = α12 + 1 + 1 = 22 + 1 + 1 = 52 + 1 = 26 . 2 Έτσι, αν πρέπει να βρούμε τον τέταρτο όρο α 4 της ακολουθίας, πρέπει να κάνουμε τα ακόλουθα: 2 2 ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ( ) 2 α 4 = α 23 + 1 = (α 3 ) + 1 = α 22 + 1 + 1 = ⎢(α 2 ) + 1⎥ + 1 = ⎢(α1 + 1) + 1⎥ + 1 = ... 2 2 2 ⎢⎣ ⎥⎦ ⎢⎣ ⎥⎦ Μέσω του αναδρομικού τύπου δηλαδή, για να βρούμε έναν όρο που θέλουμε θα πρέ- πει να γνωρίζουμε τον προηγούμενο, αλλιώς θα πρέπει να αναγόμαστε κάθε φορά στον πρώτο της όρο α1 . -4 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Λυμένο παράδειγμα 3 από «ΠΡΟΟΔΟΙ-Π1». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: Ας πάρουμε την ακολουθία α ν = 3ν + 5 . Στην ερώτηση «Ποιος είναι ο τρίτος όρος της ακολουθίας», η απάντηση είναι απλή: Θέτουμε ν = 3 και έχουμε α 3 = 3 ⋅ 3 + 5 = 9 + 5 = 14 , δηλαδή ο τρίτος όρος είναι ο αριθμός 14. Με όμοιο τρόπο, μπορούμε να βρούμε οποιονδήποτε όρος της ακολουθίας χρειαστεί. Υπάρχει, όμως, και η ερώτηση «Το 14 είναι όρος της ακολουθίας;» ή «Το 12 είναι όρος της ακολουθίας;» κ.ο.κ. Για να ελέγξεις, επομένως, αν ο αριθμός 14 είναι όρος της ακολουθίας, λύσε την εξίσω- ση α ν = 14 (άγνωστος θα είναι το ν) και εξέτασε αν έχει λύση στο ! * , δηλαδή αν έχει λύση φυσικό αριθμό ν ≥ 1 . • Αν έχει τέτοια λύση, τότε το 14 θα είναι όρος της ακολουθίας (μάλιστα, μέσω της τιμής του ν που θα έχεις βρει, θα έχεις ταυτόχρονα βρει και ποιος όρος της ακολου- θίας είναι το 14). • Αν δεν έχει τέτοια λύση, τότε το 14 δεν θα είναι όρος της ακολουθίας. Επομένως: • από την εξίσωση α ν = 14 , έχουμε 3ν + 5 = 14 ⇔ 3ν = 9 ⇔ ν = 3 ∈ ! * , συνεπώς το 14 είναι όρος της ακολουθίας (μάλιστα, είναι ο τρίτος της όρος). • από την εξίσωση α ν = 12 , έχουμε -5 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr Ά λγε β ρ α Α ΄Λ υκε ί ου Κεφάλαιο 5 • Πρόοδοι 7 3ν + 5 = 12 ⇔ 3ν = 7 ⇔ ν = ∉ !* , 3 συνεπώς το 12 δεν είναι όρος της ακολουθίας. Γενικώς, για να ελέγξεις αν ένας αριθμός β είναι όρος μιας ακολουθίας (α ν ) , λύσε την εξίσωση α ν = β . • Αν προκύψει λύση ν ∈ ! * , τότε ο αριθμός β είναι όρος της ακολουθίας. • Αν προκύψει λύση ν ∉ ! * , τότε ο αριθμός β δεν είναι όρος της ακολουθίας.

Λυμένο παράδειγμα 4 από «ΠΡΟΟΔΟΙ-Π1». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: Ας δούμε πώς θα ορίσουμε αναδρομικά την ακολουθία α ν = 3ν + 5 . Πρώτα βρίσκουμε τον πρώτο της όρο α1 : α1 = 3 ⋅1 + 5 = 3 + 5 ⇔ α1 = 8 . Στην συνέχεια, δημιουργώντας την διαφορά α ν+1 − α ν , έχουμε α ν+1 − α ν = 3 (ν + 1) − 5 − (3ν + 5) = 3ν + 3 − 5 − 3ν − 5 = 3 ⇔ α ν+1 − α ν = 3 ⇔ ⇔ α ν+1 = α ν + 3 . Επομένως, αναδρομικά η ακολουθία ορίζεται έτσι: α1 = 8 , α ν+1 = α ν + 3 .

