Ε2-Π2-εξώφυλλο

Λυμένο παράδειγμα 64 από «Ε2-Π2-εξώφυλλο». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: ℓ im x −1 0 0 = ℓ im x −1 ( )( x + 1) = ℓ im x − 1 = ℓ im x − 1 = 2 2 x→1 x − 1 x→1 (x − 1) ( x + 1) (x − 1) ( x + 1) x→1 (x − 1) ( x + 1) x→1 1 1 1 = ℓ im = = . x→1 x +1 1 +1 2

Λυμένο παράδειγμα 65 από «Ε2-Π2-εξώφυλλο». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: ℓ im 1+ x − 1− x 0 = ℓ im 0 ( 1 + x − 1 − x )( 1 + x + 1 − x ) = x→ 0 x 2 + 2x x→ 0 (x + 2x) ( 1 + x + 1 − x ) 2 2 2 1+ x − 1− x 1 + x − (1 − x) = ℓ im = ℓ im = x→ 0 x(x + 2) ( 1+ x + 1− x ) x→ 0 x(x + 2) ( 1+ x + 1− x ) 1 +x− 1 +x 2x = ℓ im = ℓ im = x→ 0 x(x + 2) ( 1+ x + 1− x ) x→ 0 x (x + 2) ( 1+ x + 1− x ) 2 2 1 = ℓ im = = . x→ 0 (x + 2) ( 1+ x + 1− x ) (0 + 2) ( 1+ 0 + 1− 0 ) 2 - 260 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Λυμένο παράδειγμα 66 από «Ε2-Π2-εξώφυλλο». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: ℓ im 1− x 0 0 = ℓ im ( 10 − x + 3) = ℓ im (1 − x) ( 10 − x + 3) = (1 − x) x→1 10 − x − 3 x→1 ( 10 − x − 3)( 10 − x + 3) x→1 10 − x − 3 2 2 (1 − x) ( 10 − x + 3) = ℓ im (1 − x) ( 10 − x + 3) = ℓ im 10 − x + 3 = 10 − 1 + 3 = 6 . = ℓ im x→1 10 − x − 9 1− x x→1 ( ) x→1

Λυμένο παράδειγμα 67 από «Ε2-Π2-εξώφυλλο». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: ℓ im x −1 = ℓ im 0 0 ( x + 3 + 2) (x − 1) = ℓ im (x − 1) ( x + 3 + 2) 2 = 2 x→1 2 x + 3 −2 ( x + 3 − )( x→1 2 x + 3 + 2 2) 2 x + 3 −2 x→1 2 2 2 = ℓ im (x − 1) ( x + 3 + 2) = ℓ im (x − 1)( x + 3 + 2) = ℓ im (x − 1) ( x + 3 + 2) = 2 2 2 x→1 x2 + 3 − 4 x→1 x2 − 1 x→1 (x − 1) (x + 1) x2 + 3 + 2 12 + 3 + 2 = ℓ im = = 2. x→1 x +1 1+1

Λυμένο παράδειγμα 68 από «Ε2-Π2-εξώφυλλο». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: ℓ im x +1 −3 0 0 = ℓ im ( x + 1 − 3)( x + 1 + 3)( x + 8 + 4) = x→ 8 x + 8 −4 x→ 8 ( x + 8 − 4)( x + 8 + 4)( x + 1 + 3) ⎛ ⎞ ( ) 2 = ℓ im ⎜⎜ x + 1 − 32 ⎟⎟ x + 8 + 4 ⎜⎝ ⎟⎠ = ℓ im (x + 1 − 9) x + 8 + 4 = ( ) x→ 8 ⎛ 2 ⎞ ( ⎜⎜ x + 8 − 42 ⎟⎟ x + 1 + 3 ⎜⎝ ⎟⎠ x→ 8 ) (x + 8 − 16) x + 1 + 3 ( ) - 261 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr Μαθη ματ ι κά Γ΄ Λυ κεί ο υ • Κ ΕΦΑ Λ Α Ι Ο 1 • Ό ρ ι ο -συνέχε ι α συνά ρτησης 2η ΕΝΟΤΗΤΑ. “Υπολογιστικά” θέµατα ορίων: η απροσδιοριστία “0 διά 0” = ℓ im (x − 8) ( x + 8 + 4) = ℓ im x + 8 + 4 = 8 + 8 + 4 = 4 . x→ 8 (x − 8) ( x + 1 + 3) x +1 +3 x→ 8 8+1 +3 3

Λυμένο παράδειγμα 69 από «Ε2-Π2-εξώφυλλο». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: ⎛ 2 ⎞ ⎛3 3 ⎞ 3 x −1 0 0 ( 3 ) ( x − 1 ⎜⎜ 3 x + 3 x + 1⎟⎟⎟ x + 1 ⎝⎜ ⎠ ) ⎜⎜ x − 13 ⎟⎟ x + 1 ⎝⎜ ⎟⎠ ( ) ℓ im = ℓ im = ℓ im = ⎛ 2 ⎞ x→1 ⎛ ⎞ ( )( ) ( ) x→1 x→1 2 x −1 x − 1 x + 1 ⎜⎜ 3 x + 3 x + 1⎟⎟⎟ ⎜⎜ x − 12 ⎟⎟ 3 x 2 + 3 x + 1 ⎜⎝ ⎠ ⎜⎝ ⎟⎠ = ℓ im (x − 1) ( x + 1) = ℓ im x +1 = 1 +1 = 2 . x→1 (x − 1) ( x + x + 1) 3 2 3 x→1 3 x2 + 3 x + 1 3 12 + 3 1 + 1 3 ΠΡΟΣΟΧΗ ! Η ύπαρξη ριζών σε ένα όριο δεν σημαίνει ότι πάντα γίνονται όσα προαναφέρθη- καν! Πρώτα πρέπει να διαπιστωθεί η απροσδιοριστία 0 διά 0 και μετά γίνονται όσα ανα- φέρθηκαν! Φυσικά, αν δεν υπάρχει απροσδιοριστία, τότε δεν γίνεται τίποτα από τα προηγούμενα! Ακόμη, στην περίπτωση που διαπιστωθεί η παραπάνω απροσδιοριστία, ίσως χρειαστεί να ακολουθηθεί διαφορετική μέθοδος από αυτήν που περιγράφτηκε νωρίτερα. Μην ξεχνάς, η «μεθοδολογία» είναι η βασική οδός προς την λύση, αλλά όχι η μοναδική πά- ντα! - 262 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

ℓ im 3− x = ℓ im 0 03− x 3+ x ( )( ) = ℓ im 32 − x 2 = ℓ im 9−x = x→ 9 9 − x x→ 9 (9 − x) 3 + x ( ) x→ 9 ( (9 − x) 3 + x ) x→ 9 ( (9 − x) 3 + x ) 1 1 1 = ℓ im = = . x→ 9 3+ x 3+ 9 6

ℓ im x −1 0 0 = ℓ im ( ) = ℓ im (x − 1) (x + x ) = ℓ im (x − 1) (x + x ) = (x − 1) x + x x→1 x− x x→1 ( x − x )( x + x ) x − x x→1 x −x 2 2 x→1 2 = ℓ im (x − 1) x + x ( ) = ℓ im x + x = 1 + 1 = 2 . x→1 x (x − 1) x→1 x 1

ℓ im 1− x −1 2 = ℓ im 0 0 ( 1 − x − 1)( 1 − x + 1) = ℓ im 1 − x − 1 = 2 2 2 2 2 x2 x ( 1 − x + 1) x ( 1 − x + 1) x→ 0 x→ 0 2 2 x→ 0 2 2 1 − x2 − 1 − x2 −1 −1 1 = ℓ im = ℓ im = ℓ im = =− . x→ 0 x2 ( 1 − x + 1) 2 x→ 0 x2 ( 1 − x + 1) 2 x→ 0 1− x + 1 2 1− 0 + 12 2 - 264 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr Μαθη ματ ι κά Γ΄ Λυ κεί ο υ • Κ ΕΦΑ Λ Α Ι Ο 1 • Ό ρ ι ο -συνέχε ι α συνά ρτησης 2η ΕΝΟΤΗΤΑ. “Υπολογιστικά” θέµατα ορίων: η απροσδιοριστία “0 διά 0”

( x + 2 − 2)( x + 2 + 2)( x + 5 + 3) 0 2 x + 2 −2 0 ℓ im = ℓ im = x→ 2 2 x + 5 −3 ( x + 5 − 3 )( x→ 2 x + 5 + 3 )( 2 x + 2 + 2) 2 ⎛ ⎞ ( ) 2 = ℓ im ⎜⎜ x + 2 − 22 ⎟⎟ x 2 + 5 + 3 ⎜⎝ ⎟⎠ = ℓ im (x + 2 − 4) ( x + 5 + 3) = 2 x→ 2 ⎛ 2 ⎞ ⎜⎜ x 2 + 5 − 32 ⎟⎟ x + 2 + 2 ⎜⎝ ⎟⎟ ⎠ ( ) x→ 2 (x 2 + 5 − 9) ( x + 2 + 2) = ℓ im (x − 2) ( x + 5 + 3) = ℓ im 2 (x − 2) ( x + 5 + 3) 2 = x→ 2 (x 2 − 4) ( x+2 +2 ) x→ 2 (x − 2) (x + 2) ( x+2 +2 ) x2 + 5 + 3 22 + 5 + 3 3 = ℓ im = = . x→ 2 (x + 2) ( x + 2 + 2) (2 + 2) ( 2 + 2 + 2) 8

ℓ im 2 x −2 0 = ℓ im 0 x −2 x + 2 ( )( ) = ℓ im 2 x − 22 = x→ 4 x − 5x + 4 x→ 4 (x 2 − 5x + 4) x + 2 ( ) x→ 4 (x 2 − 5x + 4) ( x +2 ) x −4 1 1 1 . = ℓ im = ℓ im = = x→ 4 (x − 1) (x − 4) ( x + 2) x→ 4 (x − 1) ( x + 2) (4 − 1) ( 4 + 2) 12

ℓ im 1 − 2x − 1 + 2x 0 0 = ℓ im ( 1 − 2x − 1 + 2x )( 1 − 2x + 1 + 2x ) = x→ 0 x x→ 0 x ( 1 − 2x + 1 + 2x ) 2 2 1 − 2x − 1 + 2x 1 − 2x − (1 + 2x) = ℓ im = ℓ im = x→ 0 x ( 1 − 2x + 1 + 2x ) x→ 0 x ( 1 − 2x + 1 + 2x ) 1 − 2x − 1 − 2x −4 x −4 = ℓ im = ℓ im = ℓ im = x→ 0 x ( 1 − 2x + 1 + 2x ) x→ 0 x ( 1 − 2x + 1 + 2x ) x→ 0 1 − 2x + 1 + 2x - 265 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr Μαθη ματ ι κά Γ΄ Λυ κεί ο υ • Κ ΕΦΑ Λ Α Ι Ο 1 • Ό ρ ι ο -συνέχε ι α συνά ρτησης 2η ΕΝΟΤΗΤΑ. “Υπολογιστικά” θέµατα ορίων: η απροσδιοριστία “0 διά 0” −4 = = −2 . 1−2⋅0 + 1+ 2⋅0

( ) ( ) 0 2 2 x −4 x + 4 0 x −2 x −2 ℓ im = ℓ im = ℓ im = (x − 4)2 ( x − 2)( ) 2 2 x→ 4 x→ 4 ⎛ 2 ⎞ x→ 4 ⎡ ⎤ ⎜⎜ x − 22 ⎟⎟ ⎢ x +2 ⎥ ⎜⎝ ⎟ ⎠ ⎣ ⎦ ( x − 2) 2 1 1 1 = ℓ im = ℓ im = = . ( x + 2) ( 4 + 2) 16 2 2 ( x − 2) ( x + 2) x→ 4 2 2 x→ 4

ℓ im x −4 = ℓ im 0 0 x −4 ( )( x + 4) = ℓ im x − 4 = 2 2 x→16 16 − x x→16 (16 − x) ( x + 4) (16 − x) ( x + 4) x→16 x − 16 −1 −1 1 = ℓ im = ℓ im = =− . x→16 −(x − 16) ( x + 4) x→16 x +4 16 + 4 8

ℓ im x −3 0 0 = ℓ im ( (x − 3) 1 + x − 2 ) = ℓ im ( (x − 3) 1 + x − 2 )= x→ 3 1− x −2 x→ 3 (1 − x − 2 )(1 + x − 2 ) x→ 3 12 − x − 2 2 = ℓ im ( (x − 3) 1 + x − 2 ) = ℓ im (x − 3) (1 + x − 2 ) = ℓ im (x − 3) (1 + x − 2 ) = x→ 3 1 − (x − 2) x→ 3 1− x + 2 x→ 3 3−x ( (x − 3) 1 + x − 2 ) = −ℓ im 1 + x − 2 = − 1 + 3 − 2 = −2 . = ℓ im x→ 3 −(x − 3) ( x→ 3 ) ( ) - 266 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr Μαθη ματ ι κά Γ΄ Λυ κεί ο υ • Κ ΕΦΑ Λ Α Ι Ο 1 • Ό ρ ι ο -συνέχε ι α συνά ρτησης 2η ΕΝΟΤΗΤΑ. “Υπολογιστικά” θέµατα ορίων: η απροσδιοριστία “0 διά 0”

ℓ im 3x − x = ℓ im 2 0 0 ( x+ 3) (3x − x ) ( x + 3 ) (3x − x 2 ) = ℓ im = 2 x→ 3 x− 3 ( x − 3 )( x + 3 ) x→ 3 x − 3 x→ 3 2 2 − x (x − 3) ( x + 3 ) = −ℓ im ⎡ x x + 3 ⎤ = −3 3 + 3 = −3 ⋅ 2 3 = −6 3 . = ℓ im ⎢ ( ) ⎥⎦ ( ) x→ 3 x −3 ⎣ x→ 3

⎛ 4 2⎞ x2 − x 0 x − x x + x 0 (x +12 )( ⎜⎜x − x ⎟⎟ x + 1 ⎜⎝ 2 ⎟⎠ )( ) ( ) ℓ im = ℓ im = ℓ im = x→1 x −1 x→1 ( x − 1 x + 1 x2 + x x→1 ⎛ )( 2 ⎞ )( ⎜⎜ x − 12 ⎟⎟ x 2 + x ⎜⎝ ⎟⎠ ) ( ) = ℓ im ( x + 1) = ℓ im x(x − 1) ( x + 1) = ℓ im x (x − 1) (x + x + 1) ( x + 1) = (x 4 − x) 3 2 x→1 (x − 1) (x + x ) 2 (x − 1) (x + x )x→1 (x − 1) (x + x ) 2 x→1 2 = ℓ im x(x 2 + x + 1) ( x + 1) = 1 ⋅ (1 + 1 + 1) ( 1 + 1) = 3 . 2 x→1 x2 + x 12 + 1

Πρόσεξέ την πάρα πολύ! 0 2 x −1 − x − x 0 x − 1 − x(x − 1) x −1 − x ⋅ x −1 ℓ im = ℓ im = ℓ im = x→1 x→1 x→1 x2 − 1 (x − 1)(x + 1) x −1 ⋅ x + 1 = ℓ im x −1 ⋅ 1− x ( ) = ℓ im 1 − x = 1 − 1 = 0 . x→1 x→1 x −1 ⋅ x + 1 x +1 1+1 - 267 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr Μαθη ματ ι κά Γ΄ Λυ κεί ο υ • Κ ΕΦΑ Λ Α Ι Ο 1 • Ό ρ ι ο -συνέχε ι α συνά ρτησης 2η ΕΝΟΤΗΤΑ. “Υπολογιστικά” θέµατα ορίων: η απροσδιοριστία “0 διά 0”

Πρόσεξέ την πάρα πολύ! 0 3x − 2 − 2x + 1 0 3x − 2 − (2x − 1) ℓ im 4 = ℓ im = x→1 x −1 x→1 x4 − 1 ⎡ 3x − 2 − (2x − 1)⎤ ⋅ ⎡ 3x − 2 + (2x − 1)⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ = ℓ im ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ = x→1 4 ⎡ (x − 1) ⎢ 3x − 2 + (2x − 1)⎥ ⎤ ⎣ ⎦ 2 3x − 2 − (2x − 1)2 3x − 2 − (4x 2 + 1 − 4x) = ℓ im = ℓ im = x→1 (x 4 − 1) ( 3x − 2 + 2x − 1) x→1 (x 4 − 1) ( 3x − 2 + 2x − 1) 3x − 2 − 4x 2 − 1 + 4x −4x 2 + 7x − 3 = ℓ im = ℓ im = x→1 (x 4 − 1) ( 3x − 2 + 2x − 1 ) x→1 (x 2 − 1)(x 2 + 1) ( 3x − 2 + 2x − 1 ) (x − 1) (−4x + 3) 3 − 4x = ℓ im = ℓ im = x→1 (x − 1) (x + 1)(x + 1) 2 ( 3x − 2 + 2x − 1) x→1 2 (x + 1)(x + 1) ( 3x − 2 + 2x − 1) 3 − 4 ⋅1 1 = =− . (1 + 1)(12 + 1) ( 3 ⋅1 − 2 + 2 ⋅1 − 1) 8 - 268 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr