ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ-Παράγραφος 5-Κ9 (Α)

Να βρείτε τις πραγματικές τιμές των κ, λ, ώστε το πολυώνυμο Ρ(x) = x 5 + x 4 + κx + λ να έχει διπλή ρίζα το −1 . Στην συνέχεια, να βρεθούν και οι υπόλοιπες ρίζες της εξίσωσης P(x) = 0 .

Να αποδείξετε ότι το πολυώνυμο Ρ(x) = x 3 + 3αβx + α 3 − β3 έχει παράγοντα το x + α − β . Στην συνέχεια, να λύσετε την εξίσωση P(x) = 0 .

Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f(x) = 2x 4 − 7x 3 − 2x 2 + 13x + 6 με τον άξονα x΄x.

Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) = 2x 3 − 4x 2 − 2x + 4 βρίσκεται πάνω από τον άξονα x΄x.

α) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας (ε), που διέρχεται από τα σημεία A(1,− 2) , B(2 , 4) . β) Να αποδείξετε ότι η ευθεία (ε) τέμνει την γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) = x 3 − 3x 2 σε σημεία, των οποίων οι τετμημένες αποτελούν λύσεις της εξίσωσης x 3 − 3x 2 − 6x + 8 = 0 . γ) Να βρείτε τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων f και g(x) = x 3 − 3x 2 − 6x + 8 .

Δίνεται το πολυώνυμο Ρ(x) = α(x 3 − 1) − αx(x + α) + x(x − 1) , x ∈ ! , α > 0 . α) Αν το υπόλοιπο της διαίρεσης του πολυωνύμου με το x − 1 είναι α − α 3 , να βρείτε την τιμή του α. β) Για την τιμή του α που βρήκατε, να λύσετε την ανίσωση P(x) ≤ 0 . γ) Αν κ είναι μία από τις λύσεις της εξίσωσης P(x) = 0 , να λύσετε την εξίσωση συνϕ = κ , ϕ ∈ (0 , π) . 1 Στην συνέχεια, να αποδείξετε ότι συν4ϕ = − . 2 δ) Να λύσετε την εξίσωση συν3θ − συν2θ − 7συνθ − 5 = 0 , θ ∈ (0 , π) .

Να βρείτε τα σημεία τομής των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων f(x) = x 4 − 4x 3 + 10x 2 + 20x − 10 , g(x) = 5x 3 − 8x 2 + 2x + 30 .

Δίνεται το πολυώνυμο f(x) = x 4 − x 3 − x 2 − x − 2 , x ∈ ! . α) Να αποδείξετε ότι το x + 1 είναι παράγοντας του f(x) και να βρείτε το πηλίκο π(x) , της διαίρεσης του f(x) με το x + 1 . β) Να αποδείξετε ότι το x − 2 είναι παράγοντας του π(x) και να βρείτε το πηλίκο της διαίρεσης του π(x) με το x − 2 . γ) Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από τον άξονα x΄x.

Δίνεται το πολυώνυμο Ρ(x) = x 4 + αx 3 + βx 2 − 18x + β − 1 , α , β ∈ ! , το οποίο έχει παράγοντα το πολυώνυμο Q(x) = x 2 + 2x + 1 . α) Να βρεθούν οι τιμές των α και β. β) Να βρεθούν όλες οι ρίζες του P(x). γ) Να γίνει γινόμενο το πολυώνυμο P(x). δ) Να βρεθούν τα διαστήματα στα οποία η πολυωνυμική συνάρτηση P(x) έχει την γραφική της παράσταση κάτω από τον άξονα x΄x.

Δίνεται η συνάρτηση f(x) = λx 3 + 2λ3x 2 − λ2x − 2 , λ ∈ ! . Αν η γραφική παράσταση C f της f τέμνει τον άξονα x΄x στο σημείο Α(1, 0) , τότε να βρείτε: α) την τιμή του λ. β) όλα τα κοινά σημεία της C f με τον άξονα x΄x. γ) τα διαστήματα στα οποία η C f είναι πάνω από τον άξονα x΄x.

Έστω P(x) πολυώνυμο τρίτου βαθμού, το οποίο διαιρείται με το x 2 + 1 , έχει ρίζα το 0 και του οποίου το άθροισμα των συντελεστών είναι ίσο με 2. α) Να αποδείξετε ότι P(x) = x 3 + x . 3 2 β) Να λύσετε την ανίσωση ⎡⎢Ρ(x) − 2⎤⎥ + ⎡⎢Ρ(x) − 2⎤⎥ + Ρ(x) > 2 . ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Δίνεται το πολυώνυμο Ρ(x) = x 4 − 8x 3 + (5α − 1)x 2 + 8x − 3α − 6 , α ∈ ! . α) Να γίνει η διαίρεση του P(x) διά του x 2 − 1 και να γράψετε την σχετική ταυτότητα. β) Να βρείτε την τιμή του α, ώστε η παραπάνω διαίρεση να είναι τέλεια. γ) Για α = 3 , να βρείτε τις ρίζες της εξίσωσης P(x) = 0 , καθώς και τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της πολυωνυμικής συνάρτησης P(x) είναι κάτω από τον άξονα x΄x.

Να δείξετε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) = x 4 + 4x 2 − 68x τέμνει την ευθεία y = 12x σε δύο σημεία.

Να βρείτε τους αριθμούς α και β, ώστε η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) = 2x 3 − (2α + β)x 2 + (α + β + 1)x − β ⎛1 ⎞ να τέμνει τον άξονα x΄x στα σημεία Α ⎜⎜⎜ , 0⎟⎟⎟ , Β(1, 0) . ⎝2 ⎟⎠ Στην συνέχεια, να εξετάσετε αν η γραφική παράσταση της f έχει άλλα κοινά σημεία με τον άξονα x΄x και να βρείτε τα διαστήματα στα οποία βρίσκεται πάνω από τον άξονα x΄x.

Να βρείτε τους κ , λ ∈ ! , ώστε η εξίσωση x 5 − κx 3 + λx 2 + x − 1 = 0 να έχει το μέγιστο δυνατό πλήθος ακέραιων ριζών.