Θεώρημα Μέσης Τιμής (Θ.Μ.Τ.) – Κατηγορία 43

Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση f : ⎡⎢α , β⎤⎥ → ! , με f(α) = α , f(β) = β , όπου 0 < α < β . ⎣ ⎦ Να αποδείξετε ότι: α. υπάρχει x 0 ∈ (α , β) τέτοιο, ώστε f(x 0 ) = α + β − x 0 . β. υπάρχουν ξ1 ∈ (α , x 0 ) , ξ 2 ∈ (x 0 , β) τέτοια, ώστε f ′(ξ1 ) ⋅ f ′(ξ 2 ) = 1 .

Έστω συνάρτηση f : ⎡⎢α , β⎤⎥ → ! , συνεχής στο ⎡⎢α , β⎤⎥ και παραγωγίσιμη στο (α , β) , με ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ f(α) = 2β , f(β) = 2α . α. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f(x) = 2x έχει μία, τουλάχιστον, ρίζα στο (α , β) . β. Να αποδείξετε ότι υπάρχουν ξ1 , ξ 2 ∈ (α , β) τέτοια, ώστε f ′(ξ1 ) ⋅ f ′(ξ 2 ) = 4 .

Έστω συνάρτηση f, δύο φορές παραγωγίσιμη στο διάστημα ⎡⎢1, 3⎤⎥ . Αν είναι ⎣ ⎦ 2f(2) = f(1) + f(3) : α. να εφαρμόσετε το Θεώρημα Μέσης Τιμής στα διαστήματα ⎡⎢1, 2⎤⎥ και ⎡⎢2 , 3⎤⎥ . ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ β. να αποδειχθεί ότι υπάρχει σημείο x 0 ∈ (1, 3) τέτοιο, ώστε f ′′(x 0 ) = 0 .

Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση f : ⎡⎢0 ,1⎤⎥ → ! , με f(0) = 0 , f(1) = 1 . Να αποδείξετε ⎣ ⎦ ότι: 1 α. υπάρχει x 0 ∈ (0 ,1) , ώστε f(x 0 ) = . 2 1 1 β. υπάρχουν ξ1 , ξ 2 ∈ (0 ,1) , ώστε + = 2. f ′(ξ1 ) f ′(ξ 2 )

Πρόσεξέ την πάρα πολύ! Έστω συνάρτηση f : ⎡⎢α , β⎤⎥ → ! , δύο φορές παραγωγίσιμη στο ⎡⎢α , β⎤⎥ , και ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ x1 , x 2 , x 3 ∈ ⎡⎢α , β⎤⎥ . Αν x1 , x 2 , x 3 και f(x1 ) , f(x 2 ) , f(x 3 ) αποτελούν ξεχωριστές αριθμητικές ⎣ ⎦ προόδους, να δείξετε ότι υπάρχει γ ∈ (α , β) , ώστε f ′′(γ) = 0 .

Έστω δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση f : ⎡⎢α , β⎤⎥ → ! , με f(α) > 0 , f(β) > 0 και ⎣ ⎦ f(γ) < 0 , για κάποιο γ ∈ (α , β) . Να αποδείξετε ότι: α. η εξίσωση f(x) = 0 έχει δύο, τουλάχιστον, ρίζες στο (α , β) . β. υπάρχει x 0 ∈ (α , β) , ώστε η εφαπτομένη της C f στο σημείο x 0 να είναι παράλληλη στον άξονα x΄x. γ. υπάρχει ξ ∈ (α , β) , ώστε f ′′(ξ) > 0 .

Αν η συνάρτηση f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο ! και υπάρχουν τρία συνευθει- ακά σημεία της C f , να δείξετε ότι υπάρχει ξ ∈ ! , ώστε f ′′(ξ) = 0 .

Η συνάρτηση f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο ! . Αν οι αριθμοί f(2), f(4) και f(6) είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου, να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα, τουλάχι- στον, x 0 ∈ (2 , 6) , ώστε f ′′(x 0 ) = 0 .

Έστω f(x) = α 2x 6 + βx 4 + x 2 + γ + δ , α , β , γ , δ ∈ ! * , 3β2 < 5α 2 . Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχουν τρία διαφορετικά συνευθειακά σημεία, που να ανή- κουν στην γραφική της παράσταση.

Η συνάρτηση f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο ⎡⎢α , β⎤⎥ , με f(β) < 0 και ⎣ ⎦ f(α) = f ′(α) = 0 . Να αποδείξετε ότι υπάρχει ξ ∈ (α , β) , ώστε f ′′(ξ) < 0 .