Λυμένο παράδειγμα 5 από «ΠΡΟΟΔΟΙ-Π1». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: Ας δούμε πώς θα ορίσουμε αναδρομικά την ακολουθία α ν = 3ν . Πρώτα βρίσκουμε τον πρώτο της όρο α1 : α1 = 31 ⇔ α1 = 3 . α ν+1 Στην συνέχεια, δημιουργώντας το πηλίκο , έχουμε αν α ν+1 3ν+1 3ν ⋅ 31 α ν+1 = = = 3 ⇔ = 3 ⇔ α ν+1 = 3 ⋅ α ν . αν 3ν 3ν αν Επομένως, αναδρομικά η ακολουθία ορίζεται έτσι: α1 = 3 , α ν+1 = 3 ⋅ α ν . -7 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Λυμένο παράδειγμα 6 από «ΠΡΟΟΔΟΙ-Π1». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: Ας πάρουμε την ακολουθία α1 = 4 , α ν+1 = α ν + 3 (η οποία ορίζεται αναδρομικά, όπως είδαμε νωρίτερα) και ας βρούμε τον ν-οστό όρο της. • α1 = 4 . • α 2 = α1 + 3 . • α3 = α2 + 3 . ... • α ν = α ν−1 + 3 . Προσθέτουμε κατά μέλη τις παραπάνω ισότητες και προκύπτει α1 + α 2 + α 3 + ... + α ν−1 + α ν = 4 + α1 + 3 + α 2 + 3 + ... + α ν−1 + 3 ⇔ ⇔ αν = 4 + 3 +3+3 !####### + ... + 3$ ⇔ α ν = 4 + (ν − 1) ⋅ 3 ⇔ α ν = 4 + 3ν − 3 ⇔ α ν = 3ν + 1 . "####### ν−1 ϕορες -8 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Λύση σχολικού βιβλίου – Α1/124 από «ΠΡΟΟΔΟΙ-Π1». Η εκφώνηση βρίσκεται στο αντίστοιχο σχολικό βιβλίο· εδώ διατίθεται η λύση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: i. • Πρώτος όρος: α1 = 2 ⋅1 + 1 = 2 + 1 = 3 . • Δεύτερος όρος: α 2 = 2 ⋅ 2 + 1 = 4 + 1 = 5 . • Τρίτος όρος: α 3 = 2 ⋅ 3 + 1 = 6 + 1 = 7 . • Τέταρτος όρος: α 4 = 2 ⋅ 4 + 1 = 8 + 1 = 9 . • Πέμπτος όρος: α 5 = 2 ⋅ 5 + 1 = 10 + 1 = 11 . ii. • Πρώτος όρος: α1 = 21 = 2 . • Δεύτερος όρος: α 2 = 22 = 4 . • Τρίτος όρος: α 3 = 23 = 8 . • Τέταρτος όρος: α 4 = 24 = 16 . • Πέμπτος όρος: α 5 = 25 = 32 . iii. • Πρώτος όρος: α1 = 12 + 1 = 1 + 1 = 2 . • Δεύτερος όρος: α 2 = 22 + 2 = 4 + 2 = 6 . • Τρίτος όρος: α 3 = 32 + 3 = 9 + 3 = 12 . • Τέταρτος όρος: α 4 = 42 + 4 = 16 + 4 = 20 . -9 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr Ά λγε β ρ α Α ΄Λ υκε ί ου Κεφάλαιο 5 • Πρόοδοι • Πέμπτος όρος: α 5 = 52 + 5 = 25 + 5 = 30 . iv. 12 − 1 1−1 0 • Πρώτος όρος: α1 = = = =0. 1+1 2 2 22 − 1 4 −1 3 • Δεύτερος όρος: α 2 = = = = 1. 2+1 3 3 32 − 1 9 −1 8 • Τρίτος όρος: α 3 = = = =2. 3+1 4 4 42 − 1 16 − 1 15 • Τέταρτος όρος: α 4 = = = =3. 4+1 5 5 52 − 1 25 − 1 24 • Πέμπτος όρος: α 5 = = = =4. 5+1 6 6 Δεύτερος τρόπος (προτεινόμενος) Είναι ν2 − 1 (ν − 1) (ν + 1) αν = = = ν −1 , ν+1 ν+1 οπότε: • Πρώτος όρος: α1 = 1 − 1 = 0 . • Δεύτερος όρος: α 2 = 2 − 1 = 1 . • Τρίτος όρος: α 3 = 3 − 1 = 2 . • Τέταρτος όρος: α 4 = 4 − 1 = 3 . • Πέμπτος όρος: α 5 = 5 − 1 = 4 . - 10 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr Ά λγε β ρ α Α ΄Λ υκε ί ου Κεφάλαιο 5 • Πρόοδοι v. 1−1 0 ⎛ 1 ⎞⎟ ⎛ 1 ⎞⎟ • Πρώτος όρος: α1 = ⎜⎜⎜− ⎟⎟ = ⎜⎜⎜− ⎟⎟ = 1 . ⎝ 10 ⎟⎠ ⎝ 10 ⎟⎠ 2−1 1 ⎛ 1 ⎞⎟ ⎛ 1 ⎞⎟ 1 • Δεύτερος όρος: α 2 = ⎜⎜⎜− ⎟⎟ = ⎜⎜⎜− ⎟⎟ = − . ⎝ 10 ⎟⎠ ⎝ 10 ⎠ ⎟ 10 3−1 2 ⎛ 1 ⎞⎟ ⎛ 1 ⎞⎟ 1 1 • Τρίτος όρος: α 3 = ⎜⎜⎜− ⎟⎟ = ⎜⎜⎜− ⎟⎟ = = . ⎝ 10 ⎟⎠ ⎝ 10 ⎟⎠ 10 2 100 4−1 3 ⎛ 1 ⎞⎟ ⎛ 1 ⎞⎟ 1 1 • Τέταρτος όρος: α 4 = ⎜⎜⎜− ⎟⎟ = ⎜⎜⎜− ⎟⎟ = − =− . ⎝ 10 ⎟⎠ ⎝ 10 ⎟⎠ 10 3 1000 5−1 4 ⎛ 1 ⎞⎟ ⎛ 1 ⎞⎟ 1 1 • Πέμπτος όρος: α 5 =

Λύση σχολικού βιβλίου – Α2/124 από «ΠΡΟΟΔΟΙ-Π1». Η εκφώνηση βρίσκεται στο αντίστοιχο σχολικό βιβλίο· εδώ διατίθεται η λύση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: i. • Πρώτος όρος: α1 = 2 . 1 1 • Δεύτερος όρος: α 2 = = . α1 2 1 1 • Τρίτος όρος: α 3 = = =2. α2 1 2 1 1 • Τέταρτος όρος: α 4 = = . α3 2 1 1 • Πέμπτος όρος: α 5 = = =2. α4 1 2 ii. • Πρώτος όρος: α1 = 0 . • Δεύτερος όρος: α 2 = α12 + 1 = 02 + 1 = 1 . • Τρίτος όρος: α 3 = α 22 + 1 = 12 + 1 = 1 + 1 = 2 . • Τέταρτος όρος: α 4 = α 23 + 1 = 22 + 1 = 4 + 1 = 5 . - 14 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr Ά λγε β ρ α Α ΄Λ υκε ί ου Κεφάλαιο 5 • Πρόοδοι • Πέμπτος όρος: α 5 = α 24 + 1 = 52 + 1 = 25 + 1 = 26 . iii. • Πρώτος όρος: α1 = 3 . • Δεύτερος όρος: α 2 = 2 (α1 − 1) = 2 (3 − 1) = 2 ⋅ 2 = 4 . • Τρίτος όρος: α 3 = 2 (α 2 − 1) = 2 (4 − 1) = 2 ⋅ 3 = 6 . • Τέταρτος όρος: α 4 = 2 (α 3 − 1) = 2 (6 − 1) = 2 ⋅ 5 = 10 . • Πέμπτος όρος: α 5 = 2 (α 4 − 1) = 2 (10 − 1) = 2 ⋅ 9 = 18 .

Λύση σχολικού βιβλίου – Α3/124 από «ΠΡΟΟΔΟΙ-Π1». Η εκφώνηση βρίσκεται στο αντίστοιχο σχολικό βιβλίο· εδώ διατίθεται η λύση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: i. Ο πρώτος όρος της ακολουθίας είναι ο α1 = 1 + 5 = 6 ⇔ α1 = 6 . Επίσης, είναι α ν+1 − α ν = ν + 1 + 5 − (ν + 5) = ν + 6 − ν − 5 = 1 ⇔ α ν+1 − α ν = 1 ⇔ α ν+1 = α ν + 1 . Επομένως, η ακολουθία αναδρομικά ορίζεται έτσι: α1 = 6 , α ν+1 = α ν + 1 . ii. Ο πρώτος όρος της ακολουθίας είναι ο α1 = 21 ⇔ α1 = 2 . Επίσης, είναι α ν+1 2ν+1 2ν ⋅ 21 α = = = 2 ⇔ ν+1 = 2 ⇔ α ν+1 = 2 ⋅ α ν . αν 2ν 2ν αν Επομένως, η ακολουθία αναδρομικά ορίζεται έτσι: α1 = 2 , α ν+1 = 2 ⋅ α ν . - 15 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr Ά λγε β ρ α Α ΄Λ υκε ί ου Κεφάλαιο 5 • Πρόοδοι iii. Ο πρώτος όρος της ακολουθίας είναι ο α1 = 21 − 1 = 2 − 1 = 1 ⇔ α1 = 1 . Επίσης, είναι ( ) α ν+1 − α ν = 2ν+1 − 1 − 2ν − 1 = 2ν ⋅ 21 − 1 − 2ν + 1 = 2 ⋅ 2ν − 2ν = 2ν ⇔ α ν+1 − α ν = 2ν ⇔ ⇔ α ν+1 = α ν + 2ν . Από τον γενικό όρο α ν = 2ν − 1 προκύπτει 2ν = α ν + 1 , οπότε α ν+1 = α ν + α ν + 1 ⇔ α ν+1 = 2 ⋅ α ν + 1 . Επομένως, η ακολουθία αναδρομικά ορίζεται έτσι: α1 = 1 , α ν+1 = 2 ⋅ α ν + 1 . iv. Ο πρώτος όρος της ακολουθίας είναι ο α1 = 5 ⋅1 + 3 = 5 + 3 ⇔ α1 = 8 . Επίσης, είναι α ν+1 − α ν = 5 (ν + 1) + 3 − (5ν + 3) = 5ν + 5 + 3 − 5ν − 3 = 5 ⇔ α ν+1 − α ν = 5 ⇔ ⇔ α ν+1 = α ν + 5 . Επομένως, η ακολουθία αναδρομικά ορίζεται έτσι: α1 = 8 , α ν+1 = α ν + 5 . - 16 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr Ά λγε β ρ α Α ΄Λ υκε ί ου Κεφάλαιο 5 • Πρόοδοι

Λύση σχολικού βιβλίου – Α4/124 από «ΠΡΟΟΔΟΙ-Π1». Η εκφώνηση βρίσκεται στο αντίστοιχο σχολικό βιβλίο· εδώ διατίθεται η λύση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: i. Είναι: • α1 = 1 . • α 2 = α1 + 2 . • α3 = α2 + 2 . • α4 = α3 + 2 . ... • α ν−1 = α ν−2 + 2 . • α ν = α ν−1 + 2 . Προσθέτω κατά μέλη τις παραπάνω ισότητες και προκύπτει α1 + α 2 + α 3 + ... + α ν−1 + α ν = 1 + α1 + 2 + α 2 + 2 + α 3 + 2 + ... + α ν−1 + 2 ⇔ ⇔ αν = 1 + 2 +2+2 !####### + ... + 2$ ⇔ α ν = 1 + (ν − 1) ⋅ 2 ⇔ α ν = 1 + 2ν − 2 ⇔ α ν = 2ν − 1 . "####### ν−1 ϕορες ii. Είναι: • α1 = 3 . • α 2 = 5α1 . • α 3 = 5α 2 . • α 4 = 5α 3 . ... • α ν−1 = 5α ν−2 . • α ν = 5α ν−1 . Πολλαπλασιάζω κατά μέλη τις παραπάνω ισότητες και προκύπτει α1 ⋅ α 2 ⋅ α 3 ⋅... ⋅ α ν−1 ⋅ α ν = 3 ⋅ 5 α1 ⋅ 5 α 2 ⋅ 5 α 3 ⋅... ⋅ 5 α ν−1 ⇔ α ν = 3 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅#5 !#### "⋅... ####⋅#5$ ⇔ ν−1 οροι 5ν 3 ν ⇔ α ν = 3 ⋅ 5ν−1 ⇔ α ν = 3 ⋅ ⇔ αν = ⋅5 . 51 5 - 17 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr