Παράγωγος συνάρτησης σε σημείο – Κατηγορία 4

Δίνεται συνάρτηση f : ! → ! , παραγωγίσιμη στο 0, για την οποία ισχύει f(x) − 3x ≤ ηµ2x , για κάθε x ∈ ! . Να δείξετε ότι f ′(0) = 3 .

Δίνονται οι συναρτήσεις f , g : ! → ! , που είναι παραγωγίσιμες στο x 0 ∈ ! . Αν ισχύ- ουν f(x 0 ) = g(x 0 ) και f(x) ≤ g(x) , για κάθε x ∈ ! , να δείξετε ότι f ′(x 0 ) = g ′(x 0 ) .

Έστω συνάρτηση f : ! → ! , για την οποία ισχύει x − x 2 ≤ f(x) ≤ x + x 2 , για κάθε x ∈ ! . Να δείξετε ότι η f είναι: α) συνεχής στο x 0 = 0 . β) παραγωγίσιμη στο x 0 = 0 .

Έστω η συνεχής συνάρτηση f : ! → ! η οποία, για κάθε x ∈ ! , ικανοποιεί την σχέση 2x ⋅ ηµx ≤ x ⋅ f(x) ≤ ηµ2x + x 2 . Να αποδείξετε ότι: α) η C f διέρχεται από την αρχή των αξόνων. β) f ′(0) = 2 .

Έστω συνάρτηση f : ! → ! τέτοια, ώστε f(0) = 0 . Αν η f είναι παραγωγίσιμη στο x 0 = 0 και ισχύει f(x) + f(2x) + f(3x) ≥ 4ηµ3x , για κάθε x ∈ ! , να δείξετε ότι f ′(0) = 2 .

Έστω συνάρτηση f : ! → ! , παραγωγίσιμη στο x 0 = 0 , για την οποία ισχύει x ⋅ f(x) ≥ ηµx , για κάθε x ∈ ! . Να δείξετε ότι η γραφική της παράσταση τέμνει τον άξονα y΄y στο σημείο 1.

Δίνονται οι συναρτήσεις f , g : ! → ! , για τις οποίες ισχύει f(x) ≤ g(x) ≤ f(x) + (x − e)3 , για κάθε x ∈ ! . Αν η f είναι παραγωγίσιμη στο x 0 = e , με f ′(e) = 3 , να δείξετε ότι g ′(e) = 3 .

Δίνονται οι συναρτήσεις f, g, παραγωγίσιμες στο x 0 = 0 , για τις οποίες ισχύει f(x) + g(x) ≥ ηµx + 1 , για κάθε x ∈ ! . Αν f(0) + g(0) = 1 , να αποδείξετε ότι f ′(0) + g ′(0) = 1 .

Δίνεται συνάρτηση f : ! → ! , παραγωγίσιμη στο x 0 = 0 , για την οποία ισχύει f(x) − 3x ≤ ηµ2x , για κάθε x ∈ ! . f(9x) − f(x) Αν f ′(0) = 3 , να αποδείξετε ότι ℓ im =4. x→ 0 f(2x)

Δίνεται συνάρτηση f, παραγωγίσιμη στο x 0 = 0 , για την οποία ισχύουν f 3 (x) − x ⋅ f 2 (x) + x 2f(x) ≤ x 4 + ηµ3x , για κάθε x ∈ ! , και f(0) ≥ 0 . Να υπολογίσετε την f ′(0) .