Εκθετική-Λογαριθμική-Παράγραφος 1 (Θ)

Λυμένο παράδειγμα 1 από «Εκθετική-Λογαριθμική-Παράγραφος 1 (Θ)». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: 2x+1 = 16 ⇔ 2x+1 = 24 ⇔ x + 1 = 4 ⇔ x = 3 .

Λυμένο παράδειγμα 2 από «Εκθετική-Λογαριθμική-Παράγραφος 1 (Θ)». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: 1 1 3−x = ⇔ 3−x = 2 ⇔ 3−x = 3−2 ⇔ −x = −2 ⇔ x = 2 . 9 3 Δεύτερος τρόπος 1 1 1 3−x = ⇔ x = 2 ⇔ 3x = 32 ⇔ x = 2 . 9 3 3

Λυμένο παράδειγμα 3 από «Εκθετική-Λογαριθμική-Παράγραφος 1 (Θ)». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: x2 +1 x2 +1 x2 +1 3 x2 +1 −3 ⎛ 3 ⎞⎟ 8 ⎛3⎞ 23 ⎛3⎞ ⎛2⎞ ⎛3⎞ ⎛3⎞ ⎜⎜ ⎟ ⎜⎝ 2 ⎟⎟⎠ = ⇔ ⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟ = 3 ⇔ ⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟ = ⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟ ⇔ ⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟ = ⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟ ⇔ x 2 + 1 = −3 ⇔ 27 ⎝ 2 ⎟⎠ 3 ⎝ 2 ⎟⎠ ⎝ 3 ⎟⎠ ⎝ 2 ⎟⎠ ⎝ 2 ⎟⎠ ⇔ x 2 = −4 , που είναι αδύνατη, αφού είναι x 2 ≥ 0 , για κάθε x ∈ ! . -5 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr Άλγεβ ρ α Β΄ Λυ κε ί ου • Κ ΕΦΑ Λ Α Ι Ο 1 • Σ υστήμ α τα Παράγραφος 1 • Εκθετική συνάρτηση • ΘΕΩΡΙΑ Δεύτερος τρόπος Είναι 3 −3 8 23 ⎛ 2 ⎞ ⎛3⎞ = 3 = ⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟ = ⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟ , 27 3 ⎝ 3 ⎟⎠ ⎝ 2 ⎟⎠ οπότε έχω την εξίσωση x2 +1 −3 ⎛ 3 ⎞⎟ ⎛3⎞ ⎜⎜ ⎟ ⎜⎝ 2 ⎟⎟⎠ = ⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟ , ⎝ 2 ⎟⎠ από όπου προκύπτει x 2 + 1 = −3 ⇔ x 2 = −4 , αδύνατη, αφού είναι x 2 ≥ 0 , για κάθε x ∈ ! .

Λυμένο παράδειγμα 4 από «Εκθετική-Λογαριθμική-Παράγραφος 1 (Θ)». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: 2 2 2x −5x+6 = 1 ⇔ 2x −5x+6 = 20 ⇔ x 2 − 5x + 6 = 0 ⇔ x = 2 ή x = 3 .

Λυμένο παράδειγμα 5 από «Εκθετική-Λογαριθμική-Παράγραφος 1 (Θ)». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: x−2 ⎛ 1 ⎞⎟ x−2 ⎡ ⎛ ⎞2 ⎤ ⎛ 1 ⎞⎟ x−12 ⎛1⎞ 2(x−2) 1 x−12 x−12 ⎢ 1 ⎥ ⇔ ⎢ ⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟ ⎥ = ⎜⎜⎜6 2 ⎟⎟ ⇔ ⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟ (x−12) ⎜⎜ ⎟ = 6 = 62 ⇔ 6−2(x−2) = 6 2 ⇔ ⎜⎝ 36 ⎟⎟⎠ ⎢ ⎝ 6 ⎟⎠ ⎥ ⎜⎝ ⎟⎟⎠ ⎝ 6 ⎟⎠ ⎣ ⎦ x − 12 ⇔ −2(x − 2) = ⇔ −4(x − 2) = x − 12 ⇔ −4x + 8 = x − 12 ⇔ 5x = 20 ⇔ x = 4 . 2 β) Αν δεν μπορείς να γράψεις τον β σαν δύναμη με βάση α, τότε η εξίσωση αντιμε- τωπίζεται με την βοήθεια των λογάριθμων. Το θέμα αυτό αναπτύσσεται στην παράγραφο 3 του κεφαλαίου. -6 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr Άλγεβ ρ α Β΄ Λυ κε ί ου • Κ ΕΦΑ Λ Α Ι Ο 1 • Σ υστήμ α τα Παράγραφος 1 • Εκθετική συνάρτηση • ΘΕΩΡΙΑ Για την μορφή α f ( x ) = β g ( x ) διακρίνονται οι εξής περιπτώσεις: 1η περίπτωση Αν μία, τουλάχιστον, εκ των δύο βάσεων μπορείς να την γράψεις ως δύναμη με βάση την άλλη (που μπορεί να συμβαίνει και για τις δύο βάσεις βέβαια), τότε η εξίσωση θα λάβει την γενική μορφή γ f(x) = γ g(x) , οπότε συνέχισε λύνοντας την εξίσωση f(x) = g(x) . Και σε αυτήν την περίπτωση φυσικά, αν για τις παραστάσεις f(x), g(x) πρέπει να τε- θεί περιορισμός να τον θέσεις και να τον λάβεις υπόψη στην τελική λύση.

Λυμένο παράδειγμα 6 από «Εκθετική-Λογαριθμική-Παράγραφος 1 (Θ)». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: 2 Για την εξίσωση 33x = 9x +1 , έχουμε 2 2 33x = (32 )x +1 ⇔ 33x = 32(x +1) ⇔ 3x = 2(x 2 + 1) ⇔ 3x = 2x 2 + 2 ⇔ 2x 2 − 3x + 2 = 0 , που είναι αδύνατη, αφού έχει διακρίνουσα Δ = (−3)2 − 4 ⋅ 2 ⋅ 2 = 9 − 16 = −7 .

Λυμένο παράδειγμα 7 από «Εκθετική-Λογαριθμική-Παράγραφος 1 (Θ)». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: 2 Στην εξίσωση 9x−2 = 272x −2 , και οι δύο βάσεις μπορούν να γραφούν ως δύναμη με κοινή βάση (το 3), οπότε έχουμε 2 2 (32 )x−2 = (33 )2x −2 ⇔ 32(x−2) = 33(2x −2) ⇔ 2(x − 2) = 3(2x 2 − 2) ⇔ 2x − 4 = 6x 2 − 6 ⇔ 1 + 13 1 − 13 ⇔ 6x 2 − 2x − 2 = 0 ⇔ 3x 2 − x − 1 = 0 ⇔ x = ή x= . 2 2

Λυμένο παράδειγμα 8 από «Εκθετική-Λογαριθμική-Παράγραφος 1 (Θ)». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: Για την εξίσωση 4x ⋅ 2x−9 = 8 , έχουμε (22 )x ⋅ 2x−9 = 23 ⇔ 22x ⋅ 2x−9 = 23 ⇔ 22x+x−9 = 23 ⇔ 2x + x − 9 = 3 ⇔ 3x = 12 ⇔ x = 4 .

Λυμένο παράδειγμα 9 από «Εκθετική-Λογαριθμική-Παράγραφος 1 (Θ)». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: Για την εξίσωση 32x+1 − 24 ⋅ 3x−1 = 3 , έχουμε 3x 32x ⋅ 31 − 24 ⋅ − 3 = 0 ⇔ 3 ⋅ (3x )2 − 8 ⋅ 3x − 3 = 0 . 1 3 Θέτοντας 3x = y , y > 0 , έχουμε την εξίσωση 3y2 − 8y − 3 = 0 , από όπου εύκολα 1 προκύπτει y = 3 ή y = − (που απορρίπτεται, ως αρνητικός). 3 Άρα είναι 3x = 3 ⇔ 3x = 31 ⇔ x = 1 . -8 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr Άλγεβ ρ α Β΄ Λυ κε ί ου • Κ ΕΦΑ Λ Α Ι Ο 1 • Σ υστήμ α τα Παράγραφος 1 • Εκθετική συνάρτηση • ΘΕΩΡΙΑ

Λυμένο παράδειγμα 10 από «Εκθετική-Λογαριθμική-Παράγραφος 1 (Θ)». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: Για την εξίσωση e2x + e = e x + e x+1 , έχουμε (e x )2 + e = e x + e x ⋅ e1 ⇔ (e x )2 + e = e x + e ⋅ e x . Θέτοντας e x = y , y > 0 έχουμε την εξίσωση y2 + e = y + ey , από όπου προκύπτει y2 + e − y − ey = 0 ⇔ y(y − 1) − e(y − 1) = 0 ⇔ (y − 1)(y − e) = 0 ⇔ ⇔ y −1 = 0 ή y − e = 0 ⇔ y = 1 ή y = e . • Για y = 1 , προκύπτει e x = 1 ⇔ e x = e0 ⇔ x = 0 . • Για y = e , προκύπτει e x = e ⇔ e x = e1 ⇔ x = 1 .

Λυμένο παράδειγμα 11 από «Εκθετική-Λογαριθμική-Παράγραφος 1 (Θ)». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: Για την εξίσωση 22x − 10 ⋅ 2x + 16 = 0 , έχουμε (2x )2 − 10 ⋅ 2x + 16 = 0 . Θέτοντας 2x = y , y > 0 , έχουμε την εξίσωση y2 − 10y + 16 = 0 , από όπου εύκολα προκύπτει y = 8 ή y = 2 , οπότε: • για y = 8 , προκύπτει 2x = 8 ⇔ 2x = 23 ⇔ x = 3 . • για y = 2 , προκύπτει 2x = 2 ⇔ 2x = 21 ⇔ x = 1 . -9 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr Άλγεβ ρ α Β΄ Λυ κε ί ου • Κ ΕΦΑ Λ Α Ι Ο 1 • Σ υστήμ α τα Παράγραφος 1 • Εκθετική συνάρτηση • ΘΕΩΡΙΑ Μερικές ιδιαίτερες µορφές εκθετικών εξισώσεων Πρόκειται για εξισώσεις που σπανίως συναντώνται στην Γ΄ Λυκείου. Εν τούτοις, ας εί- σαι προετοιμασμένος και γι’ αυτές. ❖ 1η µορφή - Υπάρχουν αθροίσµατα/διαφορές µεταξύ δύο εκθετικών συναρτή- σεων µε διαφορετικές βάσεις, οι οποίες είναι εφικτό να αποµονω- θούν στο κάθε µέλος της εξίσωσης Η εξίσωση τότε θα λάβει την μορφή κ ⋅ β1x = λ ⋅ β2x , την οποία θα μετατρέψεις σε ανα- λογία τοποθετώντας στο ένα κλάσμα αυτής τις δύο εκθετικές συναρτήσεις και στο άλλο τους συντελεστές που υπήρχαν στην παραπάνω μορφή. Δηλαδή, την εξίσωση την φέρνεις στην μορφή x β1x λ ⎛ β ⎞⎟ = ⇔ ⎜⎜ 1 ⎟ = λ , x β2 κ ⎜⎜ β ⎟⎟⎟ κ ⎝ 2⎠ οπότε από εδώ και μετά συνεχίζεις σύμφωνα με την μορφή α f(x) = β των εκθετικών εξισώσεων.

Λυμένο παράδειγμα 12 από «Εκθετική-Λογαριθμική-Παράγραφος 1 (Θ)». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: Για την εξίσωση 7 ⋅ 3x+1 − 5x+2 = 3x+4 − 5x+3 , έχουμε: 7 ⋅ 3x ⋅ 31 − 3x ⋅ 34 = 5x ⋅ 52 − 5x ⋅ 53 ⇔ 21 ⋅ 3x − 81 ⋅ 3x = 25 ⋅ 5x − 125 ⋅ 5x ⇔ x −1 :(−20) 3x 5 ⎛3⎞ ⎛3⎞ x ⇔ −60 ⋅ 3 = −100 ⋅ 5 x ⇔ 3 ⋅ 3 = 5 ⋅ 5 ⇔ x = ⇔ ⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟ = ⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟ x x ⇔ x = −1 . 5 3 ⎝ 5 ⎟⎠ ⎝ 5 ⎟⎠

Λυμένο παράδειγμα 13 από «Εκθετική-Λογαριθμική-Παράγραφος 1 (Θ)». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: Για την εξίσωση 2 ⋅ 5x−2 + 2x = 12 ⋅ 5x−3 + 3 ⋅ 2x−3 , έχουμε: 5x x 5x 2x 2 ⋅ 5x x 12 ⋅ 5x 3 ⋅ 2x 2 ⋅ 2 + 2 = 12 ⋅ 3 + 3 ⋅ 3 ⇔ +2 = + ⇔ 5 5 2 25 125 8 3 ⋅ 2x 12 ⋅ 5x 2 ⋅ 5x 8 ⋅ 2x − 3 ⋅ 2x 12 ⋅ 5x − 10 ⋅ 5x 5 ⋅ 2x 2 ⋅ 5x ⇔ 2x − = − ⇔ = ⇔ = ⇔ 8 125 25 8 125 8 125 - 10 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr Άλγεβ ρ α Β΄ Λυ κε ί ου • Κ ΕΦΑ Λ Α Ι Ο 1 • Σ υστήμ α τα Παράγραφος 1 • Εκθετική συνάρτηση • ΘΕΩΡΙΑ x 4 2x 8 ⋅2 23 ⋅ 2 24 ⎛2⎞ ⎛2⎞ x ⇔ 5 ⋅125 ⋅ 2 = 8 ⋅ 2 ⋅ 5 ⇔ x = =x = ⇔ ⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟ = ⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟ ⇔ x = 4 . 5 5 ⋅125 5⋅5 3 54 ⎝ 5 ⎟⎠ ⎝ 5 ⎟⎠

Λυμένο παράδειγμα 14 από «Εκθετική-Λογαριθμική-Παράγραφος 1 (Θ)». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: Για την εξίσωση 3 ⋅ 9x − 5 ⋅ 6x + 22x+1 = 0 , έχουμε: 22x >0 2 x x 2x 1 2x x x 2x 3 ⋅ (3 ) − 5 ⋅ (3 ⋅ 2) + 2 ⋅ 2 = 0 ⇔ 3 ⋅ 3 − 5 ⋅ 3 ⋅ 2 + 2 ⋅ 2 = 0 ⇔ 2x 3 ⋅ 32x 5 ⋅ 3x ⋅ 2x 2 ⋅ 22x 0 ⎛ 3 ⎞⎟ x ⇔ − + = ⇔ 3 ⋅ ⎜⎜ ⎟ − 5 ⋅ 3 + 2 = 0 ⇔ 22x 2 2x 22x ⎜⎝ 2 ⎟⎟⎠ 2x 22x 2 ⎡ ⎛ ⎞x ⎤ ⎛ 3 ⎞⎟ x ⎢ ⎜ 3 ⎟⎟ ⎥ ⎜ ⇔ 3 ⋅ ⎢ ⎜⎜ ⎟ ⎥ − 5 ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟ + 2 = 0 . ⎢ ⎝ 2 ⎟⎠ ⎥ ⎝ 2 ⎟⎠ ⎣ ⎦ x ⎛3⎞ Θέτω ⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟ = y , y > 0 και έχω ⎝ 2 ⎟⎠ 2 3y2 − 5y + 2 = 0 ⇔ y = 1 ή y = . 3 • Για y = 1 , προκύπτει x x 0 ⎛ 3 ⎞⎟ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜⎜ ⎟ = 1 ⇔ ⎜⎜ 3 ⎟⎟ = ⎜⎜ 3 ⎟⎟ ⇔ x = 0 . ⎟ ⎜⎝ 2 ⎟⎠ ⎟ ⎜⎝ 2 ⎟⎠ ⎜⎝ 2 ⎟⎟⎠ 2 • Για y = , προκύπτει 3 x x −1 ⎛ 3 ⎞⎟ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜⎜ ⎟ = 2 ⇔ ⎜⎜ 3 ⎟⎟ = ⎜⎜ 3 ⎟⎟ ⇔ x = −1 . ⎜⎝ 2 ⎟⎠⎟ 3 ⎜⎝ 2 ⎟⎠⎟ ⎜⎝ 2 ⎟⎠⎟ - 12 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Λυμένο παράδειγμα 15 από «Εκθετική-Λογαριθμική-Παράγραφος 1 (Θ)». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: 2 Η ανίσωση 2x −3 > 0 αληθεύει για κάθε x ∈ ! .

Λυμένο παράδειγμα 16 από «Εκθετική-Λογαριθμική-Παράγραφος 1 (Θ)». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: x−4x2 x−4x2 ⎛1⎞ ⎛1⎞ Η ανίσωση ⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟ ≥ −2 αληθεύει για κάθε x ∈ ! , αφού είναι ⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟ > 0 , για κάθε ⎝ 2 ⎠⎟ ⎝ 2 ⎠⎟ x∈!.

Λυμένο παράδειγμα 17 από «Εκθετική-Λογαριθμική-Παράγραφος 1 (Θ)». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: 2x−4 > 8 ⇔ 2x−4 > 23 ⇔ x − 4 > 3 ⇔ x > 7 . Δεν άλλαξα την φορά της ανίσωσης, διότι οι βάσεις ήταν μεγαλύτερες του 1.

Λυμένο παράδειγμα 18 από «Εκθετική-Λογαριθμική-Παράγραφος 1 (Θ)». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: x+3 x+3 x+3 x+3 −2 ⎛ 1 ⎞⎟ ⎛1⎞ ⎛1⎞ 1 ⎛1⎞ ⎛1⎞ ⎜⎜ ⎟ ⎜⎝ 3 ⎟⎠⎟ ≥ 9 ⇔ ⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟ ≥ 3 ⇔ ⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟ 2 ≥ −2 ⇔ ⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟ ≥ ⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟ ⇔ x + 3 ≤ −2 ⇔ x ≤ −5 . ⎝ 3 ⎠⎟ ⎝ 3 ⎠⎟ 3 ⎝ 3 ⎠⎟ ⎝ 3 ⎠⎟ Άλλαξα την φορά της ανίσωσης, διότι οι βάσεις ήταν μικρότερες του 1.

Λυμένο παράδειγμα 19 από «Εκθετική-Λογαριθμική-Παράγραφος 1 (Θ)». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: 4 ⋅ 8x > 22−x ⇔ 22 ⋅ (23 )x > 22−x ⇔ 22 ⋅ 23x > 22−x ⇔ 22+3x > 22−x ⇔ 2 + 3x > 2 − x ⇔ ⇔ 4x > 0 ⇔ x > 0 . Δεν άλλαξα την φορά της ανίσωσης, διότι οι βάσεις ήταν μεγαλύτερες του 1.

Λυμένο παράδειγμα 20 από «Εκθετική-Λογαριθμική-Παράγραφος 1 (Θ)». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: x x+1 x2 −8x+7 x x+1 x2 −8x+7 1 ⎛⎜ 1 ⎞⎟ ⎛1⎞ ⎛1⎞ 1 ⎛1⎞ ⎛1⎞ ⎛1⎞ ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟ ≤ ⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟ ⋅ ⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟ ⇔ 3 ⋅ ⎜⎜⎜ 2 ⎟⎟⎟ ≤ ⎜⎜⎜ 4 ⎟⎟⎟ ⋅ ⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟ ⇔ 8 ⎝ 4 ⎟⎠ ⎝ 16 ⎟⎠ ⎝ 2 ⎟⎠ 2 ⎝ 2 ⎟⎠ ⎝ 2 ⎟⎠ ⎝ 2 ⎟⎠ x x+1 ⎛ 1 ⎞⎟ ⎡⎢ ⎛ 1 ⎞⎟ ⎤⎥ ⎡ ⎛ ⎞4 ⎤ 3 2 x2 −8x+7 3 2x 4(x+1) x2 −8x+7 ⎢ 1 ⎥ ⎛1⎞ ⎛1⎞ ⎛1⎞ ⎛1⎞ ⎛1⎞ ⇔ ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ ⎢ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎥ ≤ ⎢ ⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟ ⎥ ⎜ ⎜ ⋅ ⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟ ⇔ ⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟ ⋅ ⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟ ≤ ⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟ ⋅ ⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟ ⇔ ⎝ 2 ⎟⎠ ⎢ ⎝ 2 ⎟⎠ ⎥ ⎢ ⎝ 2 ⎟⎠ ⎥ ⎝ 2 ⎟⎠ ⎝ 2 ⎟⎠ ⎝ 2 ⎟⎠ ⎝ 2 ⎟⎠ ⎝ 2 ⎟⎠ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 3+2x 4(x+1)+x2 −8x+7 ⎛1⎞ ⎛1⎞ ⇔ ⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟ ≤ ⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟ ⇔ 3 + 2x ≥ 4(x + 1) + x 2 − 8x + 7 ⇔ ⎝ 2 ⎟⎠ ⎝ 2 ⎟⎠ ⇔ 3 + 2x ≥ 4x + 4 + x 2 − 8x + 7 ⇔ x 2 − 6x + 8 ≤ 0 ⇔ x ∈ ⎡⎢2 , 4⎤⎥ . ⎣ ⎦ Άλλαξα την φορά της ανίσωσης, διότι οι βάσεις ήταν μικρότερες του 1. β) Αν δεν μπορείς να γράψεις έτσι τον β, τότε η ανίσωση αντιμετωπίζεται με την βοή- θεια των λογάριθμων. Το θέμα αυτό αναπτύσσεται στην παράγραφο 3. - 15 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr Άλγεβ ρ α Β΄ Λυ κε ί ου • Κ ΕΦΑ Λ Α Ι Ο 1 • Σ υστήμ α τα Παράγραφος 1 • Εκθετική συνάρτηση • ΘΕΩΡΙΑ Για τις μορφές α f ( x ) < β , α f ( x ) ≤ β διακρίνονται οι εξής περιπτώσεις: 1η περίπτωση Αν είναι β = 0 ή β < 0 Τότε η ανίσωση είναι αδύνατη, αφού είναι α f(x) > 0 , για κάθε τιμή του x που ορίζεται η παράσταση f(x). Με βάση τον αριθμό e έχουμε τις ανισώσεις e f ( x ) < β , e f ( x ) ≤ β , που είναι αδύνατες, αφού είναι e f(x) > 0 , για κάθε τιμή του x που ορίζεται η παράσταση f(x).

Λυμένο παράδειγμα 21 από «Εκθετική-Λογαριθμική-Παράγραφος 1 (Θ)». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: 2 2 Η ανίσωση 2x −3 < 0 είναι αδύνατη, αφού είναι 2x −3 > 0 , για κάθε x ∈ ! .

Λυμένο παράδειγμα 22 από «Εκθετική-Λογαριθμική-Παράγραφος 1 (Θ)». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: x−4x2 x−4x2 ⎛1⎞ ⎛1⎞ Η ανίσωση ⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟ ≤ −2 είναι αδύνατη, αφού είναι ⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟ > 0 , για κάθε x ∈ ! . ⎝ 2 ⎟⎠ ⎝ 2 ⎟⎠

Λυμένο παράδειγμα 23 από «Εκθετική-Λογαριθμική-Παράγραφος 1 (Θ)». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: Για την ανίσωση 3x−1 > 92x , έχουμε 1 3x−1 > (32 )2x ⇔ 3x−1 > 34x ⇔ x − 1 > 4x ⇔ 3x < −1 ⇔ x < − . 3 Δεν άλλαξα την φορά της ανίσωσης, διότι οι βάσεις ήταν μεγαλύτερες του 1.

Λυμένο παράδειγμα 24 από «Εκθετική-Λογαριθμική-Παράγραφος 1 (Θ)». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: 2x x+2 ⎛1⎞ ⎛1⎞ Για την ανίσωση ⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟ ≤ ⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟ , και οι δύο βάσεις μπορούν να γραφούν ως δύναμη με ⎝ 4 ⎠⎟ ⎝ 8 ⎠⎟ κοινή βάση, οπότε έχουμε 2x x+2 ⎡ ⎛ ⎞2 ⎤ ⎡ ⎛ ⎞3 ⎤ ⎛1⎞ 4x ⎛1⎞ 3(x+2) ⎢ ⎜ 1 ⎟⎟ ⎥ ⎢ 1 ⎥ ⎢ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎥ ≤ ⎢ ⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟ ⎥ ⇔ ⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟ ≤ ⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟ ⇔ 4x ≥ 3(x + 2) ⇔ 4x ≥ 3x + 6 ⇔ x ≥ 6 ⎢ ⎝2⎠ ⎥ ⎢ ⎝ 2 ⎟⎠ ⎥ ⎝ 2 ⎟⎠ ⎝ 2 ⎟⎠ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ Άλλαξα την φορά της ανίσωσης, διότι οι βάσεις ήταν μικρότερες του 1. - 17 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr