Ε4-Π1-εξώφυλλο

Λυμένο παράδειγμα 96 από «Ε4-Π1-εξώφυλλο». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: ℓ im (3x 3 + 4x − 5) = ℓ im 3x 3 = 3 ⋅ (+∞) = +∞ . x→ +∞ x→ +∞

Λυμένο παράδειγμα 97 από «Ε4-Π1-εξώφυλλο». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: ℓ im (−3x 3 + 8x 2 − 11) = ℓ im (−3x 3 ) = −3 ⋅ (−∞) = +∞ . x→−∞ x→−∞ Τα όρια των πολυωνύμων στο άπειρο είναι από τα ευκολότερα όρια και από τις ελά- χιστες περιπτώσεις που δεν κάνουμε εξαρχής αντικατάσταση! - 343 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Λυμένο παράδειγμα 98 από «Ε4-Π1-εξώφυλλο». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: 6x 4 − 3x 2 + 5x − 2 6x 4 ℓ im = ℓ im = ℓ im 3x = 3 ⋅ (+∞) = +∞ . x→ +∞ 2x 3 + 7x − 6 x→ +∞ 2 x3 x→ +∞

Λυμένο παράδειγμα 99 από «Ε4-Π1-εξώφυλλο». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: 12x 7 − 3x 5 + 4x 2 − 6 12x 7 ℓ im 4 3 = ℓ im = ℓ im 4x 3 = 4 ⋅ (−∞) = −∞ . x→−∞ 3x + x − 2x + 1 x→−∞ 3x 4 x→−∞ Γενικότερο συμπέρασμα Όταν ο βαθμός του αριθμητή είναι μεγαλύτερος από τον βαθμό του παρονομαστή, το τελικό αποτέλεσμα θα είναι +∞ ή −∞ .

Λυμένο παράδειγμα 100 από «Ε4-Π1-εξώφυλλο». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: 6x 3 − 3x 2 + 5x − 2 6 x3 ℓ im = ℓ im = ℓ im 3 = 3 . x→ +∞ 2x 3 + 7x − 6 x→ +∞ 2 x3 x→ +∞ Γενικότερο συμπέρασμα Όταν ο βαθμός του αριθμητή είναι ίσος με τον βαθμό του παρονομαστή, τότε το τελικό αποτέλεσμα θα είναι πραγματικός αριθμός διάφορος του μηδενός και δεν έχει σημα- σία αν x → +∞ ή αν x → −∞ (στο παράδειγμα 100, αν x → −∞ , το αποτέλεσμα εί- ναι πάλι το ίδιο ­δοκίμασέ το). - 344 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr Μαθη ματ ι κά Γ΄ Λυ κεί ο υ • Κ ΕΦΑ Λ Α Ι Ο 1 • Ό ρ ι ο -συνέχε ι α συνά ρτησης 4η ΕΝΟΤΗΤΑ. “Υπολογιστικά” θέµατα ορίων: όριο συνάρτησης στο άπειρο

Λυμένο παράδειγμα 101 – σελ. 9 – αρ. 6 από «Ε4-Π1-εξώφυλλο». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: 3 2 2 +∞ 3x − 6x + 1 3x 3 ℓ im 4 3 2 = ℓ im 4 = ℓ im 2 = 0 . x→ +∞ x − 7x + 6x − 2 x→ +∞ x x→ +∞ x Γενικότερο συμπέρασμα Όταν ο βαθμός του αριθμητή είναι μικρότερος από τον βαθμό του παρονομαστή, τότε το τελικό αποτέλεσμα θα είναι πάντα ίσο με μηδέν, είτε x → +∞ είτε x → −∞ (στο

Λυμένο παράδειγμα 101 – σελ. 9 – αρ. 7 από «Ε4-Π1-εξώφυλλο». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: Τα όρια των ρητών συναρτήσεων στο άπειρο είναι από τα ευκολότερα όρια και από τις ελάχιστες περιπτώσεις που δεν κάνουμε εξαρχής αντικατάσταση! - 345 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

3x 4 − 3x + 4 3x 4 3 3 ℓ = ℓ im = ℓ im = ⋅ ℓ im x 2 = ⋅ (+∞) = +∞ . 2 x→ +∞ 5x − 2x + 1 x→ +∞ 5 x2 5 x→ +∞ 5 Όπως και στα παραδείγματα που προηγήθηκαν, έτσι ακριβώς πρέπει να γράψεις τον τρόπο υπολογισμού του ορίου.

5x − 12x 2 + 4 −12x 2 + 5x + 4 −12 x 2 ℓ = ℓ im = ℓ im = ℓ im = −3 . x→−∞ 4x 2 − 2x x→−∞ 4x 2 − 2x x→−∞ 4 x2 Στο όριο υπήρχε μία «τρικλοποδιά»: το πολυώνυμο του αριθμητή δεν ήταν γραμμένο στην «σωστή» σειρά, δηλαδή κατά φθίνουσα σειρά των δυνάμεων του x. Αν δεν γινό- ταν αυτό αντιληπτό, άδικα θα χα-νόταν το σωστό αποτέλεσμα από ένα τόσο εύκολο όριο.

3x 2 − x − 4 3x 2 − x − 4 3 x2 3 1 3 ℓ = ℓ im 2 = ℓ im 4 = ℓ im = ⋅ ℓ im 2 = ⋅ 0 = 0 . x→ +∞ 6x + 5x 4 + 1 x→ +∞ 5x + 6x 2 + 1 x→ +∞ 5x 4 5 x→ +∞ x 5 Η ίδια «τρικλοποδιά» και σε αυτό το όριο, στον παρονομαστή αυτήν την φορά.

⎛ x2 − 1 x 2 + x ⎞⎟⎟ (x 2 − 1)(3x + 2) − (x 2 + x)(3x − 1) ℓ = ℓ im ⎜⎜⎜ − ⎟ = ℓ im = x→ +∞ ⎜ 3x − 1 ⎝ 3x + 2 ⎟⎠ x→ +∞ (3x − 1)(3x + 2) 3x 3 + 2x 2 − 3x − 2 − 3x 3 + x 2 − 3x 2 + x −2x − 2 −2 x = ℓ im 2 = ℓ im 2 = ℓ im = x→ +∞ 9x + 6x − 3x − 2 x→ +∞ 9x + 3x − 2 x→ +∞ 9x 2 2 1 2 =− ⋅ ℓ im = − ⋅ 0 = 0 . 9 x→ +∞ x 9 - 347 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr Μαθη ματ ι κά Γ΄ Λυ κεί ο υ • Κ ΕΦΑ Λ Α Ι Ο 1 • Ό ρ ι ο -συνέχε ι α συνά ρτησης 4η ΕΝΟΤΗΤΑ. “Υπολογιστικά” θέµατα ορίων: όριο συνάρτησης στο άπειρο

⎛ x2 + 3 x 2 − 4 ⎞⎟⎟ (x − 1)(x 2 + 3) − x(x 2 − 4) ℓ = ℓ im ⎜⎜⎜ − ⎟ = ℓ im = x→−∞ ⎜ ⎝ x x − 1 ⎟⎠ x→−∞ x(x − 1) x 3 + 3x − x 2 − 3 − x 3 + 4x −x 2 + 7x − 3 − x2 = ℓ im = ℓ im = ℓ im = −1 . x→−∞ x2 − x x→−∞ x2 − x x→−∞ x2

⎛ 2x 3 − 5 3x 2 − 7 ⎞⎟ ℓ = ℓ im ⎜⎜⎜ ⋅ ⎟⎟ . x→ +∞ ⎜ x + 2 ⎝ 5 − x 2 ⎟⎠ Είναι 2x 3 − 5 2x 3 ℓ 1 = ℓ im = ℓ im = ℓ im 2x 2 = 2 ⋅ (+∞) = +∞ . x→ +∞ x + 2 x→ +∞ x x→ +∞ Επίσης, 3x 2 − 7 3x 2 − 7 3 x2 ℓ 2 = ℓ im = ℓ im = ℓ im = −3 . x→ +∞ 5 − x 2 x→ +∞ −x 2 + 5 x→ +∞ − x2 Τελικά είναι ℓ = (+∞) ⋅ (−3) ⇒ ℓ = −∞ . Όπως είδες, δεν πολλαπλασίασα τα κλάσματα και μετά τα πολυώνυμα. Θα ήταν λάθος; Όχι βέβαια! Θα προέκυπταν πολλές πράξεις όμως, άρα περισσότερη (και περιττή) δου- λειά. Πώς μου ήρθε η παραπάνω λύση; Όχι ουρανοκατέβατα πάντως! Στο πρόχειρο είδα ότι το όριο κάθε κλάσματος υπολογί- ζεται εύκολα και το τελικό αποτέλεσμα δεν εμφανίζει απροσδιοριστία (αυτό ήταν το κυριότερο που με «έσπρωξε» στην παραπάνω λύση). - 348 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr Μαθη ματ ι κά Γ΄ Λυ κεί ο υ • Κ ΕΦΑ Λ Α Ι Ο 1 • Ό ρ ι ο -συνέχε ι α συνά ρτησης 4η ΕΝΟΤΗΤΑ. “Υπολογιστικά” θέµατα ορίων: όριο συνάρτησης στο άπειρο

⎛ x + 3 x 3 + 2 ⎞⎟ ℓ = ℓ im ⎜⎜⎜ 2 ⋅ 2 ⎟⎟ . x→ +∞ ⎜ x − x ⎝ x − 3 ⎟⎠ Αν εφαρμόσω και εδώ την τακτική της άσκησης 242, θα διαπιστώσω ότι θα προκύψει στο τέλος 0 ⋅ (+∞) , που είναι απροσδιοριστία. Εδώ, επομένως, θα κάνω όλες τις απα- ραίτητες πράξεις, αναγκαστικά. Είναι x 4 + 2x + 3x 3 + 6 x4 ℓ = ℓ im = ℓ im = ℓ im 1 = 1 . x→ +∞ x 4 − 3x 2 − x 3 + 3x x→ +∞ x4 x→ +∞

⎛ 2x 2 3x ⎞⎟⎟ ℓ = ℓ im ⎜⎜⎜ + ⎟. x→ +∞ ⎜ x − 1 ⎝ x + 1 ⎟⎠ Είναι 2x 2 2x 2 ℓ 1 = ℓ im = ℓ im = ℓ im 2x = 2 ⋅ (+∞) = +∞ . x→ +∞ x − 1 x→ +∞ x x→ +∞ Επίσης, 3x 3x ℓ 2 = ℓ im = ℓ im =3. x→ +∞ x +1 x→ +∞ x Τελικά είναι ℓ = (+∞) + 3 ⇒ ℓ = +∞ . Η τακτική που εφαρμόστηκε ήταν όμοια με της άσκησης 242. Στο πρόχειρο παρατήρη- σα ότι, υπολογίζοντας το όριο κάθε κλάσματος και αθροίζοντας, δεν προκύπτει απροσ- διοριστία. - 349 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr Μαθη ματ ι κά Γ΄ Λυ κεί ο υ • Κ ΕΦΑ Λ Α Ι Ο 1 • Ό ρ ι ο -συνέχε ι α συνά ρτησης 4η ΕΝΟΤΗΤΑ. “Υπολογιστικά” θέµατα ορίων: όριο συνάρτησης στο άπειρο

⎛ x3 x 2 ⎞⎟⎟ x 3 (x + 3) + x 2 (x − 2) x 4 + 3x 3 + x 3 − 2x 2 ℓ = ℓ im ⎜⎜⎜ + ⎟ = ℓ im = ℓ im = x→−∞ ⎜ x − 2 ⎝ x + 3 ⎟⎠ x→−∞ (x − 2)(x + 3) x→−∞ x 2 + 3x − 2x − 6 x 4 + 4x 3 − 2x 2 x4 = ℓ im 2 = ℓ im = ℓ im x 2 ⇒ ℓ = +∞ . x→−∞ x + x −6 x→−∞ x 2 x→−∞ Στο πρόχειρο παρατήρησα ότι, υπολογίζοντας το όριο κάθε κλάσματος και αθροίζο- ντας, προκύπτει απροσδιοριστία +∞ − ∞ . Άρα η τακτική της άσκησης 244 δεν μπορεί να εφαρμοστεί και το θέμα σώζεται κάνοντας τα κλάσματα ομώνυμα.

Πρόσεξέ την πάρα πολύ! ℓ = ℓ im (αx 3 + 5x 2 + 9) , α ≠ 0 . x→−∞ Είναι ⎧⎪ −∞ , αν α > 0 3 ⎪ ℓ = ℓ im (αx ) = α ⋅ (−∞) = ⎨ . x→−∞ ⎪⎪ +∞ , αν α < 0 ⎩⎪ Μια λεπτή περίπτωση με πολυώνυμο, του οποίου η μεγαλύτερη δύναμη δεν έχει στα- θερό συντελεστή, αλλά παράμετρο. Θα ήταν ακόμη πιο λεπτό το θέμα, αν δεν δίνονταν ότι α ≠ 0 , αλλά ότι α ∈ ! . Τότε θα έπρεπε να διακριθεί και η περίπτωση να είναι α=0.

⎛ x − 2 x 2 − 3x ⎞⎟ 3 2 2 3 2 3 ℓ = ℓ im ⎜⎜⎜ 3 ⋅ ⎟⎟ = ℓ im x − 3x − 2x + 6x = ℓ im x − 5x + 6x = ℓ im x = x→−∞ ⎜ x + 1 ⎝ x − 1 ⎟⎠ x→−∞ x 4 − x 3 + x − 1 x→−∞ x 4 − x 3 + x − 1 x→−∞ x4 1 = ℓ im =0. x→−∞ x

4 2 2 +∞ 4x + 2012 4x 4 ℓ = ℓ im 5 = ℓ im 5 = ℓ im 3 = 0 . x→ +∞ x +1 x→ +∞ x x→ +∞ x - 350 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr Μαθη ματ ι κά Γ΄ Λυ κεί ο υ • Κ ΕΦΑ Λ Α Ι Ο 1 • Ό ρ ι ο -συνέχε ι α συνά ρτησης 4η ΕΝΟΤΗΤΑ. “Υπολογιστικά” θέµατα ορίων: όριο συνάρτησης στο άπειρο

3x 3 + 2x 2 − x 3 x3 3 ℓ = ℓ im = ℓ im = . 3 2 x→−∞ 5x + x − 1 x→−∞ 5 x3 5

2x 4 + 5x 3 + x − 6 2x 4 ℓ = ℓ im 2 = ℓ im = ℓ im 2x 2 = 2 ⋅ (+∞) = +∞ . x→−∞ x + x + 21 x→−∞ x 2 x→−∞

⎛ x3 − x x 2 + 1 ⎞⎟⎟ ℓ = ℓ im ⎜⎜⎜ − ⎟. x→−∞ ⎜ x + 2 ⎝ x ⎟⎠ Είναι x3 − x x3 ℓ 1 = ℓ im = ℓ im = ℓ im x 2 = +∞ . x→−∞ x + 2 x→−∞ x x→−∞ Επίσης, x2 + 1 x2 ℓ 2 = ℓ im = ℓ im = ℓ im x = −∞ . x→−∞ x x→−∞ x x→−∞ Άρα είναι ℓ = (+∞) − (−∞) ⇒ ℓ = +∞ . - 351 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr