Ε4-Π3-εξώφυλλο

Λυμένο παράδειγμα 104 από «Ε4-Π3-εξώφυλλο». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: −4x + 3 −4x + 3 −4x + 3 ℓ = ℓ im = ℓ im = ℓ im . x→ +∞ x2 + 7 + x x→ +∞ ⎛ 7 ⎞ x→ +∞ 7 x 2 ⎜⎜⎜1 + 2 ⎟⎟⎟ + x x ⋅ 1+ 2 + x ⎝ x ⎟⎠ x Αφού x → +∞ , είναι x = x , οπότε ⎛ 3⎞ x ⋅ ⎜⎜⎜−4 + ⎟⎟⎟ −4 + 3 −4x + 3 ⎝ x ⎠⎟ x = −4 + 0 ℓ = ℓ im = ℓ im = ℓ im = −2 . x→ +∞ 7 x→ +∞ ⎛ 7 ⎞ ⎟ x→ +∞ 7 1+ 0 +1 ⎜ x ⋅ 1+ 2 + x x ⋅ ⎜⎜ 1 + 2 + 1⎟⎟⎟ 1+ 2 +1 x ⎜⎝ x ⎟⎠ x - 358 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr Μαθη ματ ι κά Γ΄ Λυ κεί ο υ • Κ ΕΦΑ Λ Α Ι Ο 1 • Ό ρ ι ο -συνέχε ι α συνά ρτησης 4η ΕΝΟΤΗΤΑ. “Υπολογιστικά” θέµατα ορίων: όριο συνάρτησης στο άπειρο

Λυμένο παράδειγμα 105 από «Ε4-Π3-εξώφυλλο». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: ⎛ 1⎞ x 2 ⎜⎜⎜4 + 2 ⎟⎟⎟ − x 1 x ⋅ 4+ −x 2 4x + 1 − x ⎝ x ⎟⎠ x 2 ℓ = ℓ im = ℓ im = ℓ im . x→−∞ x 2 + 1 + 4x x→−∞ ⎛ 1 ⎞ x→−∞ 1 x 2 ⎜⎜⎜1 + 2 ⎟⎟⎟ + 4x x ⋅ 1 + 2 + 4x ⎝ x ⎟⎠ x Αφού x → −∞ , είναι x = −x , οπότε ⎛ 1 ⎞⎟ 1 ⎜⎜ ⎟⎟ 1 −x ⋅ 4 + 2 − x −x ⋅ ⎜⎜ 4 + 2 + 1 ⎟⎟ 4+ 2 +1 x ⎝ x ⎠ x ℓ = ℓ im = ℓ im = ℓ im = x→−∞ 1 x→−∞ ⎛ 1 ⎞ ⎟ x→−∞ 1 ⎜ −x ⋅ 1 + 2 + 4x −x ⋅ ⎜⎜ 1 + 2 − 4⎟⎟⎟ 1+ 2 −4 x ⎜⎝ x ⎟⎠ x 4+0 +1 = = −1 . 1+ 0 −4 Σημείωση Την απροσδιοριστία «άπειρο διά άπειρο» θα δεις την και στην παράγραφο 5 της 4ης ενότητας, αλλά και στο επόμενο κεφάλαιο. Εκεί όμως δεν θα υπάρχουν ρίζες και θα δεις πώς εκείνα τα όρια αντιμετωπίζονται. - 359 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

6x + 5 6x + 5 6x + 5 ℓ = ℓ im = ℓ im = ℓ im . x→ +∞ 2 4x − x + 7 x→ +∞ ⎛ 1 7⎞ x→ +∞ 1 7 x ⎜⎜⎜4 − + 2 ⎟⎟⎟ 2 x ⋅ 4− + 2 ⎝ x x ⎠⎟ x x Αφού x → +∞ , είναι x = x , οπότε ⎛ 5⎞ x ⋅ ⎜⎜⎜6 + ⎟⎟⎟ 6+ 5 6x + 5 ⎝ x ⎟⎠ x ℓ = ℓ im = ℓ im = ℓ im = x→ +∞ x→ +∞ x→ +∞ 1 7 1 7 1 7 x⋅ 4− + 2 x ⋅ 4− + 2 4− + 2 x x x x x x 6+0 = ⇒ ℓ=3 . 4−0+0

⎛ 5 6⎞ x 2 ⎜⎜⎜1 + − 2 ⎟⎟⎟ x ⋅ 1 + 5 − 6 x 2 + 5x − 6 ⎝ x ⎟ x ⎠ x x2 ℓ = ℓ im = ℓ im = ℓ im . x→−∞ 5− x x→−∞ −x + 5 x→−∞ −x + 5 Αφού x → −∞ , είναι x = −x , οπότε 5 6 5 6 −x ⋅ 1 + − 2 1+ − 2 x x x x 1+ 0−0 ℓ = ℓ im = ℓ im = ⇒ ℓ=1 . x→−∞ ⎛ 5 ⎞ x→−∞ 5 1− 0 −x ⋅ ⎜⎜⎜1 − ⎟⎟⎟ 1− ⎝ x ⎠⎟ x - 361 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr Μαθη ματ ι κά Γ΄ Λυ κεί ο υ • Κ ΕΦΑ Λ Α Ι Ο 1 • Ό ρ ι ο -συνέχε ι α συνά ρτησης 4η ΕΝΟΤΗΤΑ. “Υπολογιστικά” θέµατα ορίων: όριο συνάρτησης στο άπειρο

⎛ 3⎞ x 2 ⎜⎜⎜1 − 2 ⎟⎟⎟ + x 3 x ⋅ 1− +x 2 x −3 + x ⎝ x ⎠⎟ x 2 ℓ = ℓ im = ℓ im = ℓ im . x→ +∞ x 2 − 1 + 2x x→ +∞ 2⎜ ⎛ 1 ⎞⎟ x→ +∞ 1 x ⎜⎜1 − 2 ⎟⎟ + 2x x ⋅ 1 − 2 + 2x ⎝ x ⎠⎟ x Αφού x → +∞ , είναι x = x , οπότε ⎛ 3 ⎞⎟ 3 ⎜⎜ ⎟⎟ 3 x ⋅ 1− 2 + x x ⋅ ⎜⎜ 1 − 2 + 1 ⎟⎟ 1− 2 + 1 x ⎝ x ⎠ x ℓ = ℓ im = ℓ im = ℓ im = x→ +∞ 1 x→ +∞ ⎛ 1 ⎞ ⎟ x→ +∞ 1 ⎜ x ⋅ 1 − 2 + 2x x ⋅ ⎜⎜ 1 − 2 + 2⎟⎟⎟ 1− 2 + 2 x ⎜⎝ x ⎟⎠ x 1− 0 + 1 2 = ⇒ ℓ= . 1− 0 + 2 3

⎛ 5 3⎞ x 2 ⎜⎜⎜4 − + 2 ⎟⎟⎟ + x x ⋅ 4− 5 3 + 2 +x 2 4x − 5x + 3 + x ⎝ x x ⎟⎠ x x ℓ = ℓ im = ℓ im = ℓ im . x→−∞ x 2 − x + 2x x→−∞ ⎛ 1⎞ x→−∞ 1 x 2 ⎜⎜⎜1 − ⎟⎟⎟ + 2x x ⋅ 1 − + 2x ⎝ x ⎟⎠ x Αφού x → −∞ , είναι x = −x , οπότε ⎛ 5 3 ⎞⎟ 5 3 ⎜⎜ ⎟⎟ −x ⋅ 4 − + 2 + x x ⋅ ⎜⎜− 4 − + + 1 ⎟⎟ x x ⎝ x x 2 ⎠ ℓ = ℓ im = ℓ im = x→−∞ 1 x→−∞ ⎛ 1 ⎞⎟ ⎜ −x ⋅ 1 − + 2x x ⋅ ⎜⎜− 1 − + 2⎟⎟⎟ x ⎜⎝ x ⎟⎠ 5 3 1− 4 − + 2 x x 1− 4 − 0 + 0 = ℓ im = ⇒ ℓ = −1 . x→−∞ 1 2− 1− 0 2− 1− x - 362 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr Μαθη ματ ι κά Γ΄ Λυ κεί ο υ • Κ ΕΦΑ Λ Α Ι Ο 1 • Ό ρ ι ο -συνέχε ι α συνά ρτησης 4η ΕΝΟΤΗΤΑ. “Υπολογιστικά” θέµατα ορίων: όριο συνάρτησης στο άπειρο

Πρόσεξέ την πάρα πολύ! x 2 + 1 − x 2 − 3x ℓ = ℓ im . x→ +∞ x −1 Με λίγη δουλειά στο πρόχειρο, θα διαπιστωθεί ότι το όριο εμφανίζει απροσδιοριστία 0 διά 0, αν εφαρμοστεί η προηγούμενη τεχνική! Επομένως, δεν πρέπει να εφαρμοστεί αυτή. Για θυμήσου τι άλλο έχεις κάνει με τετραγωνικές ρίζες και δεν θα εκπλαγείς από την τροπή που θα πάρει η λύση στην συνέχεια. ℓ = ℓ im ( x + 1 − x − 3x )( x + 1 + x − 3x ) = 2 2 2 2 (x − 1) ( x + 1 + x − 3x ) x→ +∞ 2 2 x 2 + 1 − (x 2 − 3x) x 2 + 1 − x 2 + 3x = ℓ im = ℓ im = x→ +∞ (x − 1) ( x + 1 + x − 3x ) 2 2 x→ +∞ (x − 1) ( x + 1 + x − 3x ) 2 2 ⎛ 1⎞ x ⎜⎜⎜3 + ⎟⎟⎟ 3x + 1 ⎝ x ⎠⎟ = ℓ im = ℓ im = x→ +∞ (x − 1) ( x + 1 + x − 3x ) 2 2 x→ +∞ ⎛ 1⎞ x ⎜⎜⎜1 − ⎟⎟⎟ ⎝ x ⎠⎟ ( x + 1 + x − 3x ) 2 2 1 3 3+ +∞ = ℓ im x ⇒ ℓ=0 . ⎛ ⎞ ⎜⎜1 − 1 ⎟⎟ ( x + 1 + x − 3x ) x→ +∞ 2 2 ⎜⎝ x ⎟⎟⎠

⎛ 3⎞ x 2 ⎜⎜⎜1 − 2 ⎟⎟⎟ − x 3 −xx ⋅ 1− 2 x −3 − x ⎝ x ⎠⎟ x 2 ℓ = ℓ im = ℓ im = ℓ im . x→−∞ x 2 − 1 + 2x x→−∞ 2⎜ ⎛ 1 ⎞⎟ x→−∞ 1 x ⎜⎜1 − 2 ⎟⎟ + 2x x ⋅ 1 − 2 + 2x ⎝ x ⎠⎟ x Αφού x → −∞ , είναι x = −x , οπότε ⎛ 3 ⎞⎟ ⎜⎜ 3 −x ⋅ 1 − 2 − x −x ⋅ ⎜ 1 − 2 + 1⎟⎟⎟ 3 1− 2 + 1 ⎜⎝ x ⎟ ⎠ ℓ = ℓ im x = ℓ im = ℓ im x = x→−∞ 1 x→−∞ ⎛ 1 ⎞⎟ x→−∞ 1 ⎜ −x ⋅ 1 − 2 + 2x −x ⋅ ⎜⎜ 1 − 2 − 2⎟⎟⎟ 1− 2 −2 x ⎜⎝ x ⎟⎠ x - 363 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr Μαθη ματ ι κά Γ΄ Λυ κεί ο υ • Κ ΕΦΑ Λ Α Ι Ο 1 • Ό ρ ι ο -συνέχε ι α συνά ρτησης 4η ΕΝΟΤΗΤΑ. “Υπολογιστικά” θέµατα ορίων: όριο συνάρτησης στο άπειρο 1− 0 + 1 = ⇒ ℓ = −2 . 1− 0 −2

⎛ 5⎞ ⎛ 1⎞ x 2 ⎜⎜⎜1 − 2 ⎟⎟⎟ + x 2 ⎜⎜⎜2 + ⎟⎟⎟ x 2 − 5 + 2x 2 + x ⎝ x ⎟⎠ ⎝ x ⎟⎠ ℓ = ℓ im = ℓ im = x→−∞ x 2 − x + 4x 2 + 4 x→−∞ ⎛ 1⎞ ⎛ 4⎞ x 2 ⎜⎜⎜1 − ⎟⎟⎟ + x 2 ⎜⎜⎜4 + 2 ⎟⎟⎟ ⎝ x ⎟⎠ ⎝ x ⎟⎠ 5 1 x ⋅ 1−+ x ⋅ 2+ = ℓ im x 2 x . x→−∞ 1 4 x ⋅ 1− + x ⋅ 4 + 2 x x Αφού x → −∞ , είναι x = −x , οπότε ⎛ 5 1 ⎞⎟ ⎜ 5 −x ⋅ 1 − 2 − x ⋅ 2 + 1 −x ⋅ ⎜⎜ 1 − 2 + 2 + ⎟⎟⎟ ⎜⎝ x x ⎟⎠ ℓ = ℓ im x x = ℓ im = x→−∞ 1 4 x→−∞ ⎛ 1 4 ⎞⎟⎟ −x ⋅ 1 − − x ⋅ 4 + 2 ⎜⎜ −x ⋅ ⎜ 1 − + 4 + 2 ⎟⎟ x x ⎜⎝ x x ⎟⎠ 5 1 1−+ 2+ x 2 x = 1− 0 + 2 + 0 1+ 2 = ℓ im ⇒ ℓ= . x→−∞ 1 4 1− 0 + 4 + 0 3 1− + 4 + 2 x x - 364 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr