Ε1-Π7-εξώφυλλο

Λυμένο παράδειγμα 42 από «Ε1-Π7-εξώφυλλο». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: Ας πάρουμε την συνάρτηση f(x) = x 3 + x + 2 και ας βρούμε την μονοτονία της. Πάντα η πρώτη κίνηση, όταν έχουμε τον τύπο μιας συνάρτησης, είπαμε ότι είναι να βρούμε το πεδίο ορισμού της, είτε το ζητάει η άσκηση είτε όχι. Εδώ, η f έχει πεδίο ορισμού το ! (αφού είναι πολυωνυμική). 2η κίνηση Θεωρώ τυχαία x1 , x 2 ∈ ! , με x1 < x 2 . Τι θα γίνει στην συνέχεια; Θα εφαρμόσω ιδιότητες των ανισοτήτων (ιδιότητες της διά- ταξης δηλαδή), ώστε στα μέλη της προηγούμενης ανισότητας να εμφανίσω τον τύπο της f, αριστερά γραμμένο με x1 και δεξιά με x 2 . - 165 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr Μαθη ματ ι κά Γ΄ Λυ κεί ο υ • Κ ΕΦΑ Λ Α Ι Ο 1 • Ό ρ ι ο -συνέχε ι α συνά ρτησης 1η ΕΝΟΤΗΤΑ. Βασικά στοιχεία συναρτήσεων Από την ανισότητα x1 < x 2 προκύπτει και x13 < x 32 . Προσθέτω κατά μέλη αυτήν την ανισότητα με την x1 < x 2 και έχω ότι x13 + x1 < x 32 + x 2 . Σε αυτήν την ανισότητα τώρα, προσθέτω το 2 στα δύο μέλη και έχω x13 + x1 + 2 < x 32 + x 2 + 2 ⇒ f(x1 ) < f(x 2 ) . Τελείωμα άσκησης Αφού από την ανισότητα x1 < x 2 προέκυψε f(x1 ) < f(x 2 ) , συμπε- ραίνω ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο ! . Σχόλιο στο παράδειγμα 42 Αυτό το παράδειγμα θεωρείται απλό (χωρίς εισαγωγικά). Με χρήση της σχετικής θεω- ρίας από το κεφάλαιο «Διαφορικός Λογισμός» όμως, η λύση έρχεται σε μία γραμμή (κυριολεκτικά!) και με καμία αλγεβρική «αλχημεία»! Δες ακόμη ένα παράδειγμα (και τα σχόλια στο τέλος).

Λυμένο παράδειγμα 43 από «Ε1-Π7-εξώφυλλο». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: 1 Ας πάρουμε την συνάρτηση f(x) = 2 − x και ας βρούμε την μονοτονία της. e +1 1η κίνηση Να βρω το πεδίο ορισμού. Επειδή είναι e x + 1 > 0 , για κάθε x ∈ ! , η f έχει πεδίο ορισμού το ! . 2η κίνηση Θεωρώ δύο αριθμούς από το πεδίο ορισμού και αρχίζω «αλχημείες». Θεωρώ τυχαία x1 , x 2 ∈ ! , με x1 < x 2 . x x Τότε ισχύει και e 1 < e 2 (εδώ δεν χρειάστηκε ιδιότητα των ανισοτήτων, αλλά της εκθετικής συνάρτησης). x x Προσθέτω το 1 στα δύο μέλη αυτής της ανισότητας και έχω ότι e 1 + 1 < e 2 + 1 . Τα μέλη της τελευταίας ανισότητας είναι θετικά, οπότε αντιστρέφοντάς τα έχω 1 1 x1 > x2 . e +1 e +1 1 1 Πολλαπλασιάζω επί ­1 τα μέλη της ανισότητας αυτής και έχω − x1 <− x2 . e +1 e +1 - 166 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr Μαθη ματ ι κά Γ΄ Λυ κεί ο υ • Κ ΕΦΑ Λ Α Ι Ο 1 • Ό ρ ι ο -συνέχε ι α συνά ρτησης 1η ΕΝΟΤΗΤΑ. Βασικά στοιχεία συναρτήσεων Τέλος, προσθέτω το 2 και στα δύο μέλη και έχω 1 1 2− x1 < 2− x2 ⇒ f(x1 ) < f(x 2 ) . e +1 e +1 Τελείωμα άσκησης Αφού από την ανισότητα x1 < x 2 προέκυψε f(x1 ) < f(x 2 ) , συμπε- ραίνω ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο ! . Σχόλιο στο παράδειγμα 43 Αυτό το παράδειγμα θεωρείται «απλό» (με εισαγωγικά). Σαν να σε έχω μπροστά μου τώρα να αναφωνείς ­και με το δίκιο σου!­ «Αυτό θεω- ρείται απλό;;; Δηλαδή, ποιο θεωρείται σύνθετο/δύσκολο;;;» Ψυχραιμία! Με χρήση της σχετικής θεωρίας από το κεφάλαιο «Διαφορικός Λογισμός» η λύση δεν έρχεται μεν σε μία γραμμή, αλλά δεν έχει τις παραπάνω αλγεβρικές «αλ- χημείες».

Δίνονται οι συναρτήσεις f , g : ! → (0 , + ∞) . Αν η f είναι γνησίως αύξουσα και η g γνη- f(x) σίως φθίνουσα, να δείξετε ότι η συνάρτηση h(x) = είναι γνησίως αύξουσα στο g(x) !.

Δίνεται γνησίως φθίνουσα συνάρτηση f : ! → ! , της οποίας η γραφική παράσταση διέρχεται από το σημείο A(2 , 2) . Θεωρούμε επίσης και την συνάρτηση g(x) = 3f(x) − (f ! f)(x) . α. Να μελετήσετε την συνάρτηση g ως προς την μονοτονία. ⎣ ( ) β. Να λύσετε την ανίσωση 3 ⋅ ⎡⎢ f x − 1⎤⎥ > (f ! f) x + 1 . ⎦ ( ) Πηγή: Θεόδωρος Παγώνης, Γ΄ Λυκείου, Μαθηματικά κατεύθυνσης, 2016-2017.

Πρόσεξέ την πάρα πολύ! Μια συνάρτηση είναι γνησίως μονότονη, με f(3) − f(8) < 0 . Να βρείτε το είδος της μο- νοτονίας της.

Πρόσεξέ την πάρα πολύ! ⎛ 1 ⎞⎟ ⎛ 3 ⎞⎟ Μια συνάρτηση είναι γνησίως μονότονη, με f ⎜⎜⎜ ⎟⎟ − f ⎜⎜⎜ ⎟⎟ > 0 . Να βρείτε το είδος της ⎝ 2 ⎟⎠ ⎝ 4 ⎟⎠ μονοτονίας της.

Πρόσεξέ την πάρα πολύ! Δίνονται οι συναρτήσεις f, g, ορισμένες στο ! , οι οποίες είναι γνησίως μονότονες και έχουν το ίδιο είδος μονοτονίας. α. Να δείξετε ότι η συνάρτηση f o g είναι γνησίως αύξουσα. β. Να εξετάσετε την μονοτονία των συναρτήσεων f o f και g o g. γ. Να εξετάσετε την μονοτονία της συνάρτησης f(x) = ℓn(ℓnx) , x > 1 .

Πρόσεξέ την πάρα πολύ! Έστω f, g δύο συναρτήσεις με κοινό πεδίο ορισμού το διάστημα Δ, οι οποίες παίρνουν θετικές τιμές, για κάθε x ∈ Δ , και οι οποίες είναι γνησίως αύξουσες στο Δ. Να απο- 1 1 δείξετε ότι η συνάρτηση + είναι γνησίως φθίνουσα στο Δ. f g

Πρόσεξέ την πάρα πολύ! Μια συνάρτηση f είναι γνησίως μονότονη στο ! και η γραφική της παράσταση διέρχε- ται από τα σημεία A(1, 3) και B(7 ,11) . Να αποδείξετε ότι: α. ισχύει f(0) + f(3) < 14 . β. για κάθε α ∈ (6 , 7) ισχύει f(α + 1) + f(α + 3) > 22 .

Πρόσεξέ την πάρα πολύ! Δίνεται γνησίως μονότονη συνάρτηση f : ! → ! , της οποίας η γραφική παράσταση διέρχεται από τα σημεία A(1, 5) και B(−2 , 7) . α. Να βρείτε το είδος της μονοτονίας της f. (( β. Να λύσετε την ανίσωση f f x − 4 − 6 − 5 < 0 . ) )

Πρόσεξέ την πάρα πολύ! Έστω συνάρτηση f : ! → ! , γνησίως φθίνουσα. α. Να δείξετε ότι η συνάρτηση g(x) = f(x) − x είναι γνησίως φθίνουσα. 2 β. Να λύσετε την ανίσωση α x −4x − α 5x−20 ≤ x 2 − 9x + 20 , 0 < α < 1 .

x x ⎛ 6 ⎞⎟ ⎛ 8 ⎞⎟ Δίνεται η συνάρτηση f(x) = ⎜⎜⎜ ⎟⎟ + ⎜⎜ ⎟⎟ − 1 . ⎝ 10 ⎠⎟ ⎜⎝ 10 ⎠⎟ α. Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως φθίνουσα. β. Να λύσετε την ανίσωση 6x + 8x > 10x . x+2 2x−1 2x−1 x+2 ⎛6⎞ ⎛8⎞ ⎛6⎞ ⎛8⎞ γ. Να λύσετε την ανίσωση ⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟ − ⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟ ≥ ⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟ − ⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟ . ⎝ 10 ⎟⎠ ⎝ 10 ⎟⎠ ⎝ 10 ⎟⎠ ⎝ 10 ⎟⎠

Πρόσεξέ την πάρα πολύ! Δίνονται οι συναρτήσεις f , g : ! → ! , για τις οποίες ισχύει g(x) = f(2x − 5) − f(4 − x) , για κάθε x ∈ ! . Αν η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα, τότε: α. να μελετήσετε την συνάρτηση g ως προς την μονοτονία. β. να λύσετε την ανίσωση g(e x − 2) > 0 .

Πρόσεξέ την πάρα πολύ! Δίνεται συνάρτηση f : ! → (0 , + ∞) , για την οποία ισχύει e−f(x) = ℓnf(x) + x , για κάθε x ∈ ! . Να δείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα.

Πρόσεξέ την πάρα πολύ! Δίνεται συνάρτηση f : ! → ! , για την οποία ισχύει f 3 (x) + f(x) = x , για κάθε x ∈ ! . α. Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα. β. Να βρείτε το f(0). γ. Να βρείτε το πρόσημο της συνάρτησης g(x) = x ⋅ f 3 (x) .

Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x − 1 + ℓn(x + 1) + e3x . α. Να μελετηθεί η μονοτονία της συνάρτησης f. β. Να λύσετε την ανίσωση x + ℓn(x + 1) + e3x ≤ 1 .

Πρόσεξέ την πάρα πολύ! Η συνάρτηση f : ! → ! είναι γνησίως αύξουσα, με f(1) = 0 . α. Να βρείτε το πρόσημο της f. β. Να λύσετε τις ανισώσεις f(5 − λ2 ) > 0 και f(µ2 + 5) < f(7µ + 5) . π γ. Να δείξετε ότι, αν α , β ∈ ! , με 0 < β < α < , τότε f(συνα) < f(συνβ) . 2 f(x) δ. Να βρείτε το πρόσημο της συνάρτησης g(x) = . x −1

Να μελετήσετε ως προς την μονοτονία τις παρακάτω συναρτήσεις: 2 α. f(x) = 5 − 6 − 2x . β. f(x) = ℓn(x − 2) + 3x 2 . γ. f(x) = − ℓnx . x δ. f(x) = 1 − 3ℓn(x − 1) . ε. f(x) = 2e3−x − 1 . στ. f(x) = 2x 5 + 3e x − 3 .

Αν οι συναρτήσεις f, g είναι γνησίως φθίνουσες στο διάστημα Δ, να δείξετε ότι και η συνάρτηση f + g είναι γνησίως φθίνουσα στο Δ.

Έστω συνάρτηση f, γνησίως αύξουσα στο διάστημα Δ, και συνάρτηση g, γνησίως φθί- νουσα στο Δ. α. Να δείξετε ότι η συνάρτηση f − g είναι γνησίως αύξουσα στο Δ. f β. Αν f(x) ≥ 0 , g(x) > 0 , για κάθε x ∈ Δ , να δείξετε ότι η συνάρτηση είναι γνησί- g ως αύξουσα στο διάστημα Δ. γ. Αν g(Δ) ⊆ Δ , δείξτε ότι η συνάρτηση f o g είναι γνησίως φθίνουσα στο Δ.

Πρόσεξέ την πάρα πολύ! Έστω η συνάρτηση f : ! → ! , η οποία είναι γνησίως φθίνουσα, και η συνάρτηση g(x) = f(3x − 2) − f(1 − 2x) , x ∈ ! . Να εξετάσετε την g ως προς την μονοτονία.

Αν η συνάρτηση f : ! → ! είναι γνησίως αύξουσα και η γραφική της παράσταση διέρχεται από τα σημεία A(2 , 3) και B(0 ,1) , να λύσετε την ανίσωση f ( 1 + f(3x + 2) ) < 3 .

Έστω συνάρτηση f, γνησίως μονότονη στο ! , της οποίας η γραφική παράσταση διέρ- χεται από τα σημεία A(1, 5) και B(5,− 2) . α. Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως φθίνουσα. β. Να δείξετε ότι η f o f είναι γνησίως αύξουσα. ( γ. Να λύσετε την ανίσωση f f(e x ) < −2 . )