Ε3-Κ7-Μέρος 1(Α)-εξώφυλλο

Να αποδείξετε τις παρακάτω σχέσεις: β β x2 + 1 x2 α) ∫α 2x 2 + 1 dx + ∫α 2x 2 + 1 dx = β − α . 1 1 1 1 (x − 1)2 x dx dx β) ∫0 x2 − x + 1 dx + ∫ 0 2 x −x +1 dx = 1 . γ) ∫ 0 1 + ex + ∫ 1+ e = 1 . 0 −x

Οι συναρτήσεις f , g : ⎡⎢0 ,1⎤⎥ → ! είναι συνεχείς και ικανοποιούν τις σχέσεις ⎣ ⎦ 1 1 1 ∫ ⎡⎣⎢2f(x) − 3g(x)⎤⎦⎥ dx = 6 , ∫ f(x) dx = ∫ 3g(x) dx . 0 0 0 Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα 1 1 I= ∫ f(x) dx , J = ∫ g(x) dx . 0 0

Να αποδείξετε τις παρακάτω σχέσεις: 1 e 2 1 1 x −1 α) ∫e ℓn dx = x ∫ 1 ℓnx dx . β) ∫1 x +1 dx + ∫ 2 x +1 dx = 1 . 2 −6 x2 + 6 1 γ) 3 ⋅ ∫ −6 x2 + 9 dx − 9 ⋅ ∫ x + 9 dx = 24 . 2 2

Να βρείτε την τιμή του κ ∈ ! , για την οποία είναι κ −4 x2 8 2⋅ ∫−4 3x 2 + 12 dx − ∫κ 2 3x + 12 dx = 1 .

Η συνάρτηση f : ⎡⎢0 , 4⎤⎥ → ! είναι συνεχής και ικανοποιεί την σχέση ⎣ ⎦ 4 4 ∫ f(x) dx = ∫ f(x) dx . 0 3 3 Να αποδείξετε ότι ∫ f(x) dx = 0 . 0

Η συνάρτηση f : ⎡⎢0 , 4⎤⎥ → ! είναι συνεχής και ικανοποιεί τις σχέσεις ⎣ ⎦ 3 4 ∫ f(x) dx = 3 και ∫ f(y) dy = 7 . 0 0 4 Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα ∫ f(u) du . 3

Η συνάρτηση f : ⎡⎢1, 4⎤⎥ → ! είναι συνεχής και ικανοποιεί τις σχέσεις ⎣ ⎦ 3 3 ∫ f(x) dx = 4 και ∫ f(x) dx = 2 . 1 4 4 Να αποδείξετε ότι ∫ f(x) dx = 2 . 1

β δ Έστω η συνεχής συνάρτηση f : ! → ! , για την οποία ισχύει γ δ ∫ f(x) dx = ∫ f(x) dx . α γ Να αποδείξετε ότι ∫ f(x) dx = ∫ f(x) dx . α β

Η συνάρτηση f : Δ → ! είναι συνεχής και έστω α , β , γ , δ ∈ Δ . Να δείξετε ότι β δ γ β δ γ ∫ f(x) dx ⋅ ∫ f(x) dx + ∫ f(x) dx ⋅ ∫ f(x) dx + ∫ f(x) dx ⋅ ∫ f(x) dx = 0 . α γ α δ α β

Να βρείτε τις τιμές του α ∈ ! , για τις οποίες ισχύει α ∫ (3x + 4x − 5) dx = α − 2 . 0 2 3

Πρόσεξέ την πάρα πολύ! Δίνεται η συνάρτηση ⎧⎪ 2 ⎪ x + 1 , αν x < 1 f(x) = ⎪⎨ . ⎪⎪ x + 3 , αν x ≥ 1 ⎩⎪ α. Να αποδείξετε ότι η f είναι συνεχής στο ! . 6 β. Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα ∫ f(x) dx . 0

Πρόσεξέ την πάρα πολύ! Δίνεται η συνεχής συνάρτηση ⎧⎪ 2 ⎪ 3x + α , αν x ≤ 1 f(x) = ⎨ . ⎪⎪ 2βx + 1 , αν x > 1 ⎪⎩ 2 Να βρείτε τις τιμές των α , β ∈ ! , για τις οποίες είναι ∫ f(x) dx = 15 . 0

Πρόσεξέ την πάρα πολύ! 4 17 Να αποδείξετε ότι ∫ x − 5x + 6 dx = 3 . 0 2

Πρόσεξέ την πάρα πολύ! 1 x 2ν+1 Θεωρούμε το ολοκλήρωμα Ι ν = ∫0 x2 + 1 dx , ν ∈ ! . 1 α. Να αποδείξετε ότι Ι ν + Ι ν+1 = , για κάθε ν ∈ ! . 2ν + 2 β. Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα Ι0 , Ι1 , Ι2 .

Έστω οι θετικοί αριθμοί α, β, για τους οποίους ισχύει η σχέση β β 1 1 ∫ α x +1 dx = ∫α x(x + 1) dx . Να αποδείξετε ότι α = β ή αβ = 1 .

Πρόσεξέ την πάρα πολύ! Η συνάρτηση f : ! * → ! είναι συνεχής και ικανοποιεί την σχέση ⎛1⎞ f(x) + 2 f ⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟ = x 2 , για κάθε x ∈ ! * . ⎝ x ⎠⎟ 2 Να υπολογίσετε το ∫ f(x) dx . 1

Η συνάρτηση f : ! → ! είναι συνεχής και ικανοποιεί την σχέση x 2f(x) − f(−x) = x 3 , για κάθε x ∈ ! . x3 α. Να αποδείξετε ότι f(x) = 2 , για κάθε x ∈ ! . x +1 1 β. Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα ∫ f(x) dx . 0

Η συνάρτηση f : ⎡⎢0 ,1⎤⎥ → ! έχει συνεχή δεύτερη παράγωγο. Να αποδείξετε ότι ⎣ ⎦ 1 ∫ ⎡⎢⎣x ⋅ f′′(x) + f′(x)⎤⎥⎦ dx = f′(1) . 0

Η συνάρτηση f : ⎡⎢α , β⎤⎥ → ! έχει συνεχή δεύτερη παράγωγο και οι εφαπτομένες της C f ⎣ ⎦ π π στα σημεία α και β σχηματίζουν με τον άξονα x΄x γωνίες , αντίστοιχα. Να απο- 6 3 β 4 δείξετε ότι ∫ α f ′′(x) ⋅ f ′(x) dx = 3 .

Η συνάρτηση f έχει συνεχή παράγωγο στο ! και ικανοποιεί τις σχέσεις 1 f(1) = 0 και ∫ ⎡⎣⎢f′(e ) − f(e ) ⋅ e ⎤⎦⎥ dx = 1 . 0 x x −x f(e x ) α. Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης g(x) = , x∈!. ex β. Να αποδείξετε ότι f(e) = e .

Πρόσεξέ την πάρα πολύ! Η συνάρτηση f : ⎡⎢0 ,1⎤⎥ → ! έχει συνεχή παράγωγο και είναι f(0) = 1 , f(1) = 2 . ⎣ ⎦ Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα: 1 1 f ′(x) − f(x) α) ∫ 0 ex dx . β) ∫ x ⋅ ⎡⎣⎢2f(x) + x ⋅ f′(x)⎤⎦⎥ dx . 0

Η συνάρτηση f : ⎡⎢0 ,1⎤⎥ → (0 , + ∞) είναι παραγωγίσιμη στο ⎡⎢0 ,1⎤⎥ , με f(0) = f(1) = 1 . ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ Να αποδείξετε ότι 1 f(x) − f ′(x) x ∫ 0 f 2 (x) ⋅ e dx = e − 1 .

Πρόσεξέ την πάρα πολύ! Η συνάρτηση f : ⎡⎢0 ,1⎤⎥ → ⎡⎢0 , + ∞) είναι παραγωγίσιμη στο ⎡⎢0 ,1⎤⎥ , με f(0) = 0 , f(1) = 1 . ⎣ ⎦ ⎣ ⎣ ⎦ Να αποδείξετε ότι 1 f ′(x) − f(x) ⎛ 1⎞ dx = ℓn ⎜⎜⎜1 + ⎟⎟⎟ . ∫ 0 x e + f(x) ⎝ e ⎟⎠

1 e νx eν − 1 Αν Ι ν = ∫0 1+ e x dx , να αποδείξετε ότι Ι ν+1 = ν − Ιν , ν ∈ ! * .