Κυρτότητα και σημεία καμπής συνάρτησης – Κατηγορία 61

Δίνεται συνάρτηση f : ! → ! , δύο φορές παραγωγίσιμη, με f(x) ⋅ f ′(x) = α , για κάθε x ∈ ! , όπου α ≠ 0 . Να δείξετε ότι δεν έχει σημεία καμπής.

Πρόσεξέ την πάρα πολύ! Έστω f κυρτή και παραγωγίσιμη συνάρτηση στο διάστημα Δ. Αν α , β ∈ Δ , με α < β , να αποδειχθεί ότι ⎛ α + β ⎞⎟ f(α) + f(β) > 2 ⋅ f ⎜⎜⎜ ⎟⎟ . ⎝ 2 ⎟⎠

Πρόσεξέ την πάρα πολύ! Έστω f κοίλη και παραγωγίσιμη συνάρτηση στο διάστημα Δ. Αν α , β ∈ Δ , με α < β , να δειχθεί ότι ⎛ α + β ⎞⎟ f(α) + f(β) < 2 ⋅ f ⎜⎜⎜ ⎟⎟ . ⎝ 2 ⎟⎠

Πρόσεξέ την πάρα πολύ! α. Έστω παραγωγίσιμη συνάρτηση f, η οποία είναι κυρτή στο διάστημα Δ. Αν α , β , γ ∈ Δ και α < β < γ , να δείξετε ότι f(β) − f(α) f(γ) − f(β) < . β−α γ−β β. Διαπιστώστε ανάλογο συμπέρασμα, όταν η συνάρτηση f είναι κοίλη στο Δ.

Πρόσεξέ την πάρα πολύ! Έστω οι συναρτήσεις f, g, δύο φορές παραγωγίσιμες στο ! . Αν η f είναι κυρτή στο ! και η g κοίλη στο ! , τότε να αποδείξετε ότι: α. οι C f , C g έχουν το πολύ δύο κοινά σημεία. β. αν οι C f , C g έχουν κοινή εφαπτομένη σε κάποιο κοινό σημείο τους, τότε οι C f , C g έχουν μοναδικό κοινό σημείο.

Δίνεται η συνάρτηση f, με τύπο f(x) = x 2ℓnx . α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f, να μελετήσετε την μονοτονία της και να βρείτε τα ακρότατα. β. Να μελετήσετε την f ως προς την κυρτότητα και να βρείτε τα σημεία καμπής. γ. Να βρείτε το σύνολο τιμών της f.

Να δείξετε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης x4 αx 3 (α 2 + 1)x 2 f(x) = − + + αx − 2 , α ∈ ! , 12 3 2 δεν έχει σημεία καμπής.

Να δείξετε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) = αx 3 + βx 2 + γx + δ , όπου α ≠ 0 , β2 = 3αγ , δέχεται, στο σημείο καμπής της, οριζόντια εφαπτομένη.

Έστω g μια συνάρτηση, δύο φορές παραγωγίσιμη στο ! , για την οποία ισχύει 2 ⎡ g(x)⎤ = 5g(x) − e x − α x + 2011 , για κάθε x ∈ ! και 1 ≠ α > 0 . ⎣⎢ ⎦⎥ Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης g δεν έχει σημεία καμπής.

Πρόσεξέ την πάρα πολύ! α. Αν η συνάρτηση f είναι κυρτή στο (α , β) (άρα και παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του διαστήματος) και ξ ∈ (α , β) , τότε να αποδείξετε ότι f(x) ≥ f ′(ξ) ⋅ (x − ξ) + f(ξ) , για κάθε x ∈ (α , β) . β. Αν η συνάρτηση f είναι κοίλη στο (α , β) (άρα και παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του διαστήματος) και ξ ∈ (α , β) , τότε να αποδείξετε ότι f(x) ≤ f ′(ξ) ⋅ (x − ξ) + f(ξ) , για κάθε x ∈ (α , β) .

Δίνεται η συνάρτηση f(x) = α x + β ℓnx + βx . α. Να βρείτε τα α , β ∈ ! , ώστε το σημείο Α(1, 3) να είναι σημείο καμπής της C f . β. Για α = 4 , β = −1 : Ι. να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η C f είναι κυρτή ή κοίλη. ΙΙ. να βρείτε την εφαπτομένη της C f στο σημείο καμπής της. ΙΙΙ. να δείξετε ότι 4 x − ℓnx ≤ x + 3 , για κάθε x ≥ 1 .

f(x) − 2x Έστω f : ! → ! παραγωγίσιμη συνάρτηση, με ℓim = 3 και f(3) = 4 . x→ 2 x −2 α. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της C f στο x 0 = 2 . β. Αν η f είναι κυρτή στο ! , να δείξετε ότι: Ι. ισχύει f(x) − 5x + 6 ≥ 0 , για κάθε x ∈ ! . ΙΙ. υπάρχει μοναδικό ξ ∈ (2 , 3) , στο οποίο η f παρουσιάζει ελάχιστο.

Έστω συνάρτηση f : (0 , + ∞) → ! , με τύπο f(x) = e x − ℓnx . α. Να αποδείξετε ότι η f είναι κυρτή στο (0 , + ∞) . β. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της C f στο σημείο M (1, f(1)) . γ. Να αποδείξετε ότι, για κάθε x > 0 , ισχύει η σχέση e x ≥ (e − 1)x + ℓnx + 1 .