Εκθετική-Λογαριθμική-Παράγραφος 3-Κ9 (Α)

Δίνονται οι συναρτήσεις ( ) f(x) = ℓog (x − 1) − ℓog x 2 − 2x , g(x) = 1 − ℓog (x + 1) . α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων f, g. β. Να βρείτε την τετμημένη του σημείου τομής των γραφικών τους παραστάσεων. γ. Να λύσετε τις εξισώσεις: Ι. f(x) = 0 . ΙΙ. g(x) = 0 . δ. Να αποδείξετε ότι f(4) − 3g(1) + 4 = ℓog30 .

Δίνεται η συνάρτηση f(x) = α (ℓogx) + 8 (ℓogx) ⋅ ℓog (100x) , x > 0 , α ∈ " . 4 2 α. Να βρείτε την τιμή του α, για την οποία η γραφική παράσταση της f διέρχεται από το σημείο M(10 , 25) . β. Αν α = 1 , τότε: ( ) 2 Ι. να αποδείξετε ότι η f παίρνει την μορφή f(x) = ℓog 2x + 4ℓogx . ΙΙ. να λύσετε την εξίσωση f(x) = 0 .

Δίνεται η συνάρτηση f(x) = ℓogx 2 . α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της. β. Να αποδείξετε ότι η f είναι άρτια. γ. Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της συνάρτησης g(x) = f(x + 2) με την ευθεία y = 2ℓog4 .

ℓog (3x − 14) Δίνεται η συνάρτηση f(x) = . ℓog (x − 4) α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της. β. Να βρείτε τα σημεία στα οποία η γραφική παράσταση της f τέμνει την ευθεία y=2.

Δίνεται η συνάρτηση f(x) = ℓog ℓog (x − 4) . α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της. β. Να βρείτε τα σημεία στα οποία η γραφική παράσταση της f τέμνει τον άξονα x΄x. γ. Να βρείτε τις ακέραιες τιμές του x, για τις οποίες είναι f(x) < 0 .

( Δίνεται η συνάρτηση f(x) = ℓog ℓog (x − 1) . ) α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f. β. Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τον άξονα x΄x. γ. Να λύσετε την ανίσωση f(x + 7) − f(x + 1) > ℓog2 . δ. Να αποδείξετε ότι 3f(101) + 2f(1001) = f(10001) + ℓog18 .

x +1 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = ℓn −x . 1− x α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f. β. Να δείξετε ότι η συνάρτηση f είναι περιττή. ⎛ 1⎞ ⎛1⎞ γ. Να διατάξετε σε αύξουσα σειρά τους αριθμούς f ⎜⎜⎜− ⎟⎟⎟ , f ⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟ , f(0) . ⎝ 2 ⎟⎠ ⎝ 2 ⎟⎠ δ. Να λύσετε την εξίσωση f(x) + f(x + 1) + 1 + 2x = 0 .

Έστω η συνάρτηση f(x) = 2ℓn (x − 1) − 1 . α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f. β. Να κάνετε τον πίνακα προσήμου της f. γ. Να βρείτε τα διαστήματα του x στα οποία η γραφική παράσταση της f είναι κάτω από τον άξονα x΄x.

Έστω η συνάρτηση f(x) = ℓn 2x − 5 . ( ) α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f. β. Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής της παράστασης με τους άξονες. γ. Να βρείτε τα διαστήματα του x στα οποία η γραφική παράσταση της f είναι πάνω από τον άξονα x΄x.

Δίνεται η συνάρτηση f(x) = ℓn (3 − x) − ℓn (3 + x) . α. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού Α της f. β. Να αποδειχθεί ότι η f είναι γνησίως φθίνουσα. γ. Να βρεθούν οι αριθμοί x για τους οποίους ισχύει f(x) = −ℓn2 .

2−x Δίνεται η συνάρτηση f(x) = ℓn . 2+ x α. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της f. β. Να βρεθούν τα κοινά σημεία της γραφικής παράστασης της f με τον άξονα x΄x. γ. Να αποδειχθεί ότι η f είναι περιττή συνάρτηση. δ. Να βρεθούν τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της f είναι πάνω από τον άξονα x΄x. ε. Πού τέμνει η γραφική παράσταση της f την ευθεία ε : y = ℓn3 ;

4x − 2x Δίνεται η συνάρτηση f(x) = ℓn . 2x+1 + 4 α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f. β. Να λύσετε την εξίσωση f(x) = −2ℓn2 . γ. Να λύσετε την ανίσωση f(x) < 0 . 2x − 1 δ. Να αποδείξετε ότι f(x) = (x − 1) ⋅ ℓn2 + ℓn . 2x + 2

e2x − 1 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = ℓn . ex + 5 α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f. β. Να λύσετε την εξίσωση f(x) = 2ℓn2 . γ. Να λύσετε την ανίσωση f(x) > 0 .

Δίνεται η συνάρτηση f(x) = 1 − x − ℓnx , x > 0 . α. Να δείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα. β. Αν 0 < x < 1 , να δείξετε ότι f(x) > 0 . ( ) γ. Να λύσετε την ανίσωση f e x > 1 − e2x−5 − x . ⎛ π⎞ e δ. Να δείξετε ότι, για κάθε θ ∈ ⎜⎜⎜0 , ⎟⎟⎟ , ισχύει συνθ < ℓn . ⎝ 2 ⎠⎟ συνθ

Δίνονται οι συναρτήσεις ( ) f(x) = ℓn e x − 1 , g(x) = ℓn 2e1−x − 2 . ( ) α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων f, g. β. Να λύσετε την ανίσωση f(−2x) > g(x + 1) . γ. Να αποδείξετε ότι g(1 − x) = f(x) + ℓn2 .

Δίνεται η συνάρτηση ( f(x) = ℓog 2x 2 − 4x + 4 − 2ℓogx . ) α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της. β. Να βρείτε τα σημεία στα οποία η γραφική παράσταση της f τέμνει τους άξονες. γ. Να λύσετε την εξίσωση 10(2x+1)⋅f(1) − 5 ⋅10x ⋅f(1) + 10f(1) = f(2) . δ. Να αποδείξετε ότι x f(1) = 2ℓogx και να λύσετε την εξίσωση x 2f(1) = 2 + 2ℓogx .

Δίνονται οι συναρτήσεις ( ) f(x) = ℓn e2x − 2e x + 3 , g(x) = ℓn3 + ℓn e x − 1 . ( ) α. Να βρείτε τα πεδία ορισμού των f και g. β. Να λύσετε την εξίσωση f(x) = g(x) . γ. Να λύσετε την ανίσωση f(x) > 2g(x) . δ. Να λύσετε την εξίσωση g(x) − g(1) = f(0) .

Δίνεται η συνάρτηση f(x) = ℓn e2x − e x . ( ) α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της. β. Να δείξετε ότι f(x) = x + ℓn e x − 1 . ( ) γ. Να λύσετε την εξίσωση f(x) = x . δ. Να λύσετε την ανίσωση f(x) > x + 2ℓn2 .

Δίνεται η συνάρτηση f(x) = ℓn e2x − 6e x + 8 .( ) α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της. β. Να λύσετε την ανίσωση f(x) ≥ ℓn3 . γ. Να λύσετε την εξίσωση f(x) = x + ℓn3 .

Δίνεται η συνάρτηση f(x) = ℓog (x + 4) − 3 . α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της. β. Να βρείτε τα σημεία στα οποία η γραφική παράσταση της f τέμνει τους άξονες. γ. Να βρείτε την τιμή του κ ∈ ! , για την οποία το σημείο (κ ,− 2) ανήκει στην γραφι- κή παράσταση της f.

ℓnx + 1 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = . ℓnx − 1 α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της. β. Να βρείτε τις τιμές του x για τις οποίες η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από τον άξονα x΄x. ⎛1⎞ 1 ⎛ 1⎞ ⎛1 ⎞ γ. Να αποδείξετε ότι f ⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟ = , για κάθε x ∈ ⎜⎜⎜0 , ⎟⎟⎟ ∪ ⎜⎜⎜ , e⎟⎟⎟ ∪ (e , + ∞) . ⎝ x ⎟⎠ f(x) ⎝ e ⎟⎠ ⎝ e ⎟⎠ 1 δ. Να λύσετε την εξίσωση f(x) + = 1. ⎛ 1 ⎞⎟ ⎜ f ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ x ⎟⎠

x ⎛ 4 − α ⎞⎟ ⎛6⎞ ⎛7⎞ Δίνεται η συνάρτηση f(x) = ⎜⎜⎜ ⎟⎟ , για την οποία ισχύει f ⎜⎜ ⎟⎟⎟ < f ⎜⎜ ⎟⎟⎟ . ⎝ α + 2 ⎟⎠ ⎜⎝ 7 ⎟⎠ ⎜⎝ 6 ⎟⎠ α. Να βρείτε τις τιμές του α ∈ ! . β. Έστω α = 0 . Ι. Να λύσετε την εξίσωση f(x + 1) + f(x + 2) + f(x + 3) = 48 . ΙΙ. Να αποδείξετε ότι f (ℓogx) = ⎡⎢ ℓog 2f(x)⎤⎥ ℓog2 . ⎣ ⎦ ΙΙΙ. Να λύσετε την ανίσωση 2ℓogx + x ℓog2 > 16 .

Δίνεται η συνάρτηση f(x) = ℓogx . α. Να συγκρίνετε τους αριθμούς f(12) και 2. 1 β. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης g(x) = . f(x) γ. Να αποδείξετε ότι 3f(2) + f(5) − f(4) = 1 . ( f 2⋅4x ) ( f 5⋅2x ) δ. Να λύσετε την ανίσωση 10 + 2 > 10 .

Να βρείτε τις τιμές του θ, ώστε η εξίσωση x 2 − 2 (1 + ℓogθ) ⋅ x + 1 − ℓog 2θ = 0 να έχει μία διπλή ρίζα.